初高中数学衔接教材.pdf

初高中数学衔接教材现有初高中数学知识存在以下“脱节”1.立方和与差的公式初中已删去不讲，而高中的运算还在用。2.因式分解初中一般只限于二次项且系数为“1”的分解，对系数不为“1”的涉及 不多，而且对三次或高次多项式因式分解几乎不作要求，但高中教材许多化简求值都要 用到，如解方程、不等式等。3.二次根式中对分子、分母有理化初中不作要求，而分子、分母有理化是高中函数、不等式常用的解题技巧。4.初中教材对二次函数要求较低，学生处于了解水平，但二次函数却是高中贯穿始 终的重要内容。配方、作简图、求值域、解二次不等式、判断单调区间、求最大、最小 值，研究闭区间上函数最值等等是高中数学必须掌握的基本题型与常用方法。5.二次函数、二次不等式与二次方程的联系，根与系数的关系（韦达定理）在初中 不作要求，此类题目仅限于简单常规运算和难度不大的应用题型，而在高中二次函数、二次不等式与二次方程相互转化被视为重要内容，高中教材却未安排专门的讲授。6.图像的对称、平移变换，初中只作简单介绍，而在高中讲授函数后，对其图像的 上、下；左、右平移，两个函数关于原点，轴、直线的对称问题必须掌握。7.含有参数的函数、方程、不等式，初中不作要求，只作定量研究，而高中这部分内 容视为重难点。方程、不等式、函数的综合考查常成为高考综合题。8.几何部分很多概念（如重心、垂心等）和定理（如平行线分线段比例定理，射影 定理，相交弦定理等）初中生大都没有学习，而高中都要涉及。另外，像配方法、换元法、待定系数法初中教学大大弱化，不利于高中知识的讲授。目 录1.1 数与式的运算1.1.1 绝对值1.1.2乘法公式1.1.3二次根式1.1.4分式1.2 分解因式2.1 一元二次方程2.1.1 根的判别式2.1.2 根与系数的关系（韦达定理）2.2 二次函数2.2.1二次函数ax+bx+c的图像和性质12.2.2二次函数的三种表示方式2.2.3二次函数的简单应用2.3方程与不等式2.3.1二元二次方程组解法2.3.2 一元二次不等式解法3.1 相似形3.1.1.平行线分线段成比例定理3.1.2相似形3.2 三角形3.2.1三角形的“四心”3.2.2 几种特殊的三角形3.3圆3.3.1直线与圆，圆与圆的位置关系3.3.2点的轨迹1.1数与式的运算1.1.1.绝对值绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的2绝对值仍是零.即a,a 0,|t z|=0,a=0,-a,a 4.解法：由 x-1=0,得 x=1;由-3=0,得 =3;若x 4,即2%+44,解得 XV0,又 x 1,若lx 4,即 14,，不存在满足条件的X；若强3,不等式可变为（尤_1）+（%一3）4,即 2%-44,解得 x 4.又e3,Ax 4.综上所述，原不等式的解为x 4.解法二：如图1.1 1,卜-1|表示X轴上坐标为X的点尸到坐标为1的点4之间的距离|以|,即以|=|x1|；,3表示x 轴上点0到坐标为lx312的点3之间的距离下引，即|必|=,-八-,-3|.P C A B D所以，不等式卜-1|+卜-3|4的几4-何意义即为X U 1 J 4 Xk-Y-R4+PB4.|x-1|图1.1 1由0引=2,可知3点P在点。(坐标为0)的左侧、或点P在点。(坐标为4)的右侧.x 4.练习1.填空：(1)若 N=5,则%=；若|x|=|-4|,则%=.(2)如果向+同=5,且a=1,则b=；若卜c|=2,贝U c=,2.选择题：下列叙述正确的是(A)若同=向，贝(C)若ab,则同 5).)(B)若同网，则a 6(D)若同=同，则口=61.1.2.乘法公式我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式：(1)平方差公式(a+b)(a-b)=a2-b2;(2)完全平方公式(a b)2=a2 2ah+b2.我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式：(1)立方和公式(2)立方差公式(3)三数和平方公式(4)两数和立方公式(5)两数差立方公式(a+h)(a2 ah+b2)=a3+b3;(a h)(a2+ah+b2)=a3 b3;(a+b+c)2=a2+b2+c2+2(ab+bc+ac);(a+b=a+3 a b+3 a b+;(a-bp=a-3a2b+3ab2-b3.对上面列出的五个公式，有兴趣的同学可以自己去证明.例 1 计算：(X+l)(x-l)(x2-x+l)(x2+X+1).解法一：原式=(/一+1)2 一%2(x2-l)(x4+X2+1)6 1X-1 4角星:去一：原式=(X+l)(x2-x+l)(x-1)(/+X+1)=(x3+l)(x3-l)例 2 已知 a+b+c=4,ab+be+ac=4 j 求 的值.角翠：a2+b2+c2=(a+b+c)2-2(ab+be+ac)=8.练习1.填空：(1)a2-h2=(Z)+)()；9 4 2 3(2)(4m+)2=16m2+4m+()；(3)(a+2b-c)2=a2+4b2+c2+().2.选择题：(1)若一+1加工+人是一个完全平方式，则左等于()(A)m(B)m4(D)m16(2)不论a,b为何实数，/+62一246+8的值(A)总是正数(B)总是负数(C)可以是零(D)可以是正数也可以是负数1.1.3.二次根式一般地，形如G(a 2 0)的代数式叫做二次根式.根号下含有字母、且不能够开得尽 方的式子称为无理式.例如3a+2+6+26,方2+三等是无理式,而瓜2+/1+,2x2+2xy+y2 等是有理式.1.分母(子)有理化把分母(子)中的根号化去，叫做分母(子)有理化.为了进行分母(子)有理化,需要引入有理化因式的概念.两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二5次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式，例如亚与亚，3与，与 sf i y6，2/5 2.y/3+3a/，z，ayx/x,c ty/x+byJy c iy/x by,c iyx+h与a&b互为有理化因式.分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的根号的过 程；而分子有理化则是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分子中的根号的过程在二次根式的化简与运算过程中，二次根式的乘法可参照多项式乘法进行，运算中 要运用公式五石=而3 2 0,620）；而对于二次根式的除法，通常先写成分式的形式，然 后通过分母有理化进行运算；二次根式的加减法与多项式的加减法类似，应在化简的基 础上去括号与合并同类二次根式.2.二次根式77的意义q,a 0,-a,a 0);角星：(1)/12b=2y/3b;(2)a2b=同*=aM(a Y 0);(3)4x6y=2卜1yf y=-2x3*yJy(x 0).(3-0)(3+石)3G+39-3_3(a/3+1)6例2计算：出+(3 G).解法一：3-a/35(3+5(3)J4x6y(x ViTTa/Fo,Vi2-Vr T2隹*./6+4/6+2/2,2/2a/6.a/6+4(百+也严4.(671)2005.;004.(-V2)2005(4-(V3-8)2。04.(百一亚).(出一行)扬(1)9-445;(2)g+二 2(0%一 1 X，X0 v x v 1,所以，原式=L-x.X例6已知=卓迷，求短一5盯+3/的值.百+亚 V3-V2解：一”$+卓回向2+(6+后=10,y/s-y/l 百+亚 肛二口FETi.*.3/_59+3/=3(x+-11V=3x l()2ii=289.练习1.填空:(2)若 J(5-%)(%-3)2=(%3)7?,则 x 的取值范围是_(3)4724-6754+3796-27150=；/、过 册 mil J%+1-4X-1 J-+1+yjx-(4)若=，则 I-=+-7=J=_2 x +1+1 sj x+1 yj x 12.选择题：等式 巨=成立的条件是 X-2 y X 2)(A)x w 2(B)x 0(C)x 23.若6=也三地三，求a+6的值.a+14.比较大小：2小 a/5-4(填“”，或“V”).(D)0 x 21.1.4.分式1.分式的意义1例1解：例2(1)(2)A A A形如它的式子，若6中含有字母，且3关0,则称己为分式.当始0时，分式己具有下列性质:B B BA AxMB-BxM A _ AMB-BM 上述性质被称为分式的基本性质.2.繁分式a像上，竺小这样，分子或分母中又含有分式的分式叫做繁分式.c+d 2mn+p若士上=4+2，求常数的值.x(x+2)x x+2,A B A(x+2)+Bx(A+B)x+2A 5%+4 i-=-=-=-，x x+2 x(x+2)x(x+2)x(x+2).A+B=5,(1)试证：=(其中是正整数)；n(n+1)n n+1(2)计算：+;1x 2 2x 3 9x 10(3)证明：对任意大于1的正整数，有匚+匚+1-l,2c之一5ac+2/=0,求 e 的值.解：在2c 2 5ac+2a2=0两边同除以/,得2e2 5e+2=0,(2el)(e2)=0,.e=g 3；(2)|x+3|+|x-2|6.2.已知x+y=l,求/+/+3个的值.3.填空：(1)(2+a/3)(2-V3)=；1819(2)若J(j)2+J(l+a)2=2,则a的取值范围是;(?)11+收+后+百+百+石+石+5/?+行+而B组1.填空：(2)若，+孙一 2/=0,则能:/=_x+y2.已知：x=-,y=-,求小厂的值.2 3 7y yjx+JyC组1.选择题：(1)若 yj-a h 2sab-yh Ja,则(A)a b(C)a b 0(2)计算a()(D)b a 0()32.3.4.1.1.2.1.2.1.1.2.1.(A)sj-a(B)4a解方程 2(x2 H)3(x 4)1=0.计算:XX1 1 1-1-1-1 x 3 2x 4 3x 5+试证：对任意的正整数”,(1)(1)(1)C129x 115;4(2)有11(C)-口I-1x 2x 3 2x 3x 44;-1或3+1.1.1.2.D1n(n+l)(n+2)绝对值(D)-ya13.3x181.1.2.乘法公式131a-b2(2)1214(3)4ab-2ac-4bcD(1)(1)1(1)73-22.B(2)A(2)3.13.3 x 572-1x 4374.1.1.3.二次根式(3)-8后(4)V?.1.1.4.分式4.100习题1.1A组(2)-4x 3(3)x 33.(1)2-VI(2)-a/2 1x2 1 2x l=x(l+VI)x(1 72)=(x+l-a/2)(x+1+a/2).(2)令公+4盯-4/=0,贝！J解得/=(-2+2a/);v,xi=(-2-2y/2)y,*x2+4xy-4y2=x+2(1-2)yx+2(1+/2)y.练 习1.选择题：多项式2-x y-15y2的一个因式为(A)2x 5y(B)x-3y2.分解因式：(1)f+6x+8；(3)x2-2x 1；1.分解因式：(1)a3+1；(3)Z?2+c2+2ab+2ac+2Z?c；2.在实数范围内因式分解：(1)/_ 5x+3；(3)3x2+4xy-y2；3.AABC 三边 a,b,c+b2+c4.分解因式：x2x(a2 a).()(C)x+3y(D)x-5y(2)8/人(4)4(x-y+1)+y(y-2x).习题1.2(2)4x4-13x2+9；(4)3x2+5xy-1y+x+9y-4(2)x2-?.y/2x-3；(4)(x2-2x)2-7(x2-2x)+12.ah+bc+c a,试判定A48C的形状71.2分解因式1.B2.(1)(x+2)(x+4)(2)(2a-Z?)(4a2+2ab+b2)(3)(x-l-V2)(x-l+VI)(4)(2-y)(2x-y+2).习题1.21.(1)(a+1)(“2-a+1)(2)(2x+3)(2%-3)(x+l)(x-1)(3)(6+c)(6+c+2a)(4)(3y-y+4)(%+2y-1)2.(1)x ；(2)(1 一 及 一石)卜一4+石)；(,_ 方(7 4 Fl)(3)31x d-y j;(4)(x-3)(x+l)(x-1-V5)(x-1+V5).3.等边三角形4.(x a+l)(x+a)2.1 一元二次方程2.L1根的判别式我们知道，对于一元二次方程“2+bx+c=0(a/),用配方法可以将其变形为,b 2 b2-4ac(一)因为存0,所以，4/0.于是(1)当/一4公0时，方程的右端是一个正数，因此，原方程有两个不相等的实数根-h -4ac孙2=-2a(2)当4ac=0时，方程的右端为零，因此，原方程有两个等的实数根8bX X2-；2a(3)当4ac V0时，方程的右端是一个负数，而方程的左边(为+一定大于或等于零，因此，原 2a方程没有实数根.由此可知，一元二次方程o x 2+6x+c=o(存0)的根的情况可以由/4四来判定，我们把后一4加叫做一元二次方程“2+bx+c=0(存0)的根的判别式，通常用符号“A”来表示.综上所述，对于一元二次方程如2+反+c=o(存0),有(1)当A0时，方程有两个不相等的实数根-b y/b2-4ac为，2=-；2a(2)当A=0时，方程有两个相等的实数根bX=1 2=-.；2a(3)当AV0时，方程没有实数根.例1判定下列关于X的方程的根的情况(其中。为常数)，如果方程有实数根，写出方程的实数根.(1)x23x+3 0；(2)x2ax1 0；(3)x2axa1)0；(4)x22x+a 0.解：(1)2=324x 1x 3=30,所以方程一定有两个不等的实数根a+J/+4 a-Ja+4X,，2 2(3)由于该方程的根的判别式为=/4x lx(Q-1)=q24q+4=(q 2)2,所以，当a=2时，A=0,所以方程有两个相等的实数根X=12=1；当。立时，(),所以方程有两个不相等的实数根Xl=l,X2=Cl-1.(3)由于该方程的根的判别式为A=2?4x lx 0=44a=4(l a),所以当A。，即4(1a)0,即“VI时，方程有两个不相等的实数根X=1+J1-l,X、1-/1 a；9当A=0,即。=1时，方程有两个相等的实数根X=%2=1；当A1时，方程没有实数根.说明：在第3,4小题中，方程的根的判别式的符号随着。的取值的变化而变化，于是，在解题过程中，需 要对。的取值情况进行讨论，这一方法叫做分类讨论.分类讨论这一思想方法是高中数学中一个非常重要的方法,在今后的解题中会经常地运用这一方法来解决问题.2.1.2根与系数的关系（韦达定理）若一元二次方程4%2+乐+（?=0（Q，0）有两个实数根则有-b+y/h2-4ac-b-Jb2 4ac-2b hX1+x2=-1-=-=-；2 a 2a 2a a-b+-4-4ac）4ac cxix2=TT=_,2a 2a 4a 4a a所以，一元二次方程的根与系数之间存在下列关系：_ b 如果x 2+x+c=0（#0）的两根分别是与，X2,那么与+*2=，XiX2=.这一关系也被称为韦达定 a a理.特别地，对于二次项系数为1的一元二次方程/+/十夕=0,若X1,也是其两根，由韦达定理可知X X2=p,X1，X2=q,即 p=（X X2）9 q=XX2,所以，方程+4=0可化为f（11+%2）%+盯%2=0,由于%1，%2是一元二次方程12+P%+夕=0的两根，所以，X,X2也是一元二次方程f（沏+%2）%+%2=0.因此有以两个数X,X2为根的一元二次方程（二次项系数为1）是X1（X1+X2）X+X1*2=0 例2已知方程5必+履 6=0的一个根是2,求它的另一个根及左的值.分析：由于已知了方程的一个根，可以直接将这一根代入，求出左的值，再由方程解出另一个根.但由于我 们学习了韦达定理，又可以利用韦达定理来解题，即由于已知了方程的一个根及方程的二次项系数和常数项，于 1 0是可以利用两根之积求出方程的另一个根，再由两根之和求出左的值.解法一：.2是方程的一个根，二.5x22+左 x 2 6=0,k=7 3所以，方程就为5工27x6=0,解得1i=2,X2=.53所以，方程的另一个根为一士，左的值为一7.5解法二：设方程的另一个根为修，则2/=2,修=5 5a k由（）+2=,得 k 7.5 53所以，方程的另一个根为一己，左的值为一7.5例3 已知关于x的方程f+2（加一2）x+加2+4=0有两个实数根，并且这两个实数根的平方和比两个根的积大21,求能的值.分析：本题可以利用韦达定理，由实数根的平方和比两个根的积大21得到关于m的方程，从而解得m的 值.但在解题中需要特别注意的是，由于所给的方程有两个实数根，因此，其根的判别式应大于零.解：设为，应是方程的两根，由韦达定理，得%i+%2=-2（阳一2）,X1-X2m2+4.,.*Xi2+a：22XrX2=21,.（X1+%2）2 3 X1=2 1,即 2（加一2）2 3（/+4）=21,化简，得 m216m17 0,解得 m ,或m=17.当初=1时，方程为f+6x+5=0,A0,满足题意；当加=17时，方程为f+30 x+293=0,A=3（）24x 1x 293 V0,不合题意，舍去.综上，加=17.说明：（1）在本题的解题过程中，也可以先研究满足方程有两个实数根所对应的加的范围，然后再由“两个 实数根的平方和比两个根的积大21”求出m的值，取满足条件的m的值即可.（1）在今后的解题过程中，如果仅仅由韦达定理解题时，还要考虑到根的判别式是否大于或大于零.因 为，韦达定理成立的前提是一元二次方程有实数根.例4已知两个数的和为4,积为一12,求这两个数.分析：我们可以设出这两个数分别为x,乃利用二元方程求解出这两个数.也可以利用韦达定理转化出一元 1 1二次方程来求解.解法一：设这两个数分别是X,则 x+y=4,孙=12.由，得y=4x,代入，得即x(4 一x)=-12,x24x12 0,修=-2,%2=6.或.Ji=6,X2=6,=2.因此，这两个数是一2和6.解法二：由韦达定理可知，这两个数是方程X24x12=0的两个根.解这个方程，得X 2,12=6.所以，这两个数是一2和6.说明：从上面的两种解法我们不难发现，解法二（直接利用韦达定理来解题）要比解法一简捷.若X和应分别是一元二次方程2+5x3=0的两根.例5(1)求沏一切|的值;(2)求工+工的值;xl x2(3)%13+23.解：:沏和X2分别是一元二次方程2f+5x3=0的两根,5 3(1)|_X2|2 沏2=(1 1+%2)2 4 XX2 (-)2 4x(-)2 2+6=,4 472(2)-4+-L=2 2xl x2X12+X22(X+%2)2-2%1%22 2X1 x2(Xi%)?5 2 3 25(-鼻)-2x(-&)y+3 工，3 2-9-9()2 41 2(3)X13+x 23(X+X2)(X2-XX2+22)(X|+a：2)(修+必尸3R25 5 9 3-(-)4(-)-3X(-)2158说明：一元二次方程的两根之差的绝对值是一个重要的量，今后我们经常会遇到求这一个量的问题，为了解 题简便，我们可以探讨出其一般规律:设为和2分别是一兀二次方程2+bx+c=0（。加），则-h+/b2-4ac-h-b2-4ac再-，2a 2a|修一2=-b+y/h2-4ac-b-yb2-4ac2a2a2d b2-4ac 2ayjb2-4 a c X I a|&于是有下面的结论：若Xi和M分别是一元二次方程o x 2+x+c=0（#0）,贝ijx i对=（其中A=Z24ac）.I a|今后，在求一元二次方程的两根之差的绝对值时，可以直接利用上面的结论.例6若关于x的一元二次方程fX+。-4=0的一根大于零、另一根小于零，求实数。的取值范围.解：设沏，型是方程的两根，则Xx2=c i4 V 0,且=（一1）24（“一4）0.由得 a4,17由得。彳.的取值范围是。4.练 习1.选择题：（1）方程/一2百履+342=。的根的情况是（）（A）有一个实数根（B）有两个不相等的实数根（C）有两个相等的实数根（D）没有实数根（2）若关于x的方程mx2+（2m+l）x +m=0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是（）1 3(A)m 4(C)m ,且加，04 42.填空：(1)若方程3x1=0的两根分别是和x2,则，+-L=.X x2(2)方程加f+x2掰=0(加加)的根的情况是.(3)以一3和1为根的一元二次方程是.3.已知Jq 2+8a+i6+|6 l|=0,当左取何值时，方程去?+办+6=0有两个不相等的实数根？4.已知方程3x1=0的两根为修和必，求(修一3)(%23)的值.习题2.1A组1.选择题：(1)已知关于%的方程f+京一2=0的一个根是1,则它的另一个根是()(A)-3(B)3(C)-2(D)2(2)下列四个说法：方程f+2x7=0的两根之和为一2,两根之积为一7；方程d2%+7=0的两根之和为一2,两根之积为7；7方程3X27=0的两根之和为0,两根之积为-；3方程3%2+2%=0的两根之和为一2,两根之积为0.其中正确说法的个数是()(A)l 个(B)2 个(C)3 个(D)4 个(3)关于的一元二次方程0?-5%+/+。=0的一个根是0,则。的值是()(A)0(B)1(C)-1(D)0,或一 12.填空：(1)方程后+以-1=0的两根之和为一2,则左=.(2)方程Zx?%4=0的两根为a,P，则(+俨二.(3)已知关于%的方程3a=0的一个根是一2,则它的另一个根是1 4(4)方程2%2+2%1=0的两根为X1和x2，则|为一%21=3.试判定当加取何值时，关于X的一元二次方程加2%2(2m+1)%+1=0有两个不相等的实数根？有两个相等的 实数根？没有实数根？4.求一个一元二次方程，使它的两根分别是方程f7x1=0各根的相反数.B组1.选择题：若关于x的方程X2+(2-1)%+左+1=0的两根互为相反数，则k的值为()(A)1,或一 1(B)1(C)-1(D)02.填空：(1)若加，拉是方程12+2005x1=0的两个实数根，则加2十用“2掰”的值等于.(2)如果Q,6是方程f+x1=0的两个实数根，那么代数式/+3的值是.3.已知关于的方程*入：一2=0.(1)求证：方程有两个不相等的实数根；(2)设方程的两根为沏和、2，如果2(%1+%2)%1%2，求实数左的取值范围.4.一元二次方程af+b x+c n。(存0)的两根为为和必.求：(1)|x 一幻|和+;2(2)X3+x23.5.关于x的方程f+4x+加=0的两根为沏，2满足|西一起|=2,求实数m的值.C组1.选择题：(1)已知一个直角三角形的两条直角边长恰好是方程2d8x+7=0的两根，则这个直角三角形的斜边长等于()(A)E(B)3(C)6(D)9(2)若卬 应是方程2f4x+l=0的两个根，则土+五的值为()4 匹3(A)6(B)4(C)3(D)-2(3)如果关于x的方程X2 2(1 m)x+/=0有两实数根a,0,贝ll a+p的取值范围为()1 5(A)a+p-(B)a+pl(D)a+pl2 2(4)已知a,b,c是NABC的三边长，那么方程c?+(a+b)x+-=0的根的情况是 4()(A)没有实数根(B)有两个不相等的实数根(C)有两个相等的实数根(D)有两个异号实数根2.填空：若方程x28%+加=0的两根为X”12，且3修+2应=18,则加=.3.已知修，处是关于的一元二次方程4去+左+1=0的两个实数根.3(1)是否存在实数左，使(2修一次)(修一2处)=一一成立？若存在，求出左的值；若不存在，说明理由；2(2)求使土+22的值为整数的实数左的整数值；X2 XY(3)若左=-2,A=,试求;I的值.X2m24.已知关于X的方程/一-2)x-=0.4(1)求证：无论加取什么实数时，这个方程总有两个相异实数根；(2)若这个方程的两个实数根%1，%2满足仅2尸历|+2,求加的值及相应的为，X2.5.若关于X的方程d+x+a=o的一个大于1、零一根小于1,求实数。的取值范围.2.1 一元二次方程练习1.(1)C(2)D2.(1)-3(2)有两个不相等的实数根(3)f+2x3=03.k0,方程一定有两个不相等的实数根.(2).1+工2=左，修x2=-2,2k2,即左 一1.，/,、，,2_4ac X,+b/八 3.3 3abc-b34.(1)x i-x2=-,-=-;(2)x i+x2 -；.a 2 2a a5.|XX2=a/16-4m=2a/4 m=2,m 3.把m=3 代入方程，A0,满足题意，m 3.C组1.(1)B(2)A(3)C 提示：由 ANO,得唱,.，.a+P=2(l-m)l.(4)B 提小：*a,b,c 是 A45C 的三边长，.,.a+Z)c,A=(0.1 72.(1)12 提ZK：.修+%2=8,3修+2应=2(修+%2)+%1=2*8+/=18,修=2,M=6,t/z=修2=12.33.(1)假设存在实数左，使(2为一2)(%1-2%2)=成立.2一元二次方程4Ax24米+左+1=0有两个实数根，:.肝0,且 A=16斤一 16网上+1户一16后0,：.k0.%十%2 1，-，4k(2%i-%2)(修-2 X2)2 X2-52+2=2(X+%2)2 9=2?()=,4k 2即绝D=Z,解得左=2,与左0相矛盾，所以，不存在实数左，使(2修一应)(修一2应)=一3成立.44 2 5 2/9 X,X2 n 一 1+1 2 9(1+*2)2%工2)(芭+%2)A-1-Z-2=-2=-4X2 X xx2 x1x2 x1x24/4左 一4(4+1)4Zr+1 左+1 Zr+1.要使土+22的值为整数，只须左+1能整除4.而左为整数，x2 再左+1 只能取1,2,4.又，：k0；2？、(2)XX2=-.SO,()，mK)，或 iK)，了2。,4若 x 0,mN。，则工2=Xi+2,Xi+x2=2,二加一2=2,加=4.此时，方程为 xt2x4=0,*X1=1+5/5 9 X2=1 y/5,若X1K),%20 则X2=X+2,/.Xi+%2=-2,Am2=-2,1 8.,.加=0.止匕时，方程为 d+2=0,.,.X=0,x22.5.设方程的两根为修，的，则修十%2=-1，修2=。，由一根大于1、另一根小于1,得(X1)(X21)0,即 XX2(%1+2)+10，a (1)+1 0,实数。的取值范围是a=的图象之间存在怎样的关系？为了研究这一问题，我们可以先画出y=2f,=2f的图象，通过这些函数图象与函数y=d的2图象之间的关系，推导出函数y=与的图象之间所存在的关系.先画出函数=X2,=2的图象.先列表：从表中不难看出，要得到2d的值，只要把相应的f的值扩大两倍就可以了.X-3-2一 10123X294101492x2188202818再描点、连线，就分别得到了函数y=2d的图象(如图21所示)，从图2 1我们可以得到这两个函数图象之间的关系：函数y=212的图象可以由函 y r=2r2/丫广数的图象各点的纵坐标变为原来的两倍得到./同学们也可以用类似于上面的方法画出函数歹=g X2,y=标2的图象，并研究这两个函数图象与函数的图象之间的关系./通过上面的研究，我们可以得到以下结论：-o-*二次函数夕=d2(存0)的图象可以由7=/的图象各点的纵坐标变为原来的a 同。囹 2.2-1倍得到.在二次函数7=/(存0)中，二次项系数。决定了图象的开口方向和在同一个坐标系中的开口的大小.1 9问题2函数y=a(x+)2+左与的图象之间存在怎样的关系？同样地，我们可以利用儿个特殊的函数图象之间的关系来研究它们之间的关系.同学们可以作出函数y=2(x+1)2+1与歹=2?的图象(如图22所示)，从函数的同学我们不难发现，只 要把函数y=2f的图象向左平移一个单位，再向上平移一个单位，就可以得到 函数y=2(x+l)2+l的图象.这两个函数图象之间具有“形状相同，位置不同”的特点.类似地，还可以通过画函数y=-3f,y=3(x1)2+1的图象，研究它 们图象之间的相互关系.通过上面的研究，我们可以得到以下结论：二次函数y=a(x+/02+Zr(a#0)中，a决定了二次函数图象的开口大小及方 向；A决定了二次函数图象的左右平移，而且“正左移，/负右移”；A决定了 二次函数图象的上下平移，而且“A正上移，左负下移”.由上面的结论，我们可以得到研究二次函数歹=加+以+(存()的图象的 方法:b b由于 yqx2+hx c+x)+c=a(x+x T二)+c一竺 4a 4aab 2 b-4qc=a(x d-)d-，2a 4a所以，尸#+b x+c(存0)的图象可以看作是将函数尸”的图象作左右平移、上下平移得到的，于是，二次函数y=ad+以+c(q/0)具有下列性质：(1)当0时，函数了=必2+辰+。图象开口向上；顶点坐标为(_2,牝士)，对称轴为直线x=-2；2a 4a 2a当X-2时，y随着X的增大而增大；当X=-2时，函数取最小值 2a 2a 2a4ac-b2(2)当“VO时，函数歹=/+公+。图象开口向下；顶点坐标为(-2，牝士)，对称轴为直线x=2;2a 4 a 2a当x-2时，y随着X的增大而减小；当x=-2时，函数取最大值 2a 2a 2a4ac-b2尸：-.4a上述二次函数的性质可以分别通过图2.2 3和图2.24直观地表示出来.因此，在今后解决二次函数问 题时，可以借助于函数图像、利用数形结合的思想方法来解决问题.例1求二次函数y=-3f6%+1图象的开口方向、对称轴、顶点坐标、最大值(或最小值)，并指出当x 2 0取何值时，y随X的增大而增大(或减小)？并画出该函数的图象.解：y=-3x26x+1 3(x+1)2+4,.函数图象的开口向下；对称轴是直线x=-1；顶点坐标为(-1,4)；当x=-1时，函数y取最大值y=4；当x V-l时，y随着x的增大而增大；当 1时，y随着的增大而减小；采用描点法画图，选顶点/(1,4),与x轴交于点1(26二3,0)和C(_ 2+3.,o),与歹轴的交点为 3 3(0,1),过这五点画出图象(如图2 5所示).说明：从这个例题可以看出，根据配方后得到的性质画函数的图象，可以直接选出关键点，减少了选点的盲目性,使画图更简便、图象更精确.例2某种产品的成本是120元/件，试销阶段每件产品的售价%(元)与产品的日销售量y(件)之间关系如 下表所示：X/元13()150165W件705035若日销售量y是销售价的一次函数，那么，要使每天所获得最大的利润，每件产品的销售价应定为多少元？此时每天的销售利润是多少？分析：由于每天的利润=日销售量y x(销售价120),日销售量y又是销售价的一次函数，所以，欲求每 天所获得的利润最大值，首先需要求出每天的利润与销售价之间的函数关系，然后，再由它们之间的函数关系 求出每天利润的最大值.解：由于y是x的一次函数，于是，设歹=米+(B)将 x=130,y=70；x=150,y=50 代入方程，有2 170=130左+6,50=150+6,解得 k=,6=200.yx+200.设每天的利润为z(元)，则z=(-x+200)(x-120)=x2+3 20%24000=-(x-16 0)2+16 00,；当=160时,z取最大值1600.答：当售价为160元/件时，每天的利润最大，为1600元.例3把二次函数歹=f+b x+c的图像向上平移2个单位，再向左平移4个单位，得到函数的图像，求 b,c的值.解法一：y=x2+bx+c=(x+-)2+c-,把它的图像向上平移2个单位，再向左平移4个单位，得到 2 4=(x+2+4)2+一忙+2的图像，也就是函数的图像，所以，2 4b-4=0,2 解得 b=8,c14.b2C+2=0I 4解法二:把二次函数歹=d+bx+c的图像向上平移2个单位，再向左平移4个单位，得到函数y=d的图像,等价于把二次函数y=%2的图像向下平移2个单位，再向右平移4个单位，得到函数歹=f+b x+c的图像.由于把二次函数的图像向下平移2个单位，再向右平移4个单位，得到函数y=(x4y+2的图像，即 为y=d8x+14的图像，函数y=%28%+14与函数y=d+bx+c表示同一个函数，.,.b=-8,c=14.说明：本例的两种解法都是利用二次函数图像的平移规律来解决问题，所以，同学们要牢固掌握二次函数图 像的变换规律.这两种解法反映了两种不同的思维方法：解法一，是直接利用条件进行正向的思维来解决的，其运算量相对 较大；而解法二，则是利用逆向思维，将原来的问题等价转化成与之等价的问题来解，具有计算量小的优点.今 后，我们在解题时，可以根据题目的具体情况，选择恰当的方法来解决问题.例4已知函数其中定一2,求该函数的最大值与最小值，并求出函数取最大值和最小值 时所对应的自变量的值.分析：本例中函数自变量的范围是一个变化的范围，需要对。的取值进行讨论.解：(1)当。=-2时，函数y=d的图象仅仅对应着一个点(一2,4),所以，函数的最大值和最小值都是4,止匕时x2；(2)当一2VaV0时，由图2.2 6可知，当=2时，函数取最大值y=4；当x=a时，函数取最小值 尸。2；2 2(3)当0%2时，由图2.2 6可知，当=2时，函数取最大值y=4；当x=0时，函数取最小值y0；(4)当壮2时，由图2.26可知，当时，函数取最大值歹=/；当x=0时，函数取最小值y=0.说明：在本例中，利用了分类讨论的方法，对。的所有可能情形进行讨论.此外，本例中所研究的二次函数 的自变量的取值不是取任意的实数，而是取部分实数来研究，在解决这一类问题时，通常需要借助于函数图象来 直观地解决问题.练 习1.选择题：(1)下列函数图象中，顶点不在坐标轴上的是()(A)y2x2(B)y2x24x-2(C)y=2x2l(D)y=2x24x(2)函数y=2(xiy+2 是将函数y=2?()(A)向左平移1个单位、再向上平移2个单位得到的(B)向右平移2个单位、再向上平移1个单位得到的(C)向下平移2个单位、再向右平移1个单位得到的(D)向上平移2个单位、再向右平移1个单位得到的2.填空题(1)二次函数=2?加入十”图象的顶点坐标为(1,2),则加=,n=.(2)已知二次函数y=f+(加-2)x2次，当机=时，函数图象的顶点在y轴上；当机=时，函数 图象的顶点在x轴上；当加=时，函数图象经过原点.(3)函数y=3(x+2)2+5的图象的开口向，对称轴为，顶点坐标为；当x=2 3时，函数取最_值、=;当x 时，y随着的增大而减小.3.求下列抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标、最大(小)值及y随x的变化情况，并画出其图象.(1)yx22%3；(2)y 1+6xx2.4.已知函数y=-2x+3,当自变量在下列取值范围内时，分别求函数的最大值或最小值，并求当函数 取最大(小)值时所对应的自变量x的值：(1)立一2；(2)在2；(3)-21；(4)0 x 0时，抛物线y二江+辰+仪存。)与x轴有两个交点；反过来，若抛物线/=公+以+通邦泻*轴有两个交点，则A0也成立.(2)当A=0时，抛物线了=+加c+c(存0)与x轴有一个交点(抛物线的顶点)；反过来，若抛物线了=/+Zx+c(4#0)与x轴有一个交点，则A=0也成立.(3)当A0时，抛物线y=x 2+x+c(W0)与x轴没有交点；反过来，若抛物线/=+以+以硝与、轴没有交点，则AV0也成立.于是，若抛物线y=af+bx+c(a/)与x轴有两个交点/(沏，0),B(x?,0),则为，必是方程af+6x+c=0的 两根，所以b cX I X2=-9 XX2=-9a aBn b _/、c _即-(X i I X2)9-XX2a a2 4b c所;以，y=ax+hx c=a（x Hx H）a a=6ZX2（Xi+2）+12=a（x-x）（%一%2）由上面的推导过程可以得到下面结论：若抛物线/=/+加c+c（存0）与x轴交于/（X1，0）,6（%2，0）两点，则其函数关系式可以表示为P=（xXi）（x一2）（。#0）.这样，也就得到了表示二次函数的第三种方法：3.交点式：j