空间维数对椭圆型微分方程解的影响.pdf

鲁东大学学报(自然科学版)()():收稿日期:修回日期:基金项目:国家自然科学基金()山东省自然科学基金()山东省高校科技发展计划()通信作者简介:樊永红()男教授硕士研究生导师博士研究方向为非线性分析及微分方程:.:././.空间维数对椭圆型微分方程解的影响马玉瑾樊永红王琳琳(鲁东大学 数学与统计科学学院山东 烟台)摘要:本文研究一类带有 临界指数的椭圆型微分方程在一定条件下的临界维数问题 通过利用 型恒等式的论证方法和 函数得出在一定维数范围下方程解的不存在性结论关键词:临界维数 临界指数 恒等式 函数中图分类号:.文献标志码:文章编号:()椭圆型微分方程在物理学、机械制造及生命科学等领域中有广泛的应用其临界维数问题是微分方程问题中较重要的一部分因此很多学者研究相关问题并得出一些很好的结论考察如下带有 临界指数的椭圆型微分方程:()其中:是 ()中有界光滑的开子集 是临界指数 文献 证明了当 为星形区域且 时方程()不存在非平凡解 文献 基于 理论证明了当 为球形区域方程()在 时无解并得出 ()和 ()()得出:当 ()且 ()时方程()无解当 ()或 ()()第 期马玉瑾等:空间维数对椭圆型微分方程解的影响 的临界维数问题其中:是 中的有界光滑开子集 ()()是 临界指数目前已得到:当 ()()时方程()有解 本文将讨论当 ()时方程()的解的情况预备知识下面 个引理对于本文结论的形成具有重要作用引理 若 当()存在 当 ()时()且()()若 则有 ()()()()解的不存在性定理 若 将式()分别乘()()和()()然后相加并在区间 上积分得 ()()()()其中:()()()()()()()()令 则式()化简为 ()()()()现考虑方程 令 ()则有第 期马玉瑾等:空间维数对椭圆型微分方程解的影响 ()()()()()()将方程()的解 的第一个正根记作 求得 时的第一特征值 根据引理()将方程()的解 写为()()()()可以得到 的第一个正根为 则 ()选择 ()()则式()化简为 ()()()()()()根据引理()、()知当 ()时()()()()进一步由引理()可得()()()()()()()其中 )则有 )()根据式()可知式()右边大于 这与式()矛盾即方程()无解 结语本文利用 恒等式和 函数探究了一类带有 临界指数的椭圆型微分方程的临界维数问题证明该微分方程在一定条件下解的不存在性 下一步工作是将此方法应用到更一般的方程证明中得出有关临界维数的结论例如探究 拉普拉斯方程的临界维数问题参考文献:.().:.():.贾润杰商彦英.一类边界奇异临界椭圆方程正解的存在性.西南师范大学学报(自然科学版)():.曹道民彭双阶王庆芳.恒等式及其在非线性椭圆型方程中的应用.中国科学:数学():.:.():.():.():.():.鲁东大学学报(自然科学版)第 卷():.():.():.():.:(责任编辑 顾建忠)(上接第 页):()():.:()(责任编辑 顾建忠)