例谈圆锥曲线离心率取值范围的求解策略.pdf

例谈圆锥曲线离心率取值范围的求解策略袁继华(山东省单县第二中学 2 7 4 3 0 0)【摘要】本文以近几年的高考试题和模拟试题为例,谈谈离心率取值范围的常见题型的应对策略,以供参考.【关键词】离心率;圆锥曲线;不等关系1 利用已知条件构建不等式例1 已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的右焦点为F,上顶点为B,直线l:x-y=0与椭圆C交于不同的两点M,N,满足MF+NF=4,且点B到直线l的距离不小于22,则离心率的取值范围是()(A)0,32.(B)32,1.(C)0,22.(D)22,1.解析 设E为椭圆的左焦点,连接ME,NE,则四边形NFME为平行四边形,所以NE+NF=ME+MF=2a=4,所以a=2,由点B(0,b)到直线l:x-y=0的距离不小于22,即b1+122,所以b1,所以 椭 圆 的 离 心 率e=ca=1-ba 2=1-b421-14=32,所以00,b0 的左,右焦点,若双曲线上存在点P满足P F1P F2=-a2,则双曲线离心率的取值范围是()(A)3,+.(B)2,+.(C)3,+.(D)2,+.解析 由 题 意,取 点P为 右 支 上 的 点,设|P F1|=m,|P F2|=n,F1P F2=,根据双曲线的定义知m-n=2a,在F1P F2中,由余弦定理可得c o s=m2+n2-4c22m n,又因为P F1P F2=-a2,所以m nc o s=-a2,即m2+n2=4c2-2a2,又因为ma+c,nc-a,所以c+a 2+c-a 24c2-2a2,得c22a2,即e 2,故选 (B).评注 涉及焦点三角形问题时,要充分利用圆锥曲线的定义、性质、正弦定理、余弦定理以及平面向量等知识解决问题.本题根据题设,利用双曲线的定义,余弦定理得到关于m,n的等式,关键是性质ma+c,nc-a的发现难度较大.3 利用判别式构建不等式例3 已知椭圆C:x2+y2b2=1(b0且b1)与直线l:y=x+m交于M,N两点,B为上顶点.若BM=BN,则椭圆C的离心率的取值范围是()(A)0,22 .(B)22,1 .(C)63,1 .(D)0,63.522 0 2 3年9月上例题精讲 数理天地 高中版解析 设直线 l:y=x+m与椭圆C:x2+y2b2=1交于M x1,y1 ,N x2,y2 两点,联立y=x+m,x2+y2b2=1,得(b2+1)x2+2m x+m2-b2=0,所以x1+x2=-2mb2+1,x1x2=m2-b2b2+1,=(2m)2-4(b2+1)(m2-b2)=4b2(b2+1-m2)0,设线段MN的中点为G,则G-mb2+1,b2mb2+1 ,因为 BM=BN,所以直线B G垂直平分线段MN,所以直线B G的方程为y=-x+b,且经过G点,可得b2mb2+1=mb2+1+b,所以m=b3+bb2-1,因为b2+1-m20,所以b2+1-b2+bb2-1 20,0b33,因为e2=1-b2,所以63eb0 的左,右焦点分别是 F1,F2,P为椭圆M上任意一点,且P F1P F2的 最 大 值 的 取 值 范 围 为12c2,3c2 (c2=a2-b2),求椭圆的离心率的取值范围.解析 因为P是椭圆上一点,所以P F1+P F2=2a.所以2a=P F1+P F22P F1P F2,即P F1P F2P F1+P F22 2=2a2 2=a2,当且仅当P F1=P F2时取等号.所以12c2a23c2,所以13e22,又因为0e1,所以 33e0,b0)的左、右焦点分别为F1,F2,点P在双曲线的右支上,且|P F1|=4|P F2|,则此双曲线的离心率的取值范围是.解析 由双曲线定义知|P F1|-|P F2|=2a,又|P F1|=4|P F2|,所以P F1=83a,P F2=23a,在P F1F2中,由余弦定理c o s F1P F2=6 49a2+49a2-4c2283a23a=1 78-98e2,因为点P在双曲线的右支上,所以F1P F2 0,c o s F1P F2-1,1 ,-11 78-98e21,即1e53,所以双曲线的离心率的取值范围是1,53 .评注 本题解法利用余弦函数的有界性,构造关于离心率的不等式,首先由双曲线定义和余弦定理建立c o s F1P F2和离心率的函数关系式,根据F1P F2的余弦值范围得到答案.62 数理天地 高中版例题精讲2 0 2 3年9月上