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第2 6 卷第3期2023年5月doi:10.3969/j.issn.1008-1399.2023.03.023高等数学研究STUDIES IN COLLEGE MATHEMATICSVol.26,No.3May,2023矩阵秩的重要不等式及其应用梁英吉（山西晋中理工学院，山西晋中0 30 6 0 0)摘要本文综合介绍了矩阵秩的常见不等式，并且给出了常见的证明方法，并结合在研究生入学考试中的例题给出具体分析.关键词线性代数；矩阵的秩；不等式中图分类号0 151.2文献标识码A文章编号10 0 8-1399(2 0 2 3)0 3-0 0 6 4-0 3Inequalities of the Rank of Matrix and Their ApplicationsLIANG Yingji(Shanxi Jinzhong Institute of Technology,Jinzhong 030600,China)Abstract This paper introduces and proves some inequalities about the rank of matrix.Examples from the nation-al entrance examination for postgraduate studies are given to show the applications of these inequalities.Keywords linear algebra,rank of matrix,inequalities在线性代数的学习中，矩阵是一个重要的内容.矩阵的秩是矩阵的重要的数字特征之一1，它在研究向量组、线性方程组及线性空间等中有重要应用.许多学者对矩阵秩的不等式进行了研究，如文献1介绍了常见的秩的不等式；文献2、3、4从不同的角度介绍了秩的不等式以及相关应用；文献5着重研究了Sylvester不等式和Frobenius不等式.本文综合介绍矩阵秩的常见不等式，并且给出了常见的证明方式.然后结合考研中出现的题目，进行具体分析.关于矩阵秩的常见的不等式及证明1.R(A+B)R(A)+R(B)证明设A、B均为mXn矩阵，R（A）=r，R(B)=s.将矩阵A、B按列分块A=(i2收稿日期：2 0 2 1-11-2 5作者简介：梁英吉（198 4一），男，山西忻州人，硕士，助教，主要研究线性代数，Email：l i a n g y i n g j i 12 6.c o m则A+B=(i+2+.n+,).不妨设向量组iiz，和，,分别为矩阵A、B列向量组的极大无关组.由极大无关组的定义，A、B的列向量组分别可以由它们的极大无关组(iB,)线性表出.因此A+B的列向量组1+，2 十2，,+，也可以由i，iz，,i,，,B,，,线性表出.于是R(A+B)=A+B的列秩R(i,iz,ai,Bi,Bi,)R(A)+R(B).2.设A是mXn矩阵,B是nXs矩阵,则R(AB)min(R(A),R(B).6)证明设AB=C,则矩阵B是矩阵方程AX=C的解,因此有 R(A)=R(A,C).而n),B=(2,)R(C)R(A,C)=R(A),即 R(AB)R(A).又因为BTAT=CT，由上面证明可知R(CT)R(BT,CT)=R(BT),修改日期：2 0 2 2-0 2-2 6即 R(C)=R(AB)R(B).综上,R(AB)min(R(A),R(B).第2 6 卷第3期3.设A、B、C 均为n阶方阵,则A0RR(A)+R(C).BC证明设 R(A)=ri,R(C)=r,则A中有一个ri阶子式|A|不为零,C中有一个r阶子式|C|不为A0零，则中存在子式BCA0所以Rri+r2=R(A)+R(C).BC4.（Sy lv e s te r 不等式)设A是mXn矩阵，B是nXs矩阵,则R(A)+R(B)n+R(AB).证法1因为(E00ABAAB所以(E0n+R(AB)=R=R0ABR(A)+R(B)即 R(A)+R(B)n+R(AB).证法2 4设R(A)=ri,R(B)=r,则存在可逆矩阵P1,Q1,P2,Q2使得，Er0A=PiQ1，B=P20 0则E,AB=P100D)D2记D=QiP2=,其中Di是一个riXr2矩D:D4阵，故0AB=P1Q2R(AB)=R(Di).00由于Di是D去掉n一ri行与n一r列得到的,所以R(AB)n(nri)-(n-r2)=ri十r一n,即 R(A)+R(B)n+R(AB).5.（Fr o b e n iu s 不等式）设A是mXn矩阵，B是nXs矩阵,C是sXp矩阵,则R(AB)+R(BC)R(ABC)+R(B).证法1因为B00ABC(ABABC,梁英吉：矩阵秩的重要不等式及其应用所以R(B)+R(ABC)=R=RAB0A10=|AI ICI0,BCE，00E0Q.P2Q2OB065B0ABCJB一BCR(AB)+R(BC),即 R(AB)+R(BC)R(ABC)+R(B).证法2（利用 Sylvester 不等式证明）设 R(B)=r，则存在n阶可逆矩阵P与s阶可逆矩阵Q，使得B=P0E.记L=P,R=(E,O)Q,则B=LR.于是0R(ABC)=R(ALRC)R(AL)+R(RC)-rEBA0E-BA0E,Q00BBCAB0E,R(ALR)+R(LRC)一r=R(AB)+R(BC)-R(B).注在Frobenius不等式中，当矩阵B为单位矩阵E时,有R（A）十R(C)R（A C)十n,得到了Sylvester不等式.二应用举例矩阵秩的不等式主要应用有两方面：一是证明其它矩阵不等式或等式，二是求矩阵的秩或者证明矩阵是否可逆.例1(2 0 0 7，北京大学）设n阶矩阵A、B可交换,证明R(A+B)RR(A+B)-R(AB),0-ABJ所以R(A+B)R(A)+R(B)-R(AB).分析利用分块矩阵初等变换证明不等式的关键在于构造出A十B与AB，然后利用不等式2、3进行证明.证法 2 因为AB=BA,所以Q.ABA+BB0BA+BBA+BB0-ABA+BBBBJBB66由Frobenius不等式,有AR(BA,一AB)+RR(B）0BJ又由AB=BA知R(BA，一AB)=R（A B），代人上式得AR(AB)+RR（B）0BA注意到A+B=（EE)BAB)R.于是BR(AB)+R(A+B)R(AB)+R0R=R(A)+R(B),0BJ即 R(A+B)R(A)+R(B)-R(AB).分析这个证明方法充分利用了Frobenius不等式在三个以上矩阵乘积的秩的不等式中的独特作用.例2（2 0 15，华南理工大学）设A、B是n阶矩阵,证明R(AB一E)R(A一E)+R(B一E).证明因为AB-E=(AE)AE由不等式2 得B-ER(AB-E)RR(B-E)+R(A-E)A一E例3(2 0 2 0,华东师范大学）设n为奇数，A、BEM(C)，且A=O,证明:AB一BA不可逆.高等数学研究A0EO=(B,-A)0BEA0=R(A)+R(B).A0=R(A)+R(B).，由不等式2 知R(A十A(B)A(B-E)2023年5月证明因为A=O，由Sylvester不等式得2R(A)n(因为n为奇数,所以是严格小于).于是R(AB-BA)R(AB)+R(BA)R(A)+R(A)=2R(A)n,故AB一BA不可逆.分析欲证明AB-BA不可逆，可以考虑证明其秩小于n.先利用Sylvester不等式，结合n为奇数，得出2 R(A)n，然后再利用不等式1得出最后结论.三结语矩阵的秩的不等式应用通常以证明题为主，在解题的过程中，要综合考虑线性方程组、分块矩阵、线性变换等理论，还要熟练掌握Sylvester不等式与Frobenius不等式等的使用.参考文献1郭素霞.谈矩阵的不等式J.衡水学院学报，2 0 0 7，9(1):53-54.2黄述亮.关于矩阵秩的几个重要不等式.辽东学院学报（自然科学版），2 0 2 1,2 8（1）：6 1-6 5.3贺旗，廖小莲.矩阵秩的不等式及其在高等代数考研试题中的应用J.理论数学，2 0 2 1，8：16 0 1-16 0 8.4徐小萍.矩阵秩的不等式及其应用J.廊坊师范学院学报（自然科学版），2 0 12，12（5）：19-2 1.5胡付高.关于一类矩阵秩的恒等式注记J.武汉科技大学学报（自然科学版），2 0 0 4，2 7（3）：32 2-32 3.6同济大学数学系.线性代数M.北京：高等教育出版社，2 0 16.(上接第10 5页)1习近平.思政课是落实立德树人根本任务的关键课程.人民网，2 0 2 0，8，30.http:/ 0 10.3黄海，陈扬唯物辩证法的哲学品格N.北京：光明日报，2 0 19-7-31.4范秀山数学辩证法M.北京：光明日报出版社，2015.5孙涛，裴丽芳高等数学中的哲学思想高师理科学刊,2 0 15,35(4)：6 1-6 4.参考文献6武瑛，韩国栋.高等数学中的人生道理一一以连续性与凹凸性为例J.科技信息，2 0 10，33:2 2.7李晓奇，惠兴杰，王晓敏。高等数学中的否定之否定J.高等理科教育2 0 0 3，（S2)：17 6-17 7.8邱念慈.高等数学：辩证法的渊一一高等数学中的对立统一规律例谈J.扬州教育学院学报，2 0 0 5，2 3(3):16-19.9同济大学数学教研室.高等数学M.7版.北京：高等教育出版社，2 0 14.