福建省2011年中考数学试题分类解析汇编-专题6：函数的图像与性质.doc

福建省2011年中考数学试题分类解析汇编专题6：函数的图象与性质一、 选择题1（福建龙岩4分）下列图象中，能反映函数y随x增大而减小的是【答案】D。【考点】一次、二次、反比例函数图象的增减性。【分析】A：直线y随x增大而增大，选项错误；B：抛物线在对称轴左边y随x增大而减小，右边y随x增大而增大，选项错误； C：双曲线分别在两个象限内y随x增大而增大，选项错误； D、直线y随x增大而减小，选项正确。故选D。2.（福建福州4分）如图是我们学过的反比例函数图象，它的函数解析式可能是 A、 B、 C、D、【答案】B。【考点】反比例函数的图象。【分析】根据图象可知：函数是反比例函数，且0，选项B的=40，符合条件。故选B。3.（福建漳州3分）如图，P (x，y)是反比例函数y 的图象在第一象限分支上的一个动点，PAx轴于点A，PBy轴于点B，随着自变量x的增大，矩形OAPB的面积A不变B增大C减小D无法确定【答案】A。【考点】反比例函数系数k的几何意义。【分析】因为过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S是个定值，即S= |k|，所以随着x的逐渐增大，矩形OAPB的面积将不变。故选A。4.（福建三明4分）下列4个点，不在反比例函数y 图象上的是 A、（2，3） B、（3，2） C、（3，2）D、（3，2）【答案】D。【考点】反比例函数图象上点的坐标特征，曲线上点的坐标与方程的关系。【分析】原式可化为：xy=6，所以只要点的横坐标与纵坐标的积等于6，就在函数图象上：A、2（3）=6，符合条件；B、（3）2=6，符合条件；C、3（2）=6，符合条件；D、32=6，不符合条件。故选D。二、填空题1.（福建泉州4分）已知函数，当= 时，函数取得最大值为_ 【答案】2，4。【考点】二次函数的最值。【分析】由抛物线的顶点式，得到抛物线的顶点坐标为（2，4），又=30，抛物线的开口向下，于是=2时，函数有最大值为4。2.（福建厦门4分）如图，一系列“黑色梯形”是由x轴、直线y=x和过x轴上的正奇数1、3、5、7、9、所对应的点且与y轴平行的直线围成的从左到右，将其面积依次记为S1、S2、S3、Sn、则S1= ，Sn= 【答案】4；4（2n1）。【考点】分类归纳，一次函数综合题。【分析】由图可得，S1，S2，S3，Sn=4（2n1）。3.（福建南平3分）已知反比例函数y的图象经过点(2，5)，则k_ 【答案】10。【考点】曲线上点的坐标与方程的关系。【分析】将点（2，5）代入即可得出k即可：反比例函数y= kx的图象经过点（2，5），k=10。三、解答题1.（福建三明12分）海崃两岸林业博览会连续六届在三明市成功举办，三明市的林产品在国内外的知名度得到了进一步提升现有一位外商计划来我市购买一批某品牌的木地板，甲、乙两经销商都经营标价为每平方米220元的该品牌木地板经过协商，甲经销商表示可按标价的9.5折优惠；乙经销商表示不超过500平方米的部分按标价购买，超过500平方米的部分按标价的9折优惠（1）设购买木地板x平方米，选择甲经销商时，所需费用为y1元，选择乙经销商时，所需费用为y2元，请分别写出y1，y2与x之间的函数关系式；（2）请问该外商选择哪一经销商购买更合算？【答案】解：（1）y10.95220x209 x当0x500时，y2220x，当x500时，y22205000.9220（x500），即y2198 x11000。（2）当0x500时，209 x220x，选择甲经销商；当x500时，由y1y2即209 x198 x11000，得x1000；由y1y2即209 x198 x11000，得x1000；由y1y2即209 x198 x11000，得x1000。综上所述：当0x1000时，选择甲经销商；当x1000时，选择甲、乙经销商一样；当x1000时，选择乙经销商。【考点】一次函数的应用。【分析】（1）y1=0.95220x；对于y2要分类讨论：当0x500时，不打折y2=220x，当0x500时，超过500平方米的部分按标价的9折优惠y2=220500+0.9220（x500）。（2）当0x500时自然选择甲经销商；当x500时，分别计算出当y1y2，y1=y2，y1y2时对应的x的范围，然后综合即可得到当0x1000时，选择甲经销商购买合算；当x=1000时，选择甲、乙经销商一样合算；当x1000时，选择乙经销商购买合算。2.（福建三明12分）如图，抛物线y=ax24ax+c（a0）经过A（0，1），B（5，0）两点，点P是抛物线上的一个动点，且位于直线AB的下方（不与A，B重合），过点P作直线PQx轴，交AB于点Q，设点P的横坐标为m（1）求a，c的值；（2）设PQ的长为S，求S与m的函数关系式，写出m的取值范围；（3）以PQ为直径的圆与抛物线的对称轴l有哪些位置关系？并写出对应的m取值范围（不必写过程）【答案】解：（1）抛物线yax24axc过A（0，1），B（5，0）， ，解得：。（2）直线AB经过A（0，1），B（5，0），直线AB的解析式为yx 1。由（1）知抛物线的解析式为：yx2x1。点P的横坐标为m，点P在抛物线上，点Q在直线AB上，PQx轴，P（m，m 2m1），Q（m，m 1）。SPQ（m 1）（m 2m1）。即Sm 2m（0m5）。（3）抛物线的对称轴l为：x2。以PQ为直径的圆与抛物线的对称轴l的位置关系有：相离、相切、相交三种关系。相离时：0m或 m5；相切时：m m；相交时：m。【考点】二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，解二元一次方程组，直线与圆的位置关系。【分析】（1）利用待定系数法把点A、B的坐标代入抛物线表达式解二元一次方程组即可。（2）先求出直线AB的解析式，然后分别求出点P与点Q的坐标，则PQ的长度S就等于点Q的纵坐标减去点P的纵坐标，然后整理即可。（3）根据直线与圆的位置关系有相离、相切与相交共三种情况，又点P可以在对称轴左边也可以在对称轴右边，进行讨论列式求解即可。3.（福建泉州9分）如图，在方格纸中建立直角坐标系，已知一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点A（5，1）和A1（1）求这两个函数的关系式；（2）由反比例函数 的图象特征可知：点A和A1关于直线对称请你根据图象，填写点A1的坐标及时的取值范围【答案】解：（1）点A（5，1）是一次函数图象与反比例函数图象的交点，5=1， ，即=6，=5。两个函数的关系式为，。（2）由函数图象可知A1（1，5）。当时， 01或5。【考点】反比例函数与一次函数图象的交点问题，曲线上点的坐标与方程的关系，对称的性质。【分析】（1）将点A（5，1）分别代入一次函数与反比例函数中，可求、的值，从而求得两个函数解析式。（2）抛物线关于直线轴对称，所以直接根据图象，可写点A1的坐标。根据的图象的位置关系，可得下方时的取值范围。4.（福建漳州13分）如图，直线y2x2与x轴、y轴分别交于A、B两点，将OAB绕点O逆时针方向旋转90后得到OCD（1）填空：点C的坐标是(_ ，_ )，点D的坐标是(_ ，_ )；（2）设直线CD与AB交于点M，求线段BM的长；（3）在y轴上是否存在点P，使得BMP是等腰三角形？若存在，请求出所有满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由【答案】解：（1）点C的坐标是(0，1)，点D的坐标是(2，0) 。（2）由（1）可得CD ，BC1又MBCODC，BCMDCO，BMCDOC。 即BM 。（3）存在。分两种情况讨论： 以BM为腰时，BPBM。BM，又点P在y轴上， 此时满足条件的点P有两个，它们是P1 (0，2)、P2 (0，2)。以BM为腰时，MPMB。过点M作MEy轴于点E，BMC90，则BMEBCM。BE。又MPMB，PEBE。BP。OP2。此时满足条件的点P有一个，它是P3 (0，) 。以BM为底时，即PBPM，作BM的垂直平分线，分别交y轴、BM于点P、F，由（2）得BMC90，PFCM。F是BM的中点，BPBC。OP2。此时满足条件的点P有一个，它是P4 (0，) 。综上所述，符合条件的点P有四个，它们是：P1 (0，2)、P2 (0，2)、P3 (0，)、P4 (0，) 。【考点】一次函数综合题，坐标与图形旋转变化，勾股定理；相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质。【分析】（1）把=0，=0分别代入解析式求出A、B的坐标，由旋转的性质即可得出C、D的坐标。（2）根据勾股定理求出CD，证BMCDOC，得到比例式即可求出答案。（3）分三种情况： 以BM为腰时，BPBM，以BM为腰时，MPMB，以BM为底时，即PBPM，根据等腰三角形的性质求出即可。5.（福建厦门8分）已知一次函数与反比例函数的图象相交于点A(1，m)、B(4，n)Oxy4444(1)求一次函数的关系式；(2)在给定的直角坐标系中画出这两个函数的图象，并根据图象回答：当x为何值时，一次函数的值大于反比例函数的值？【答案】解：（1）把A点坐标代入反比例函数解析式得，。 把B点坐标代入反比例函数解析式得，。A（1，4）、B（4，1），代入一次函数得，解得。一次函数的关系式为：。（2）如图所示： 由函数图象可知，当4或10时，一次函数的图象在反比例函数图象的上方，当4或10时，一次函数的值大于反比例函数的值。【考点】反比例函数与一次函数的交点问题，曲线上点的坐标与方程的关系。【分析】（1）先把A、B两点坐标代入反比例函数解析式即可求出、的值，可得出A、B两点的坐标，再把A、B两点的坐标代入一次函数的关系式即可求出、的值，从而得出其关系式。（2）利用描点法在坐标系内画出两函数的图象，再利用数形结合进行解答即可。6.（福建龙岩12分） 周六上午8：O0小明从家出发，乘车1小时到郊外某基地参加社会实践活动，在基地活动2.2小时后，因家里有急事，他立即按原路以4千米/时的平均速度步行返回同时爸爸开车从家出发沿同一路线接他，在离家28千米处与小明相遇。接到小明后保持车速不变，立即按原路返回设小明离开家的时间为x小时，小名离家的路程y (干米) 与x (小时)之间的函致图象如图所示，(1)小明去基地乘车的平均速度是_千米/小时，爸爸开车的平均速度应是_千米/小时；(2)求线段CD所表示的函敛关系式；(3)问小明能否在12：0 0前回到家？若能，请说明理由：若不能，请算出12：00时他离家的路程，【答案】解：（1）30，56。（2）C点的横坐标为：1+2.2+24=3.7，C（3.7，28）。D点横坐标是：1+2.2+242=4.2，D（4.2，0）。设线段CD所表示的函数关系式为y=kxb（3.7x4.2），将C、D两点的坐标代入函数解析式，得，解得。线段CD的表达式：y=56x 235.2（3.7x4.2）。（3）不能。理由如下：小明从家出发到回家一共需要时间：1+2.2+242=4.2（小时），从8：00经过4.2小时已经过了12：00，小明不能在12：00前回家，此时离家的距离：560.2=11.2（千米）。【考点】一次函数的应用（工程问题）。【分析】（1）仔细观察图象可知：小明去基地乘车1小时后离基地的距离为30千米，因此小明去基地乘车的平均速度是30千米/小时；在返回时小明以4千米/时的平均速度步行，行驶2千米后遇到爸爸，故他爸爸在0.5小时内行驶了28千米，故爸爸开车的平均速度应是56千米/小时，（2）先设一次函数的解析式，然后将两点坐标代入解析式即可得出线段CD所表示的函敛关系式。（3）根据图象和解析式可知小明从出发到回家一共需要4.2小时，故12：00前不能回到家。12：00时他离家的路程=速度时间=560.2=11.2。7.（福建龙岩13分）如图，已知抛物线与轴相交于A、B两点，其对称轴为直线，且与x轴交于点D，AO=1(1) 填空：=_。=_， 点B的坐标为(_，_)：(2) 若线段BC的垂直平分线EF交BC于点E，交轴于点F求FC的长；(3) 探究：在抛物线的对称轴上是否存在点P，使P与轴、直线BC都相切？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。【答案】解：（1），5，0。（2）由（1）得抛物线的解析式为，化为顶点式为。C（2，4）。E为BC的中点，由中点坐标公式求得E的坐标为（3.5，2），设直线BC的表达式为，则，解得。直线BC的表达式为。设直线EF的表达式为，EF为BC的中垂线，EFBC。由相似可得，即直线EF的表达式为。把E（3.5，2）代入得 ，解得。直线EF的表达式为 。在 中，令=0，得，解得。F（ ，0）。FC=FB=5。答：FC的长是。（3）存在。作OBC的平分线交DC于点P，则P满足条件。设P（2，），则P到轴的距离等于P到直线BC的距离，都是|。点C的坐标是（2，4），点B的坐标是（5，0），CD=4，DB=52=3。BC= 。sinBCD=。当点P在轴上方时，得，解得。点P的坐标是（2，）。当点P在轴下方时，得，解得。点P的坐标是（2，6）。在抛物线的对称轴上存在点P，使P与x轴、直线BC都相切，点P的坐标是（2，），（2，6 ）。【考点】二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，解二元一次方程组、一元二次方程和分式方程，二次函数的项点坐标和对称轴，线段垂直平分线的性质，勾股定理，锐角三角函数定义。【分析】（1）根据对称轴和OA=1求出A、B的坐标，代入解析式得二元一次方程组，即可求出，从而求得抛物线的解析式为，令0，即可求得点B的坐标。（2）由抛物线的项点式求得C（2，4），从而求得E的坐标为（3.5，2）和直线BC的表达式，设直线EF的表达式为，根据EF为BC的中垂线推出直线EF的表达式为，令=0，得 F（ ，0）。即可求出答案。（3）作OBC的平分线交DC于点P，设P（2，），根据抛物线解析式求出顶点C的坐标与点B的坐标，然后利用BCD的正弦列式即可求解。 8.（福建莆田10分） 如图，将矩形OABC放在直角坐际系中，O为坐标原点点A在x轴正半轴上点E是边AB上的个动点(不与点A、N重合)，过点E的反比例函数的图象与边BC交于点F。（1）(4分)若OAE、OCF的而积分别为S1、S2且S1S2=2，求的值：（2）(6分) 若OA=20C=4问当点E运动到什么位置时，四边形OAEF的面积最大其最大值为多少?【答案】解：（1）点E、F在函数的图象上，设E（， ），F（，），0，0，S1=，S2=。S1S2=2， 。（2）四边形OABC为矩形，OA=2，OC=4，设 E(，2)， F(4，)。BE=4，BF=2。SBEF= ，SOCF= ，S矩形OABC=24=8，S四边形OAEF=S矩形OABCSBEFSOCF= 8()=。当=4时，S四边形OAEF=5。AE=2。当点E运动到AB的中点时，四边形OAEF的面积最大，最大值是5。【考点】反比例函数综合题，曲线图上点的坐标与方程的关系，二次函数的最值。【分析】（1）设E（， ），F（，），0，0，根据三角形的面积公式得到S1=S2= ，利用S1S2=2即可求出。（2）设E(，2)， F(4，)，利用S四边形OAEF=S矩形OABCSBEFSOCF=，根据二次函数的最值即可得到当点E运动到AB的中点时，四边形OAEF的面积最大，最大值是5。 9.（福建莆田10分） 某高科技公司根据市场需求，计划生产A、B两种型号的医疗器械，其部分信息如下：信息一：A、B两种型号的医疔器械共生产80台信息二：该公司所筹生产医疗器械资金不少于1800万元，但不超过1810万元且把所筹资金全部用于生产此两种医疗器械信息三：A、B两种医疗器械的生产成本和售价如下表：型号AB成本（万元/ 台）2025售价（万元/ 台）2430根据上述信息解答下列问题：（1）（6分）该公司对此两种医疗器械有哪-几种生产方案？哪种生产方案能获得最大利润？（2）（4分）根据市场调查，-每台A型医疗器械的售价将会提高万元（） 每台A型医疗器械的售价不会改变该公司应该如何生产可以获得最大利润？ (注：利润=售价成本)【答案】解：（1）设该公司生产A钟中医疗器械台，则生产B钟中医疗器械（80）台，依题意得， ，解得3840。取整数得=38，39，40。该公司有3钟生产方案：方案一：生产A钟器械38台，B钟器械42台；方案二：生产A钟器械39台，B钟器械41台；方案三：生产A钟器械40台，B钟器械40台。公司获得利润：W=（2420）（3025）（80）=+400。利润W随的增大而减少，当=38时，W有最大值。当生产A钟器械38台，B钟器械42台时获得最大利润。（2）依题意得，W=（4）5（80）=（1）400当10，即1时，生产A钟器械40台，B钟器械40台，获得最大利润；当1=0，即=1时，（1）中三种方案利润都为400万元；当10，即01时，生产A钟器械38台，B钟器械42台，获得最大利润。【考点】一次函数的应用，一元一次不等式组的应用。【分析】（1）利用题目提供的信息列出有关的一元一次不等式组，解得有关医疗器械的取值范围，得到方案即可。（2）求出利润函数，分类讨论得到最大利润方案即可。 10.（福建莆田12分）已知抛物线的对称轴为直线，且与轴交于A、B两点与轴交于点C其中A(1，0)，C(0，)（1）（3分）求抛物线的解析式；（2）若点P在抛物线上运动（点P异于点A） （4分）如图l当PBC面积与ABC面积相等时求点P的坐标；（5分）如图2当PCB=BCA时，求直线CP的解析式。【答案】解：（1）由题意，得，解得 。抛物线的解析式为。（2）令，解得1=1，2=3，B（3，0）。当PBC面积与ABC面积相等时它们同底等高。情形1：当点P在轴上方时，如图1，过点A作直线BC的平行线交抛物线于点P（图中P1），由B、C两点坐标可求直线BC的解析式为，设直线AP的解析式为，直线AP过点A（1，0），代入求得。直线AP的解析式为。解方程组得， 。点P1（2，1）。情形2：当点P在轴下方时，如图1（图中P2，P3），易求直线AP1交y轴于点E（0，1），CE=2，把直线BC向下平移2个单位，交抛物线于点P2，P3，得直线P2P3的解析式为，解方程组得，。P2（，），P3（ ，）。综上所述，点P的坐标为：P1（2，1），P2（，），P3（ ，）。B（3，0），C（0，3）OB=OC，OCB=OBC=45。设直线CP的解析式为。如图2，延长CP交轴于点Q，设OCA=，则ACB=45，PCB=BCA，PCB=45，OQC=OBCPCB=45（45）=，OCA=OQC。又AOC=COQ=90，RtAOCRtCOQ。，即，OQ=9，Q（9，0）。直线CP过点Q（9，0），。直线CP的解析式为 。【考点】二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，解方程组和一元二次方程，三角形面积相等的条件，平移的性质，等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质。【分析】（1）根据对称轴公式，A、C两点坐标，列方程组，求抛物线解析式。（2）只需要APBC即可满足题意，先求直线BC解析式，根据平行线的解析式一次项系数相等，设直线AP的解析式，将A点坐标代入可求直线AP的解析式，将抛物线与直线AP解析式联立，即可求P点坐标，再根据平移法求满足条件的另外两个P点坐标。延长CP交x轴于点Q，根据抛物线解析式可知OBC为等腰直角三角形，利用角的关系证明OCA=OQC，可证RtAOCRtCOQ，利用相似比求解。 11.（福建南平10分）为落实校园“阳光体育”工程，某校计划购买篮球和排球共20个已知篮球每个80元，排球每个60元设购买篮球x个，购买篮球和排球的总费用y元（1）求y与x之间的函数关系式；（2）如果要求篮球的个数不少于排球个数的3倍，应如何购买，才能使总费用最少？最少费用是多少元？【答案】解：（1）y80x60(20x)120020 x。 （2）x3(20x) 解得x15 要使总费用最少，x必须取最小值15 y120020151500答：购买篮球15个，排球5个，才能使总费用最少最少费用是1500元。【考点】一次函数的应用。【分析】（1）设购买篮球x个，购买篮球和排球的总费用y元，根据某校计划购买篮球和排球共20个，已知篮球每个80元，排球每个60元可列出函数式（2）设购买篮球x个，根据篮球的个数不少于排球个数的3倍，求出篮球的个数的最小值，从而可求出解。16用心 爱心 专心