具有恐惧和强Allee效应的离散食饵-捕食者模型.pdf

西 安 工 程 大 学 学 报J o u r n a l o f X ia n P o l y t e c h n i c U n i v e r s i t y 第3 7卷第4期(总1 8 2期)2 0 2 3年8月V o l.3 7,N o.4(S u m.N o.1 8 2)引文格式:胡新利,李航航.具有恐惧和强A l l e e效应的离散食饵-捕食者模型J.西安工程大学学报,2 0 2 3,3 7(4):1 2 7-1 3 3.HU X i n l i,L I H a n g h a n g.D i s c r e t e p r e y-p r e d a t o r m o d e l w i t h f e a r e f f e c t a n d s t r o n g A l l e e e f f e c tJ.J o u r n a l o f X ia n P o l y t e c h n i c U n i v e r s i t y,2 0 2 3,3 7(4):1 2 7-1 3 3.收稿日期:2 0 2 2-0 5-0 6 修回日期:2 0 2 2-1 1-1 4 基金项目:陕西省自然科学基金(2 0 2 1 J M-4 5 5)通信作者:胡新利(1 9 7 5),女,副教授,研究方向为生物数学。E-m a i l:h u x i n l i 1 2 6.c o m具有恐惧和强A l l e e效应的离散食饵-捕食者模型胡新利,李航航(西安工程大学 理学院,陕西 西安 7 1 0 0 4 8)摘要 研究了一类具有恐惧效应和强A l l e e效应的离散食饵-捕食者模型丰富的动力学性质。使用微分方程的分段常数变元法对系统离散化,并获得了离散系统平衡点的存在性;通过动力系统的稳定性理论得到了离散食饵-捕食者模型各平衡点的稳定性条件;应用分支理论分析了正平衡点处N e i m a r k-S a c k e r分支的存在性和方向。利用数值模拟验证了正平衡点的局部渐近稳定性和分支理论,证明适当的减少食饵的最大环境容纳量可以稳定系统。关键词 恐惧效应;强A l l e e效应;稳定性;N e i m a r k-S a c k e r分支开放科学(资源服务)标识码(O S I D)中图分类号:O 1 7 5;Q 1 4 1 文献标志码:AD O I:1 0.1 3 3 3 8/j.i s s n.1 6 7 4-6 4 9 x.2 0 2 3.0 4.0 1 6D i s c r e t e p r e y-p r e d a t o r m o d e l w i t h f e a r e f f e c ta n d s t r o n g A l l e e e f f e c tHU X i n l i,L I H a n g h a n g(S c h o o l o f S c i e n c e s,X ia n P o l y t e c h n i c U n i v e r s i t y,X ia n 7 1 0 0 4 8,C h i n a)A b s t r a c t T h e r i c h d y n a m i c p r o p e r t i e s o f a d i s c r e t e p r e y-p r e d a t o r m o d e l w i t h f e a r e f f e c t a n d s t r o n g A l l e e e f f e c t a r e s t u d i e d.T h e p i e c e w i s e c o n s t a n t a r g u m e n t m e t h o d o f d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n i s u s e d t o d i s c r e t i z e t h e s y s t e m,a n d t h e e x i s t e n c e o f e q u i l i b r i u m p o i n t o f d i s c r e t e s y s t e m i s o b-t a i n e d.T h e s t a b i l i t y c o n d i t i o n s o f t h e e q u i l i b r i u m p o i n t s o f t h e d i s c r e t e p r e y-p r e d a t o r m o d e l a r e o b t a i n e d b y t h e s t a b i l i t y t h e o r y o f t h e d y n a m i c s y s t e m.T h e e x i s t e n c e a n d d i r e c t i o n o f t h e N e i m a-r k-S a c k e r b i f u r c a t i o n a t t h e p o s i t i v e e q u i l i b r i u m p o i n t a r e a n a l y z e d b y u s i n g t h e b i f u r c a t i o n t h e o-r y.T h e l o c a l a s y m p t o t i c s t a b i l i t y a n d b i f u r c a t i o n t h e o r y o f t h e p o s i t i v e e q u i l i b r i u m p o i n t a r e v e r i-f i e d b y n u m e r i c a l s i m u l a t i o n,a n d i t i s p r o v e d t h a t t h e s y s t e m c a n b e s t a b i l i z e d b y a p p r o p r i a t e l y r e d u c i n g t h e m a x i m u m e n v i r o n m e n t a l c a p a c i t y o f t h e p r e y.K e y w o r d s f e a r e f f e c t;s t r o n g A l l e e e f f e c t;s t a b i l i t y;N e i m a r k-S a c k e r b i f u r c a t i o n0 引 言 在种群系统中,群聚有利于种群的增长和生存,但种群数量过大或过小将会阻碍其发展,最终会导致种群趋于灭绝,这就是A l l e e效应1。食饵-捕食者模型是基本的种群模型之一,许多学者建立了各类食饵-捕食者模型,并对其进行动力学分析。捕食者除了直接捕杀食饵之外,还会对食饵的觅食、防御和繁殖等行为产生影响,为此,WANG等首次提出具有恐惧效应的食饵-捕食者模型2,并引起了众多学者的广泛关注3-5。在种群动力学中,连续或离散模型是描述种群数量变化的2种常用形式。众多研究表明6-7:当种群具有不重叠的世代时,由差分方程描述的离散模型比连续模型更贴近实际。Z HU8和C U I9等分别研究了具有H o l l i n g 功能反应的连续和离散L o t k a-V o l t e r r a食饵-捕食者模型的定性行为。相比而言,离散系统要比连续系统具有更丰富的动力学行为,能够产生倍周期分支、N e i m a r k-S a c k e r分支、混沌和更复杂的动力学行为。KUN DU等研究了恐惧效应在具有线性功能反应的离散食饵-捕食者模型中的影响,并对该模型进行了稳定性分析和分支分析1 0。B AN E R J E E等研究了具有恐惧效应和H o l l i n g 型功能反应的离散时滞双食饵-捕食者模型,得到了平衡点存在的条件,并给出了正平衡点的持久性和全局稳定性的充分必要条件1 1。文献1 2 研究了具有恐惧效应的离散捕食者-食饵模型,并对其进行了稳定性分析,获得了在正平衡点处发生倍周期分支的条件。C E L I K1 3等和D I N1 4分别使用不同的离散方式研究了具有A l l e e效应的食饵-捕食者模型的分支分析。1 模型的建立有研究表明,除了直接捕杀之外,对捕食者产生的恐惧会使食饵的增长率降低4 0%。因此,文献1 5 提出了一类具有恐惧效应和强A l l e e效应的连续食饵-捕食者模型,考虑了在繁殖过程中,食饵已经受到交配诱导的强A l l e e效应的影响,并考虑了由于对捕食者的恐惧而使食饵的生长速度降低,具体模型如下:dxdt=r x(x-A)1+f y1-xK -b x ydydt=bx y-d y(1)式中:r、A、f、K、b、和d均为正常数;r为食饵种群的内禀增长率;A为食饵种群灭绝的A l l e e阈值(0AK即表现为强A l l e e效应);f为恐惧强度;K为食饵种群的最大环境容纳量;b为捕食者对食饵的捕食率;为捕食者通过捕食食饵的转化效率;d为捕食者的自然死亡率。文献1 5主要讨论了系统(1)所有平衡点的稳定性条件,并分析了系统(1)在平衡点处发生H o p f分支。但对于离散系统会产生更丰富的动力学行为,为此,对系统(1)进行离散化。为了避免离散系统存在负解,利用文献1 6中的分段常数变元的方法,得到连续系统(1)对应的离散系统xn+1=xn e x pr(xn-A)1+f yn1-xnK -b yn yn+1=yn e x p(bxn-d)(2)式中:xn和yn分别是食饵和捕食者在n世代的种群密度,其他参数同系统(1)。类似的离散化方式参见文献1 7-1 8。2 平衡点的存在性和稳定性系统(2)的平衡点可以通过代数方程x=x e x pr(x-A)1+f y1-xK -b y y=y e x p(bx-d)(3)求得。通过求解方程(3),可以得到如下定理。定理1 系统(2)有以下4个平衡点。1)食饵和捕食者均灭绝的平衡点E0(0,0)。2)食饵存在捕食者灭绝的平衡点E1(K,0),E2(A,0)。3)当A-db K-db 0时,食饵和捕食者共存的平衡点E3(x*,y*)存在,其中x*=db,y*=-b K+b2K2-4b K f rA-db K-db 2b K f。系统(2)在平衡点E(x,y)处的雅可比矩阵为J(x,y)=a1 1a1 2a2 1a2 2 ,其中821 西安工程大学学报 第3 7卷a1 1=e x pr(x-A)1+f y1-xK -b y 1+r x(K+A-2x)K(1+f y)。a1 2=-xe x pr(x-A)1+f y1-xK -b y r f(x-A)(1+f y)21-xK +b 。a2 1=by e x p(bx-d),a2 2=e x p(bx-d)。定义11 9 平衡点E(x,y)处的雅可比矩阵J(x,y)对应的特征方程为2-t r J(x,y)+d e t J(x,y)=0(4)令1和2是上述方程(4)的2个根,有:1)若|1|1且|2|1,则E(x,y)是汇且局部渐近稳定;2)若|1|1(或|1|1且|2|1且|2|1,则E(x,y)是源且不稳定;4)若|1|=1或|2|=1,则E(x,y)是非双曲的。通过简单计算,系统(2)在平衡点E0(0,0)、E1(K,0)和E2(A,0)处的雅可比矩阵对应的特征方程的根分别为:1)1=e x p(-r A),2=e x p(-d);2)1=1+r(A-K),2=e x p(bK-d);3)1=1+r AK(K-A),2=e x p(bA-d)。因此,可以得到如下定理。定理2 1)系统(2)的平衡点E0(0,0)是汇且局部渐近稳定。2)系统(2)的平衡点E1(K,0)具有以下性质:)若AKA+2r且Kdb,则E1(K,0)是汇且局部渐近稳定;)若AKdb,或者KA+2r且KA+2r且Kdb,则E1(K,0)是源且不稳定;)若K=A+2r或K=db,则E1(K,0)是非双曲的。3)系统(2)的平衡点E2(A,0)具有以下性质:)若KA)且db,则E2(A,0)是鞍点且不稳定;)若KA)且db,则E2(A,0)是源且不稳定;)若K=r A22+r A或A=db,则E2(A,0)是非双曲的。为了考虑系统(2)唯一正平衡点E3(x*,y*)的稳定性,需要引进以下引理。引理12 0 考虑二次特征多项式F()=2-1+2 式中:1和2为实系数。因此,特征多项式对应的特征方程的2个特征根都位于开的单位圆盘内的充分必要条件为|1|1+22。当A-db K-db 0时,系统(2)在唯一正平衡点E3(x*,y*)处雅可比矩阵J对应的特征多项式为P()=2-t r J+d e t J(5)其中,t r J=2+r x*(K+A-2x*)K(1+f y*);d e t J=r x*(K+A-2x*)K(1+f y*)+bx*y*r f(x*-A)(1+f y*)21-x*K +b +1。应用引理1得到如下定理。定理3 假设A-db K-db 0,系统(2)的唯一正平衡点E3(x*,y*)是局部渐近稳定的,当且仅当|t r J|1+d e t J2。3 N e i m a r k-S a c k e r分支当特征多项式(5)对应特征方程的特征值是一对模为1的复共轭根,则系统(2)在唯一正平衡点E3(x*,y*)处会产生一个N e i m a r k-S a c k e r分支,且此条件可以写成集合形式,即N S=(A,f,b,d,r,K):(t r J)2-4 d e t J0,d e t J=1。现在讨论系统(2)的所有参数在集合N S的小邻域内变化时,在唯一正平衡点E3(x*,y*)处发生的N e i m a r k-S a c k e r分支。选取参数(A,f,b,d,r,K)N S,系统(2)可以写为以下二维映射:XY Xe x pr(X-A)1+f Y1-XK -b Y Ye x p(bX-d)(6)921第4期 胡新利,等:具有恐惧和强A l l e e效应的离散食饵-捕食者模型给K一个小扰动K*,得到映射方程(6)的扰动映射XY Xe x pr(X-A)1+f Y1-XK+K*-b Y Ye x p(bX-d)(7)其中|K*|1表示小的扰动参数。令x=X-x*,y=Y-y*,则映射方程(7)转化为xy a1 1a1 2a2 1a2 2 xy +g1(x,y)g2(x,y)(8)其中:g1(x,y)=a1 3x2+a1 4x y+a1 5y2+b1x3+b2x2y+b3x y2+b4y3+O(|x|+|y|)4)g2(x,y)=a2 3x2+a2 4x y+d1x3+d2x2y+O(|x|+|y|)4)。a1 1=1+r x*(k+A-2x*)k(1+f y*),a1 2=-x*r f(x*-A)(1+f y*)21-x*k +b ,a2 1=by*,a2 2=1,a1 3=r(k+A-3x*)k(1+f y*)+r2x*(k+A-2x*)22k2(1+f y*)2,a1 4=-r b x*(k+A-2x*)k(1+f y*)+r f(3x*2-2A x*-2k x*+k A)k(1+f y*)2-r2f x*(x*-A)(k+A-2x*)k(1+f y*)3-b,a1 5=x*b r f(x*-A)(1+f y*)21-x*k +r f2(x*-A)(1+f y*)31-x*k +r2f2(x*-A)22(1+f y*)41-x*k 2+b22,b1=-rk(1+f y*)+r2(k+A-2x*)3k+3A-8x*-4r2x*6k2(1+f y*)2+r3x*(k+A-2x*)36k3(1+f y*)3,b2=-r f(k+A-3x*)k(1+f y*)2-r2f(k+A-3x*)k x*-A x*-k A+x*2+x*k2(1+f y*)3+r3f x*(x*-A)(k+x*)(k+A-2x*)22k3(1+f y*)4,b3=-r b2x*(k+A-2x*)2k(1+f y*)-r b f x*(k+A)k(1+f y*)2-r fr b x*2(x*-A)(k+A-2x*)+2k f(3x*2-2A x*-2k x*+k A)/2k2(1+f y*)3+r2f2(x*-A)(x*-k)(3x*2-2A x*-2k x*+k A)-3k(k+A-2x*)/2k2(1+f y*)3-r3f2x*(x*-A)2(x*-k)(k+A-2x*)/2k2(1+f y*)5,b4=16x*b2r f(x*-A)(1+f y*)2+b r f(x*-A)(1+f y*)41-x*k r(x*-A)(2+f)1-x*k +2b +2r2f3(x*-A)(1+f y*)51-x*k 1-2(x*-A)1-x*k -r3f3(x*-A)3(1+f y*)61-x*k 3-b3,a2 3=(b)2y*/2,a2 4=b,d1=(b)3y*/6,d2=(b)2/2,其中,k=K+K*。线性化系统(8)在平衡点(0,0)处的雅可比矩阵所对应的特征方程为2-T(K*)+D(K*)=0 (9)其中:T(K*)=2+r x*(K+K*+A-2x*)(K+K*)(1+f y*);D(K*)=r x*(K+K*+A-2x*)(K+K*)(1+f y*)+bx*y*r f(x*-A)(1+f y*)21-x*K+K*+b+1。假设(A,f,b,d,r,K)N S,则特征方程(9)有一对复共轭根,即1,2=T(K*)2i24D(K*)-(T(K*)2。因此,可以得到:|1|=|2|=D(K*);d|1|dK*K*=0=d|2|dK*K*=00。因为(A,f,b,d,r,K)N S,应该满足-2T(0)=2+r x*(K+A-2x*)K(1+f y*)2。031 西安工程大学学报 第3 7卷假设T(0)0,1,即r x*(K+A-2x*)K(1+f y*)j,j=-2,-1。因此,在K*=0时,m1,m21,m=1,2,3,4,等价于 T(0)2,0,1。故当K*=0时,方程(9)的根不在单位圆和坐标轴的交点上。为了获得线性系统(8)的标准型,当K*=0时,取=T(0)2,=124D(0)-T2(0)。并且考虑下面的变换xy a1 20-a1 1-uv (1 0)在式(1 0)的转换下,线性化系统(8)的标准形式可以写为uv -uv +f(u,v)g(u,v)。其中:f(u,v)=a1 3a1 2x2+a1 4a1 2x y+a1 5a1 2y2+b1a1 2x3+b2a1 2x2y+b3a1 2x y2+b4a1 2y3+O(|u|+|v|)4);g(u,v)=(-a1 1)a1 3a1 2-a2 3 x2+(-a1 1)a1 4a1 2-a2 4 x y+(-a1 1)a1 5a1 2y2+(-a1 1)b1a1 2-d1 x3+(-a1 1)b2a1 2-d2 x2y+(-a1 1)b3a1 2x y2+(-a1 1)b4a1 2y3+O(|u|+|v|)4)。式中:x=a1 1u;y=(-a1 1)u-v。定义非零实数 L=-R e(1-21)221-12 01 1 -12|1 1|2-|0 2|2+R e(22 1)K*=0(1 1)其中:2 0=18fu u-fv v+2gu v+i(gu u-gv v-2fu v);1 1=14fu u+fv v+i(gu u+gv v);0 2=18fu u-fv v-2gu v+i(gu u-gv v+2fu v);2 1=11 6fu u u+fu v v+gu u v+gv v v+i(gu u u+gu v v-fu u v-fv v v)。定理4 假设式(1 1)中L0成立,当系统(2)的所有参数在集合N S的小的邻域变化时,在唯一正 平 衡 点E3(x*,y*)处 会 产 生 一 个N e i m a r k-S a c k e r分支。若LK时,在平衡点处会分支出一个吸引的不变环;若L0,KK时,在平衡点处会分支出一个排斥的不变环。4 数值模拟例1 设系统(2)中的参数值为r=0.7 8,A=0.1 5,f=0.7,b=0.1 2,=0.4 6,d=0.1,K=3.2且初始值x0=1.8 1,y0=1.9 6。系统(2)在唯一正平衡点E3(x*,y*)处雅可比矩阵对应的特征多项式为P()=2-1.9 4 9 3+0.9 8 6 6,则|1.9 4 9 3|1+0.9 8 6 62。因此,系统(2)在唯一正平衡点E3(1.8 1 1 6,1.9 6 9 8)是局部渐近稳定的(定理3),如图1所示。(a)系统(2)的xn图 (b)系统(2)的yn图 (c)系统(2)的相图图 1 系统(2)唯一正平衡点E3的局部渐近稳定性F i g.1 T h e l o c a l a s y m p t o t i c s t a b i l i t y d i a g r a m o f t h e u n i q u e p o s i t i v e e q u i l i b r i u m p o i n t E3 o f s y s t e m(2)例2 设系统(2)中的参数值为r=0.7 5,A=0.1 1,f=0.9 4,b=0.1 2,=0.4 5,d=0.1,3K131第4期 胡新利,等:具有恐惧和强A l l e e效应的离散食饵-捕食者模型4.2且初始值x0=1.8 5,y0=1.8 1。当K=K1=3.3 6 2 1 7时,容易得出系统(2)有唯一的正平衡点E3=(1.8 5 1 8 5 1 8 5 1 8 5 2,1.8 1 0 1 8 5 4 8 7 0 4 6 6 3 1)。并且系统(2)在唯一正平衡点处雅可比矩阵对应的特征方程为2-1.9 6 4 5 9 6 5 8 7 2 5 0 7 1 8+1=0(1 2)此外,特征方程(1 2)的根为:1=0.9 8 2 3+0.1 8 7 3 i,2=0.9 8 2 3-0.1 8 7 3 i。且|1,2|=1。因此,(r,A,f,b,d,K)=(0.7 5,0.1 1,0.9 4,0.1 2,0.4 5,0.1,3.3 6 2 1 7)N S。系统(2)发生的分支图和最大L y a p u n o v指数图如图2所示。(a)xn的分支图 (b)yn的分支图 (c)最大L y a p u n o v指数图图 2 系统(2)分支图和最大L y a p u n o v指数F i g.2 B i f u r c a t i o n d i a g r a m a n d m a x i m u m L y a p u n o v e x p o n e n t s o f s y s t e m(2)从图2可以看出:当KK1时,系统(2)唯一的正平衡点E3是稳定的,对应的最大L y a p u n o v指数为负值,这意味着系统(2)不会产生混沌行为;当K=K1时,系统(2)发生N e i m a r k-S a c k e r分支。分支参数在K3,4.2 内变化时的相图见图3。当K=3.3时,平衡点E3(1.8 5 1 9,1.7 8 4 4)是局部渐近稳定的,见图3(a)。当K=3.3 时,形成光滑的闭合不变曲线,见图3(b)。图3(c)、(d)表明这些闭合不变曲线的半径随着K的增大而增大。此外,当K=4 时,闭合不变曲线消失,见图3(e),产生混沌吸引子,见图3(f)。(a)K=3.3 (b)K=3.3 6 2 1 7 (c)K=3.3 8 (d)K=3.5 (e)K=4 (f)K=4.1 3图 3 当K3,4.2 时系统(2)的相图F i g.3 P h a s e d i a g r a m f o r s y s t e m(2)w h e n K3,4.2231 西安工程大学学报 第3 7卷5 结 语对具有恐惧效应和强A l l e e效应的离散食饵-捕食者模型进行动力学分析。相比连续系统能够发生H o p f分支之外,离散系统具有更丰富的动力学性质。以K作为分支参数,系统能够在正平衡点处发生N e i m a r k-S a c k e r分支和更复杂的动力学行为,使得捕食者和食饵种群的稳定性发生改变,最终可能导致种群之间过度拥挤或者完全崩溃。从数值模拟可以直观地看出系统正平衡点的局部渐近稳定性、N e i m a r k-S a c k e r分支等丰富的动力学行为。参考文献(R e f e r e n c e s)1 A L L E E W C.A n i m a l a g g r e g a t i o n s,a s t u d y i n g e n e r a l s o c i o l o g yM.C h i c a g o:T h e U n i v e r s i t y o f C h i c a g o P r e s s,1 9 3 1.2 WAN G X Y,Z AN E T T E L,Z OU X F.M o d e l l i n g t h e f e a r e f f e c t i n p r e d a t o r-p r e y i n t e r a c t i o n sJ.J o u r n a l o f M a t h e m a t i c a l B i o l o g y,2 0 1 6,7 3(5):1 1 7 9-1 2 0 4.3 伏升茂,苏发儒.带恐惧因子和强A l l e e效应的捕食者-食饵扩散模型的H o f p分支J.西北师范大学学报(自然科学版),2 0 1 9,5 5(3):1 4-2 0.F U S M,S U F R.H o p f b i f u r c a t i o n o f a d i f f u s i v e p r e d a t o r p r e y m o d e l w i t h f e a r f a c t o r s a n d s t r o n g A l l e e e f f e c t sJ.J o u r n a l o f N o r t h w e s t N o r m a l U n i v e r s i t y(N a t u r a l S c i e n c e E d i t i o n),2 0 1 9,5 5(3):1 4-2 0.(i n C h i n e s e)4 王欢,邢慧.一类带有A l l e e效应及恐惧因子的捕食-食饵模型J.纺织高校基础科学学报,2 0 2 0,3 3(4):8 5-9 0.WANG H,X I N G H.A c l a s s o f p r e d a t o r p r e y m o d e l w i t h A l l e e e f f e c t a n d f e a r f a c t o rJ.B a s i c S c i e n c e s J o u r n a l o f T e x t i l e U n i v e r s i t i e s,2 0 2 0,3 3(4):8 5-9 0.(i n C h i n e s e)5 吕潘,刘俊利.具有恐惧效应的 L e s l i e-G o w e r捕食模型的稳定性J.纺织高校基础科学学报,2 0 2 1,3 4(2):8 7-9 5.L Y U P,L I U J L.T h e s t a b i l i t y o f L e s l i e-G o w e r p r e d a t o r-p r e y m o d e l w i t h f e a r e f f e c tJ.B a s i c S c i e n c e s J o u r n a l o f T e x t i l e U n i v e r s i t i e s,2 0 2 1,3 4(2):8 7-9 5.(i n C h i n e s e)6 YAN G X T.U n i f o r m p e r s i s t e n c e a n d p e r i o d i c s o l u-t i o n s f o r a d i s c r e t e p r e d a t o r-p r e y s y s t e m w i t h d e l a y sJ.J o u r n a l o f M a t h e m a t i c a l A n a l y s i s a n d A p p l i c a-t i o n s,2 0 0 6,3 1 6(1):1 6 1-1 7 7.7 S A E E D U,A L I I,D I N Q.N e i m a r k-S a c k e r b i f u r c a t i o n a n d c h a o s c o n t r o l i n d i s c r e t e-t i m e p r e d a t o r-p r e y m o d e l w i t h p a r a s i t e sJ.N o n l i n e a r D y n a m i c s,2 0 1 8,9 4(4):2 5 2 7-2 5 3 6.8 Z HU H P,C AMP B E L L S A,WO L KOW I C Z G S K.B i f u r c a t i o n a n a l y s i s o f a p r e d a t o r-p r e y s y s t e m w i t h n o n m o n o t o n i c f u n c t i o n a l r e s p o n s eJ.S I AM J o u r n a l o n A p p l i e d M a t h e m a t i c s,2 0 0 3,6 3(2):6 3 6-6 8 2.9 C U I Q Q,Z HAN G Q,Q I U Z P,e t a l.C o m p l e x d y n a m-i c s o f a d i s c r e t e-t i m e p r e d a t o r-p r e y s y s t e m w i t h H o l l i n g I V f u n c t i o n a l r e s p o n s eJ.C h a o s,S o l i t o n s&F r a c t a l s,2 0 1 6,8 7:1 5 8-1 7 1.1 0 KUN D U K,P A L S,S AMAN TA S,e t a l.I m p a c t o f f e a r e f f e c t i n a d i s c r e t e-t i m e p r e d a t o r-p r e y s y s t e mJ.B u l l.C a l.M a t h.S o c.,2 0 1 8,1 1 0(3):2 4 5-2 6 4.1 1 B AN E R J E E R,D A S P,MUKHE R J E E D.E f f e c t s o f f e a r a n d a n t i-p r e d a t o r r e s p o n s e i n a d i s c r e t e s y s t e m w i t h d e l a yJ.D i s c r e t e a n d C o n t i n u o u s D y n a m i c a l S y s t e m s-B,2 0 2 2,2 7(7):3 6 4 3.1 2 舒晴,谢景力,刘晗嫣.具有恐惧效应的离散捕食者-食饵模型的稳定性J.吉首大学学报(自然科学版),2 0 2 2,4 3(1):1 0-1 4.S HU Q,X I E J L,L I U H Y.S t a b i l i t y o f d i s c r e t e p r e d-a t o r-p r e y m o d e l w i t h f e a r e f f e c t J.J o u r n a l o f J i s h o u U n i v e r s i t y(N a t u r a l S c i e n c e E d i t i o n),2 0 2 2,4 3(1):1 0-1 4.(i n C h i n e s e)1 3 C E L I K C,D UMAN O.A l l e e e f f e c t i n a d i s c r e t e-t i m e p r e d a t o r-p r e y s y s t e mJ.C h a o s,S o l i t o n s&F r a c t a l s,2 0 0 9,4 0(4):1 9 5 6-1 9 6 2.1 4 D I N Q.C o n t r o l l i n g c h a o s i n a d i s c r e t e-t i m e p r e y-p r e d a t o r m o d e l w i t h A l l e e e f f e c t sJ.I n t e r n a t i o n a l J o u r n a l o f D y-n a m i c s a n d C o n t r o l,2 0 1 8,6(2):8 5 8-8 7 2.1 5 S A S MA L S K.P o p u l a t i o n d y n a m i c s w i t h m u l t i p l e A l l e e e f f e c t s i n d u c e d b y f e a r f a c t o r s:A m a t h e m a t i c a l s t u d y o n p r e y-p r e d a t o r i n t e r a c t i o n sJ.A p p l i e d M a t h e m a t i c a l M o d e l l i n g,2 0 1 8,6 4:1-1 4.1 6 F AN M,WAN G K.P e r i o d i c s o l u t i o n s o f a d i s c r e t e t i m e n o n a u t o n o m o u s r a t i o-d e p e n d e n t p r e d a t o r-p r e y s y s t e mJ.M a t h e m a t i c a l a n d C o m p u t e r M o d e l l i n g,2 0 0 2,3 5(9/1 0):9 5 1-9 6 1.1 7 A I S HA R AW I Z,P A L S,P A L N,e t a l.A d i s c r e t e-t i m e m o d e l w i t h n o n-m o n o t o n i c f u n c t i o n a l r e s p o n s e a n d s t r o n g A l l e e e f f e c t i n p r e yJ.J o u r n a l o f D i f f e r-e n c e