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第32卷 第4期 湖 南 城 市 学 院 学 报（自然科学版）Vol.32 No.4 2023年7月 Journal of Hunan City University（Natural Science）Jul.2023 利率相依的离散索赔双险种风险模型 黎 可1，唐志飘1，毕文毅1，谢永钦1,2(1.湖南信息学院 通识教育学院，长沙 410151；2.长沙理工大学 数学与统计学院，长沙 410114)摘 要：波动利率是影响保险业经营的外生变量之一，它会通过影响承保利润、投资收益等不同途径影响保险公司的运作机制和运营效率，而险种多元化是目前保险公司经营的现状与发展趋势本文从经典风险模型出发，探讨在利率变化、多险种情形下的保险公司破产概率及其相关问题首先，采用随机分析理论与方法，建立了当利率满足一阶自回归结构时的利率相依的离散索赔双险种风险模型；其次，根据保费到达时间的不同，分别推导出该风险模型下的保险公司破产概率以及破产时盈余与赤字分布所满足的积分递推方程；最后，结合实际数值案例进行了分析 关键词：波动利率；双险种；风险模型；破产概率 中图分类号：O211.6 文献标识码：A doi:10.3969/j.issn.1672-7304.2023.04.0009 文章编号：16727304(2023)04006106 Discrete claim double insurance risk model with interest rate dependence LI Ke1,TANG Zhipiao1,BI Wenyi1,XIE Yongqin1,2(1.School of General Education,Hunan University of Information Technology,Changsha,Hunan 410151,China;2.School of Mathematics and Statistics,Changsha University of Science&Technology,Changsha,Hunan 410114,China)Abstract:Fluctuating interest rate is one of the exogenous variables that affects the operation of insurance industry,which will affect the operation mechanism and efficiency of insurance companies through different paths such as premium profit and investment returns.And the diversification of insurance types is the current situation and development trend of insurance companies.Based on the classical risk model,this paper discusses the bankruptcy probability of insurance companies and its related problems in the case of interest rate change and multi-insurance.First of all,by using the theory and method of stochastic analysis,a discrete claim double insurance risk model with interest rate dependence is established when the interest rate satisfies the first-order auto-regressive structure.Secondly,according to the different arrival time of the premium,the integral recursive equations of the ruin probability and the surplus and deficit distribution of the insurance company under the risk model are derived respectively.Finally,the obtained results were demonstrated through specific practical examples.Key words:fluctuating interest rate;double type-insurance;risk model;ruin probability 风险是保险的基础风险理论的发展至今已有近百年的历史，一直是精算学和金融学研究的热点问题风险理论主要研究保险公司在经营中的盈余风险管理问题，其利用现代数学理论与方法对盈余风险进行定量分析并建立相应的数学模型，由此讨论其破产概率、调节系数等，为保险经营活动提供有效的风险分析和风险控制在风险理论中，其基础模型是 Lundberg1于 1903 年首次提出的 Cramer-Lundberg 模型，其表达式为()1N tkkU tuctZ其中，()U t为保险公司t时刻的资产盈余；u为初始资本；c为单位时间内的保费收入，且0c；0()tN t为参数的泊松过程，表示0,t 时间间隔内发生索赔的次数；kZ为第k次索赔额的大小且kZ为独立同分布的随机变量序列 Cramer-Lundberg 模型也被称为古典风险模型，它是风险理论研究的基础多年来，国内众多学者根据保险企业实际经营情况从不同的角度对古典风险模型进行了推广(见文献2-8)在Cramer-Lundberg 模型中，索赔次数为随机变量，收稿日期：2023-03-15 基金项目：教育部高等教育司产学合作协同育人项目(202101170005)；湖南省社会科学成果评审委员会课题(XSP2023JYC277，XSP21YBC368)第一作者简介：黎可(1982)，女，长沙人，讲师，硕士，主要从事保险风险理论及应用研究E-mail: 湖 南 城 市 学 院 学 报（自然科学版）2023年第4期 62 因此不少学者分别研究了当索赔次数服从广义泊松分布、负二项分布、复合广义泊松分布等风险模型的破产概率4-7如于文广2在经典的复合泊松分布风险模型的基础上，构建了 2 类复合广义泊松过程的多险种风险模型，并推导出当初始资本为u时的破产概率的精确解析式，以及调节系数方程与其上界、下界；刘博等3根据索赔方式对经典风险模型进行了分析与推广，并推导出其破产概率表达式 从已有的相关研究可以看出，人们大多只考虑单险种的经营过程然而，随着保险业经营规模的不断扩大，其险种多元化已成为常态因此，很有必要也必须考虑多险种风险模型，这样才能更好地描述保险运营的客观机理，从而指导企业的经营与决策目前，混合多险种风险模型研究已取得一定的成果，如马丽娟等8和赵静等9分别讨论了双险种风险模型的破产概率及其相关问题此外，针对利率变化下的风险模型，人们通常只考虑随机利率情形，如彭丹等10讨论了随机利率下的离散索赔风险模型，并推导出破产前预期累积分红所满足的差分方程和在特殊索赔情形下预期累积分红现值的精确解析式；杨微等11基于随机利率的离散风险模型，推导出保险公司的生存概率、有限时间内的破产概率以及破产后的赤字分布与盈余首次低于某一水平的时间分布的递推公式 基于此，本文在利率满足一阶自回归结构的情形下，建立相应的利率相依的离散索赔双险种风险模型，并以此探讨破产盈余、破产赤字等重要指标函数间的关联，同时确定这些函数与破产概率之间的关系，推导出其所满足的积分递推方程 1 利率相依的离散索赔双险种风险模型 设保险公司的初始资本为u，险种 1 和险种 2 在1,)kk时间内的保费收入分别为12kkXX、，其理赔支出分别为12kkYY、，利率为kr若保费收入12kkXX、于1,)kk最终时刻获得，则险种 1 和险种 2 在1,)kk时间内的累计承保收益分别为11111nnkkiki kXYr 和22111nnkkiki kXYr 记1nsii sRr，则保险公司在n时刻的资产和负债的差值，即累计盈余nU可表示为模型，即 112211111.nnnkkkkkkkkUuRXYRXYR (1)若保费收入12kkXX、于1,kk最初时刻获得，则累计盈余nU满足模型，即 11221111111.nnnkkkkkkkkkkUuRXrYRXrYR (2)其中，1212kkkkXXYY、均为独立同分布的非负随机变量序列；kr为具有一阶自回归结构的非负随机变量序列，即 1,1,2,nnnrarn (3)且满足递推关系 1011,1,2,.nnnnnra raan (4)其中，01a、00r 且均为常数；k为独立同分布的非负随机变量序列，且具有分布函数 kG xPx 1212kkkkkXXYY、均相互独立且具有有限期望值 保险公司的财务状况和偿还能力是保险人和投保人十分关注的问题为了弄清保险公司破产时的实际状况，研究其破产前一时刻的盈余和赤字情况是非常必要的1988 年，Dufresne 等12引入了能描述保险公司破产前一时刻盈余分布状况的函数基于此，本文在利率满足一阶自回归结构的离散索赔双险种风险模型下，对该问题进行探讨 定义定义 1 设保险公司的初始资本为u，当累计盈余首次为负值时，这一时刻被称为首次破产时刻(简称破产时刻)，可记为 inf000;uTtU tUu，(5)黎可，等：利率相依的离散索赔双险种风险模型 第 32 卷 63 那么，在有限时间内的破产概率(简称破产概率)，可记为 000,inf00;uttu tPU tUuP Tt (6)其最终破产概率可记为 0inf00.utuPU tUuP T (7)定义定义 2 设保险公司的初始资本为u，在破产时其资产负债小于或等于y的概率，即破产时的赤字分布，可记为 0,0 0;uD u y rP U Ty Uuy (8)当初始利率为0r时，破产前保险公司盈余小于或等于x的概率，即破产前的瞬时盈余分布，可记为 00,sup,00;ut TG u x rPU tx Uux (9)当初始利率为0r时，在破产时其资产负债小于或等于y且在破产前其盈余小于或等于x的概率，即破产时瞬时盈余和赤字的联合分布，可记为 0,(,10)0,0.uuH u x y rP U Ty U Tx Uuxy (10)2 模型讨论 设11122212,kkkkkkkkkZYXZYXZZZ，显然，kZ为独立同分布的随机变量，可记kZ的分布函数为()()kF uP Zu为了保证保险公司的正常运营，必须附加一定的风险负荷，即要求0kEZ 记1122121111/1,/1,kknnnkinkinnnkkiiSZrSZrSSS，则模型可被改写为 1111.nnnkknkkUurrS (11)由破产时瞬时盈余和赤字的联合分布0(,)H u x y r的定义式(10)，有 0(,)(,(),(1)|(0)uuuH u x y rP TU Ty U Tx Uu 11,0unnnP Tn Uy Ux Uu 1210-11111,.11nnnnnnnnkkkkyxP SuuSu SuSugu x y rrr (12)其中，0,ngu x y r表示当初始资产为u、破产时刻为n时，保险公司的资产负债小于或等于y且在1n时刻盈余小于或等于x的概率若约定00S，则10101,1ygu x y rP SuuxSur 当xu时，有 10(,)0.g u x y r (13)当xu时，有 1000,1d.gu x y rF uaryG (14)于是有 202112121111122,1111,1111yxgu x y rP SuuSurrrZyP ZururxZurrr 湖 南 城 市 学 院 学 报（自然科学版）2023年第4期 64 0000012022010202110001110001dd111,dd1,dduaruarxuaruarxuarZyPuarsF sGa raa raguars x y arF sGguars x y arF sG 0110001,dd.uarxguars x y arF sG (15)但由于0,1suarx，即01xuars 那么，由式(13)可得100(1),)0g uars x y ar 因此，0110001,dd0uarxguars x y arF sG 于是有 01201000,1,dd.uargu x y rguars x y arF sG (16)类似地，有 03032112312321122323021122,111111,11111dd1111uaryxgu x y rP SuuSu SurrrrrZZyursrrrrrPF sGZxursursrr 0120001,dd.uarguars x y arF sG (17)由数学归纳法可知，当2n 时，有 011111,11nnnnnkkkkyxgu x y rP SuuSuSurr 01-10001,dd.uarnguars x y arF sG (18)由式(12)可知，01,nngu x y r收敛，且有 000101110002,1,ddnnuarnnH u x y rgu x y rgu x y rguars x y arF sG 01100001,1,dd.uarnngu x y rguars x y arF sG (19)因此，0(,)H u x y r满足定理 1 结论 定理定理 1 设保险公司的初始资本为u，初始利率为0r，则破产时瞬时盈余和赤字的联合分布0(,)H u x y r满足积分递推方程 01010000,1,dd.uarH u x y rgu x y rH uars x y arF sG (20)其中，1000,1d.gu x y rF uaryG (21)黎可，等：利率相依的离散索赔双险种风险模型 第 32 卷 65 仿照讨论0,H u x y r的过程，进一步分析破产概率0,u r、赤字分布0,D u y r和盈余分布0,G u x r同理，可得定理 2 定理定理 2 设保险公司的初始资本为u，初始利率为0r，则 01010000,1,dd,uaru ru ruars arF sG (22)01010000,1,dd,uarD u y rdu y rD uars y arF sG (23)01010000,1,dd.uarG u x rgu x rG uars x arF sG (24)其中，10101000,0,0,11d;u rP UUP Su SuF uarG (25)10101,11uydu y rP uSuSu Tr 00011d;F uaryF uarG (26)10100,11d.gu x rP Su uxF uarG (27)3 模型讨论 设11122212,kkkkkkkkkZYXZYXZZZ，显然，kZ为独立同分布的随机变量，可记kZ的分布函数为*1FuP Zu 记1211221111,/1,/1kknnnnnnkinkikkiiSSSSZrSZr，则模型可被改写为 1111.nnnkknkkUurrS (28)仿照模型的讨论过程，可得定理 3 定理定理 3 设保险公司的初始资本为u，初始利率为0r，则有 01*010000,1,dd,uarH u x y rgu x y rH uars x y arFsG (29)01*010000,1,dd,uaru ru ruars arFsG (30)01*010000,1,dd,uarD u y rdu y rD uars y arFsG (31)01*010000,1,dd.uarG u x rgu x rG uars x arFsG (32)其中，*1010001,1d;1ygu x y rP SuuxSuFuaryGr *10101000,0,0,11d;u rP UUP Su SuFuarG 10101,11uydu y rP uSuSu Tr *00011d;FuaryFuarG *10100,11d.gu x rP Su uxFuarG 湖 南 城 市 学 院 学 报（自然科学版）2023年第4期 66 4 数例分析 取初始利率0r为 5%和 2%、自回归系数a为0.8，并假设保费和索赔额分别服从参数为12、的指数分布，且k服从标准正态分布，在不同初始资本u下讨论模型的破产概率由式(25)算出的破产概率0,u r分布曲线如图 1 所示 图 1 不同初始资本与利率下的破产概率曲线 由图 1 可知，随着初始资本u的增加，破产概率0,u r依次递减，这说明了初始资本的重要性；当利率不同时，0,u r曲线的变化趋势相同但衰减强度不同，这说明利率变化会影响保险公司的实际经营因此，保险经营者面对利率变化带来的风险应及时调整运营方案，以保证企业的稳定经营 5 结语 本文基于经典风险模型，从保费到达的时间出发，构建了利率满足一阶自回归结构时的离散索赔双险种风险模型，并推导出该模型下的破产概率以及破产时盈余与赤字分布所满足的递推积分方程，其数例分析结果较好地体现了所提模型对保险公司安全经营与监督的指导意义 参考文献：1 LUNDBERG F.Approximerad framstllning av sannolikhets-funktionenD.Stockholm:Almqvist&Wiksell,1903.2 于文广.复合广义齐次泊松过程的多险种破产概率J.应用数学与计算数学学报,2003,17(2):63-69.3 刘博,刘鑫.几类风险模型下保险公司的破产概率J.金融理论与数学,2021,6(1):32-34.4 周瑾,王传玉,陈哲.带干扰的广义泊松风险模型最优预防策略J.安徽工程大学学报,2022,37(2):85-94.5 牛银菊,马崇武.索赔次数服从负二项分布的风险模型的破产概率J.江西师范大学学报,2020,5(1):530-533.6 王芃芃,王燕婷,江一鸣.索赔次数服从负二项分布的破产概率J.南开大学学报(自然科学版),2013,46(4):76-80.7 张晋源,彭江艳,井浩杰.一般相依索赔离散风险模型的破产概率渐近估计及数值模拟J.数学的实践与认识,2020,50(5):104-111.8 马丽娟,左艳芳.常利率环境下双险种离散时间风险模型的破产问题J.云南民族大学学报(自然科学版),2009,18(3):218-222.9 赵静,何敬民,周奕帆.经典风险模型下混合双险种最优再保险的研究J.首都师范大学学报(自然科学版),2023,44(1):11-16.10 彭丹,侯振挺,刘再明.随机利率下相依索赔的离散风险模型的分红问题J.应用数学学报,2011,34(6):1056-1067.11 杨微,徐赐文.随机利率离散时间风险模型的几个结果J.金融经济,2011(6):100-102.12 DUFRESNE F,GERBER H U.The surpluses immediately before and at ruin,and the amount of the claim causing ruinJ.Insurance:Mathematics and Economics,1988,7(3):193-199.(责任编校：龚伦峰)