课程思政视域下“常数项级数”的教学案例.pdf

收稿日期2 0 2 1-1 0-1 0;修改日期2 0 2 2-0 4-2 0 基金项目国防科技大学研究生教改课题(y j s y 2 0 1 9 0 3 6);湖南省课程思政建设研究项目(HNK C S Z-2 0 2 0-0 0 2 5)作者简介朱永婷(1 9 8 1-),女,硕士,副教授,从事大学数学教学与研究.E-m a i l:4 8 1 4 3 3 4 5q q.c o m第3 9卷第3期大 学 数 学V o l.3 9,.32 0 2 3年6月C O L L E G E MATHEMAT I C SJ u n.2 0 2 3课程思政视域下“常数项级数”的教学案例朱永婷,吴奇明(国防科技大学 国际关系学院 基础教学系,南京2 1 0 0 3 9)摘 要结合教学实践,基于常数项级数的教学内容,设计一种比较新颖的教学案例.在课程思政视域下通过悖论引入、概念生成、矛盾解决、拓展应用等教学环节,以期实现“知识传授、能力培养、价值引领”三者的有机融合.实践证明,这对学生常数项级数概念的理解、理性分析问题能力的培养、核心价值观的引领方面具有良好的效果.关键词常数项级数;悖论;敛散性;课程思政 中图分类号O 1 7 2.1 文献标识码C 文章编号1 6 7 2-1 4 5 4(2 0 2 3)0 3-0 0 2 5-0 61 引 言目前通用的高等数学教材有关常数项级数的教学内容,大体是类似的,通过引例引出常数项级数的基本概念,然后给出收敛级数的基本性质,而常用的引例不外乎以下几种类型,史料型:庄子 天下篇“一尺之锤”“刘徽割圆术求圆的面积”,实例型:“污染物的排放”“弹性小球跳动问题”,悖论型:“芝诺悖论”“阿基里斯悖论”等.通过创设情景,案例导入,引出课题,在授课过程中,根据案例的类型,不同程度的融入“文化自信”“环境保护”“蜗牛精神”等思政元素.而本文在查阅大量相关资料的基础上,结合多年的教学实践,设计出源于教材而不拘泥教材的教学案例,除了潜移默化上述的精神品质及思想方法外,还着力消除学生学习中遇到的困惑,培养去伪存真、敢于质疑、坚持真理1、勇于创新的精神,学会用严谨理性的思维分析问题,体会理性思维的魅力,感受科学严谨的力量,让科学思维与思政引导同频共振.2 引入格兰迪悖论,巧设疑惑意大利数学家格兰迪曾在1 7 0 3年提出一类无穷级数,1-1+1-1+1-1,该级数形式看似简单,但关于“求和”在当时引起广泛热议,许多一流数学家都认为该级数的“和”是存在的,比如欧拉、伯努利,当时激烈争论的结果主要有三种,分别是0,1和12,三种结果产生分歧长达1 5 0年左右,其中雅各布伯努利在1 6 9 6年的论文中有如下推理1:lm+n=lm 1+nm-1=lm-l nm2+l n2m3-.当m=n=l时得到12=1-1+1-1+1-1.但另一方面,使用结合律,可以得到互相矛盾的结果:1-1+1-1+=(1-1)+(1-1)+=0;1-1+1-1+=1-(1-1)-(1-1)-=1.伯努利把这种从0到1的现象称为“无中生有”,而数学家欧拉似乎对无穷级数也有着十分独特的见解,他通过展开又重新发现这一悖论:(1-x)(1+x+x2+x3+)=1-x+x-x2+x2-x3+x3=1.1+x+x2+x3+=11-x(x1),令x=-1,得1-1+1-1+1-1=12.关于这个结果,格兰迪还做了有趣的比喻来说明它的“正确性”,两个儿子继承父亲的一块宝石,他们轮流保管1年,等价于各自保管半年,拥有半块宝石,所以其“和”是12,这种有趣的悖论吸引了很多数学家来研究,莱布尼茨、拉格朗日、傅里叶、泊松,他们都认为12是“最佳答案”.这些自相矛盾的结果困扰着数学家长达数百年,直到1 9世纪,严密化无穷级数理论的建立,这个问题才被彻底解决.通过引入这段史实,使学生们认识到,数学家也不是天才,也会走弯路,学习过程中如果遇到困难,不要畏缩,走了弯路,也不要失去信心,始终保持积极向上的态度和永不止步的劲头,从而培养坚守初心、勇于探索、坚持真理、敢于创新的精神.同时,该悖论的引入可以判断学生的认知水平,以便在后续的授课中有效把握教学的重点和难点,研究无穷级数,首先是求和,然而其和是否存在,需要讨论级数的敛散性,而敛散性的依据就是部分和数列的极限,如果极限存在,级数就是收敛的,该极限就是级数的和,否则是发散的,这也正是常数项级数的基本概念.3 学习基本概念,解释“无中生有”通过格兰迪悖论,学生知道了古代数学家们走的各种弯路,使得求知欲和好奇心大增,接下来,启发学生常数项级数是无穷级数,有限项求和容易,而无限项“求和”却难以做到,那么从有限拓展到无限,该如何实现?自然是借助极限的思想方法,所以常数项级数的研究,要以极限作为工具是关键,此时要让学生体会到有时候要认清一些事物的本质,必须要放到一个无限的过程中.为此,引入一个与生活息息相关的例子,吸引着学生一起分析和探究.例 一位慢性病患者按医嘱每天服用药物0.0 5 m g,而身体每天有2 0%的药物通过各种渠道排出体外,问长期服药后,体内药物的含量维持在怎样的水平?3通过问题分析,梳理出两个疑问:(i)患者每天都吃药,排泄掉只有2 0%,那么体内的药量就越来越多,会达到无穷大吗?也就是sn会增加到无穷大吗?(i i)如果患者万寿无疆,体内药物含量的值是多少?l i mnSn=0.0 5+0.0 545+0.0 5 45 2+0.0 5 45 3+0.0 5 45 n-1+.在解决疑问的过程中,教学双方都会有这样的体会,一个人的寿命肯定是有限的,但是这个问题的解决,却必须通过n趋于无穷大sn的极限来实现.所以,有些事情必须放在一个无限的过程中,才能挖掘其本质,认清其规律.通过生活实例,让学生感性地认识常数项级数研究的问题,加强学生对常数项级数内涵的整体认识,从而水到渠成地生成常数项级数的基本概念,把教材中晦涩的学术形态转化为易于学生接受的教育形态4.至此,自然构建出常数项级数、部分和数列、收敛与发散、级数的和等概念(这里从略).根据定义验证格兰迪级数,首先求部分和数列sn的极限,很显然l i mnsn=0,n=2k,l i mnsn=1,n=2k+1.由极限的唯一性,l i mnsn不存在,所以格兰迪级数是发散的,这个“和”根本就不存在,再继续讨论级数和等于几没有任何意义.这个让大数学家们迷惑不解,甚至狼狈不堪许多年的问题是不存在的.用定义否定了格兰迪级数的三个结论,思考0和1的方法错在哪里?在这里需要重点理解收敛级62大 学 数 学 第3 9卷数的性质:如果常数项级数收敛,则对这级数的项任意添加括号后所成的级数仍收敛,且和不变5.而发散级数则不能随便加括号,这也正好回答了“无中生有”的错误在于结合律,在有限和中经常使用的“结合律”和“交换律”,不是随便“结合”或“交换”的,结合律和交换律只能在有限和运算中才成立,错误使用“结合律”是导致自相矛盾结果的根本原因.由于当时认知的局限性,数学家们并不能准确严密地判断和解释这些结果究竟是诡辩还是真理,所以出现这些错误也是不可避免的.常数项级数概念展示了有限与无限的本质区别和辩证统一,教学过程中注重引导学生透过知识的表象,抓住它的本质,把握它的灵魂,并着重强调有限和的运算法则,在无限“和”时不成立,这有助于进一步加深无限和有限之间辩证关系的理解,体会理性思维的魅力,感受科学严谨的力量.4 讨论几何级数,解释“最佳答案”利用上述定义与方法,讨论几何级数a+a q+a q2+a qn-1+(a0)的敛散性.结论为当|q|1时,级数收敛到a1-q,当|q|1时,级数发散(推理过程从略),这是个有用的结论,它为其他级数的敛散性判断,提供了比较的工具.思考:欧拉的结果是12,而方法错在哪里?1+x+x2+x3+显然是公比为x的几何级数,而它要收敛到11-x,必须满足|x|1,而这里x=-1,此时级数是发散的,生搬硬套是问题的根源之所在.不过由于当时认识的局限性,无穷级数等基本概念缺乏科学严谨和恰当统一的定义.这些在今天看起来正确的说法,在当时并不能找到确定的证明,使所有人都心悦诚服,当时也没有人能指出他的方法究竟错在哪里,他们自己也没能解决自己的一些悖论.对此德国教育学家里查德柯朗在他的微积分学论文中写道:“可想而知,这种明显的悖论的发现对1 8世纪的数学家带来什么样的影响,他们习惯于运算无穷级数而不考虑它们的收敛.”6问题到这里已经解决,而学生心中难免会生这样的疑问,为什么会出现这些有趣又矛盾的悖论?文艺复兴之后,人们的思想得到空前的解放,数学家、哲学家的想法可谓天马行空,所以导致许多悖论的产生.结合学生的所思所想,给出答复,因情共鸣,悖论的有些观点虽然不正确,但是一系列的悖论却反映出人们对世界深入的思考.矛盾问题的创建、令人困惑的推理、诡辩式的论证,触及“有限”与“无限”,“运动”与“静止”,不但让人体会了趣味,而且从反面揭示了客观存在于运动中的矛盾,蕴含可贵的辩证法关系.因此悖论是培养人们锻炼逻辑思维能力和创新精神的沃土,科学就是在这层出不穷的悖论阴影中一步步进步和发展起来的.正如法国著名的布尔巴基数学学派所说:“古往今来,为数众多的悖论为逻辑思想的发展提供了食粮”6.通过追根溯源,理性分析,学生全程参与到悖论的解决,会更加深刻的体会到解决具体的问题才是数学创新的根本,有助于培养创新意识,激发学习数学、应用数学的主观能动性.运用科学破解诡辩,利用知识消除疑惑,培养学生去伪存真、敢于质疑、积极向上的科学精神.无缝连接史实材料,强调悖论出现的意义和价值,激发学生探究科学的兴趣和学习的热情,让科学思维与思政引导同频共振.5 引入调和级数及“蠕虫悖论”,拓展应用根据级数收敛的基本概念,推出收敛的必要条件.若级数收敛,则一般项极限为零.反过来,若一般项极限不为零,则此级数必发散,但是一般项极限为零,级数是否一定收敛?引入调和级数1+12+13+1n+,分析一般项极限为零,但是部分和72第3期 朱永婷,等:课程思政视域下“常数项级数”的教学案例Sn=1+12+13+1n的极限难以确定,运用定义不可行,怎么办?引导学生另辟蹊径,尝试数形结合进一步来探索.思路是构造定积分n11xdx=l nn,因为定积分的几何意义是曲边梯形的面积,通过作图可以很清楚的看出,矩形框面积Sn大于曲边梯形面积l nn,所以得出调和级数是发散的.接下来,为巩固知识,引入有趣的“蠕虫悖论”作为调和级数的拓展应用:一只虫子从1米长的橡皮绳的一端,以1厘米/秒的速度爬向另一端,橡皮绳同时均匀地以1米/秒的速度向相同的方向无限制地延伸,虫子会爬到另一端吗6?运用调和级数的知识解释这个问题,利用“数形结合”的思想探究出计算方法,正体现了理性思维的巨大力量,也使学生体会到学而有用的喜悦感.别出心裁的“数形结合”法巧妙的证明调和级数的发散性,既简洁明了、形象直观,又富有启发性、引人深思.怎样才能灵活使用数形结合?善于观察、勤于思考、勇于实践是科学研究的基本素养,更是数学学习的方法、态度和精神.通过“数形结合”方法的引入,鼓励学生平时善于发现问题、思考问题、遇到困难要运用科学的方法化解问题、解决问题.“数形结合”一词正式出现在数学大师华罗庚于1 9 6 4年撰写的 谈谈与蜂房结构有关的数学问题科普书籍中7,这里引用华先生的一首词来说明数形结合的价值,“数形本是相倚依,焉能分作两边飞.数缺形时少直觉,形少数时难入微.”数形结合思想是一种重要的数学思想,它的实质就是根据数与形之间的对应关系,通过数与形的相互转化来解决问题,它可以化抽象为直观、化繁杂为简单7.华罗庚是我国最早将数学理论运用到生产实践,并作出巨大贡献的“人民数学家”,他身有残疾,却自学成才,是应用数学的开拓者和先行者.选择这样励志的事迹,可以让学生了解中国数学家伟大的智慧和不屈的精神,感受民族自豪感,激励树立“文化自信”.6 教学效果近几年,通过在线上线下、课内课外的教学中潜移默化“德育”,提升了学生的学习兴趣,活跃了课堂气氛,提高了课堂参与度,也体会到成长的快乐.从每学期问卷调查数据,学生的评教意见,以及教务部门对学生的主题征文“您的课堂,我的成长”等不同形式的活动中可以发现,学生对课程思政和课堂效果的满意度普遍较高,就像同学们在征文中写道,“您的讲解,总能切中要害,将大道理变为小故事,轻松化解难点”“从身边实例出发,用通俗易懂的语言描述概念,喜欢引经据典,很让人着迷”.针对课程思政的教学满意度,设计下面五个问题进行问卷调查.表1 问卷调查1.高等数学学习中,教师穿插中国传统文化,这让你更加有民族信心和自豪感,你的感受是?符合程度从小到大5个选项.2.教师在讲授过程中,结合课程内容,和同学们聊聊做人做事的道理和方法,你的感受是?接受程度从小到大5个选项.3.教师从高等数学课程内容背后挖掘出来的故事、规律以及体现出来的精神对您学习的帮助程度?帮助程度从小到大5个选项.4.课堂中教师通过生动的案例,讲解抽象的数学知识,促进你积极参与课堂的程度?参与程度从小到大5个选项.5.通过高等数学的学习,促使你主动思考和创新,并进行价值塑造?塑造程度从小到大5个选项.参与问卷调查的学生共1 2 0人,从图1统计数据可见,9 5%以上的学生表示穿插中国文化的教学,陶冶了民族精神,增强了爱国情怀;9 3%以上的学生表示融入思政的课堂,激发了学习的主动性,提高了学习能动性,9 1%以上的学生表示创新性教学案例的构造,很大程度上提高了课堂参与度,既培养了82大 学 数 学 第3 9卷科学精神,又实现了价值塑造.实践证明,潜移默化课程思政的课堂教学,在德育和智育两方面都有较大收获.图1 问卷调查统计结果7 结 论本文在充分挖掘常数项级数史实资料的基础上,对常数项级数的一些基本概念,精心进行教学设计.教学实践表明,史料教育不仅能体现数学知识和数学思想方法,也能引领情感态度和价值观目标,因此常数项级数是“课程思政”的良好载体.高等数学内容丰富、应用广泛,教师要善于从课程中挖掘思政元素,并润物于无声,把“知识传授、能力培养、价值引领”三者巧妙的融合在课程教学中,学生在学习数学知识,同时体验科学精神,感受数学之美,陶冶家国情怀,并且热衷于科学知识的孜孜追求和不懈探索.希望此教学案例能起到抛砖引玉的效果,数学同仁根据具体的教学内容进行探索与实践,将课程思政的教学理念和方法贯穿于整个高等数学教学之中.致谢 作者非常感谢相关文献对本文的启发以及审稿专家提出的宝贵意见.参 考 文 献1 叶建兵.课程思政理念下数学史驱动的常数项级数教学设计J.高等数学研究,2 0 2 0,2 3(4):1 2 0-1 2 3.2 李文林.数学史概论M.3版.北京:高等教育出版社,2 0 0 8:1 8 4-1 8 5.3 吴慧卓.高等数学教学中渗透课程思政的探索与思考J.大学数学,2 0 1 9,3 5(5):4 0-4 3.4 郑雪静,陈清华.基于数学概念生成性的教学设计以常数项级数的概念为例J.宁夏师范学院学报(自然科学版),2 0 1 7,3 8(6):1 0 1-1 0 4.5 朱婧,陈学慧,司新辉.疫情背景下微积分“课程思政”的教学探索与实践J.大学数学,2 0 2 1,3 7(1):3 3-3 8.6 陈仁政.科学悖论故事M.南京:江苏科学技术出版社,2 0 0 8:2 3-3 0.7 同济大学应用数学系.高等数学:下册M.7版.北京:高等教育出版社,2 0 1 4:2 5 1-2 5 7.8 朱永婷,吴奇明.如何在高等数学课堂融入思政教育J.高等数学研究,2 0 2 1,2 4(4):1 0 6-1 0 8.9 赵东红,魏海瑞,刘林.大学数学公共课程思政元素挖掘初探践J.大学数学,2 0 2 1,3 7(3):4 6-5 2.92第3期 朱永婷,等:课程思政视域下“常数项级数”的教学案例T e a c h i n gC a s eo fC o n s t a n tT e r mS e r i e sw i t hI d e o l o g i c a la n dP o l i t i c a lE d u c a t i o nZ HU Y o n g t i n g,WU Q i m i n g(B a s i cT e a c h i n gD e p a r t m e n t,I t e r n a t i o n a l S t u d i e sU n i v e r s i t yN a t i o n a lU n i v e r s i t yo fD e f e n s eT e c h n o l o g y,N a n j i n g2 1 0 0 3 9,C h i n a)A b s t r a c t:C o m b i n e dw i t ht e a c h i n gp r a c t i c e,b a s e do nt h e t e a c h i n gc o n t e n to f c o n s t a n t t e r ms e r i e s,t h i sp a p e rg i v e sat e a c h i n gc a s e t h a to r i g i n a t e s f r o mt h et e x t b o o ka n di sn o tc o n f i n e dt ot h et e x t b o o k.F r o mt h ep e r s p e c t i v eo fc u r r i c u l u mi d e o l o g ya n d p o l i t i c s,t h r o u g ht h et e a c h i n gl i n k ss u c h a sp a r a d o xi n t r o d u c t i o n,c o n c e p tg e n e r a t i o n,c o n t r a d i c t i o nr e s o l u t i o na n de x p a n d e da p p l i c a t i o n,i no r d e r t o r e a l i z e t h eo r g a n i c i n t e g r a t i o no f“k n o w l e d g e t r a n s f e r,a b i l i t y t r a i n i n ga n dv a l u eg u i d a n c e”.P r a c t i c eh a sp r o v e dt h a ti th a sag o o de f f e c to ns t u d e n t su n d e r s t a n d i n go ft h ec o n c e p to fc o n s t a n ts e r i e s,t h ec u l t i v a t i o no f r a t i o n a l p r o b l e ma n a l y s i sa b i l i t ya n dt h eg u i d a n c eo f c o r ev a l u e s.K e yw o r d s:c o n s t a n t t e r ms e r i e s;p a r a d o x;c o n v e r g e n c ea n dd i v e r g e n c e;i d e o l o g i c a l a n dp o l i t i c a l e d u c a t i o n03大 学 数 学 第3 9卷