福建省2011年中考数学试题分类解析汇编-专题6：函数的图像与性质.doc

福建省2011年中考数学试题分类解析汇编
专题6：函数的图象与性质
一、 选择题
1（福建龙岩4分）下列图象中，能反映函数y随x增大而减小的是

【答案】D。
【考点】一次、二次、反比例函数图象的增减性。
【分析】A：直线y随x增大而增大，选项错误；B：抛物线在对称轴左边y随x增大而减小，右边y随x增大而增大，选项错误； C：双曲线分别在两个象限内y随x增大而增大，选项错误； D、直线y随x增大而减小，选项正确。故选D。
2.（福建福州4分）如图是我们学过的反比例函数图象，它的函数解析式可能是
A、 B、 C、 D、
【答案】B。
【考点】反比例函数的图象。
【分析】根据图象可知：函数是反比例函数，且＞0，选项B的=4＞0，符合条件。故选B。
3.（福建漳州3分）如图，P (x，y)是反比例函数y＝ 的图象在第一象限分支上的
一个动点，PA⊥x轴于点A，PB⊥y轴于点B，随着自变量x的增大，矩形OAPB的
面积
A．不变 B．增大 C．减小 D．无法确定
【答案】A。
【考点】反比例函数系数k的几何意义。
【分析】因为过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S是个定值，即S= |k|，所以随着x的逐渐增大，矩形OAPB的面积将不变。故选A。
4.（福建三明4分）下列4个点，不在反比例函数y＝－ 图象上的是
A、（2，﹣3） B、（﹣3，2） C、（3，﹣2） D、（3，2）
【答案】D。
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征，曲线上点的坐标与方程的关系。
【分析】原式可化为：xy=﹣6，所以只要点的横坐标与纵坐标的积等于﹣6，就在函数图象上：
A、2×（﹣3）=﹣6，符合条件；B、（﹣3）×2=﹣6，符合条件；
C、3×（﹣2）=﹣6，符合条件；D、3×2=6，不符合条件。故选D。
二、填空题
1.（福建泉州4分）已知函数，当= ▲ 时，函数取得最大值为_ ▲
【答案】2，4。
【考点】二次函数的最值。
【分析】由抛物线的顶点式，得到抛物线的顶点坐标为（2，4），又=－3＜0，抛物线的开口向下，于是=2时，函数有最大值为4。
2.（福建厦门4分）如图，一系列“黑色梯形”是由x轴、直线y=x和过x轴上的正奇数1、3、5、7、9、…所对应的点且与y轴平行的直线围成的．从左到右，将其面积依次记为S1、S2、S3、…、Sn、…．则S1=　 ▲ ，Sn= ▲ ．
【答案】4；4（2n﹣1）。
【考点】分类归纳，一次函数综合题。
【分析】由图可得，S1，S2，
S3，…，∴Sn=4（2n﹣1）。
3.（福建南平3分）已知反比例函数y＝的图象经过点(2，5)，则k＝_ ▲ ．
【答案】10。
【考点】曲线上点的坐标与方程的关系。
【分析】将点（2，5）代入即可得出k即可：∵反比例函数y= kx的图象经过点（2，5），∴k=10。
三、解答题
1.（福建三明12分）海崃两岸林业博览会连续六届在三明市成功举办，三明市的林产品在国内外的知名度得到了进一步提升．现有一位外商计划来我市购买一批某品牌的木地板，甲、乙两经销商都经营标价为每平方米220元的该品牌木地板．经过协商，甲经销商表示可按标价的9.5折优惠；乙经销商表示不超过500平方米的部分按标价购买，超过500平方米的部分按标价的9折优惠．
（1）设购买木地板x平方米，选择甲经销商时，所需费用为y1元，选择乙经销商时，所需费用为y2元，请分别写出y1，y2与x之间的函数关系式；
（2）请问该外商选择哪一经销商购买更合算？
【答案】解：（1）y1＝0.95×220x＝209 x
当0＜x≤500时，y2＝220x，
当x＞500时，y2＝220×500＋0.9×220（x－500），即y2＝198 x＋11000。
（2）当0＜x≤500时，209 x＜220x，选择甲经销商；
当x＞500时，
由y1＜y2即209 x＜198 x＋11000，得x＜1000；
由y1＝y2即209 x＝198 x＋11000，得x＝1000；
由y1＞y2即209 x＞198 x＋11000，得x＞1000。
综上所述：当0＜x＜1000时，选择甲经销商；
当x＝1000时，选择甲、乙经销商一样；
当x＞1000时，选择乙经销商。
【考点】一次函数的应用。
【分析】（1）y1=0.95×220x；对于y2要分类讨论：当0＜x≤500时，不打折y2=220x，当0＜x≤500时，超过500平方米的部分按标价的9折优惠y2=220×500+0.9×220（x﹣500）。
（2）当0＜x≤500时自然选择甲经销商；当x＞500时，分别计算出当y1＜y2，y1=y2，y1＞y2时对应的x的范围，然后综合即可得到当0＜x＜1000时，选择甲经销商购买合算；当x=1000时，选择甲、乙经销商一样合算；当x＞1000时，选择乙经销商购买合算。
2.（福建三明12分）如图，抛物线y=ax2﹣4ax+c（a≠0）经过A（0，﹣1），B（5，0）两点，点P是抛物线上的一个动点，且位于直线AB的下方（不与A，B重合），过点P作直线PQ⊥x轴，交AB于点Q，设点P的横坐标为m．
（1）求a，c的值；
（2）设PQ的长为S，求S与m的函数关系式，写出m的取值范围；
（3）以PQ为直径的圆与抛物线的对称轴l有哪些位置关系？并写出对应的m取值范围．（不必写过程）
【答案】解：（1）∵抛物线y＝ax2－4ax＋c过A（0，－1），B（5，0），
∴ ，解得：。
（2）∵直线AB经过A（0，－1），B（5，0），∴直线AB的解析式为y＝x －1。
由（1）知抛物线的解析式为：y＝x2－x－1。
∵点P的横坐标为m，点P在抛物线上，点Q在直线AB上，PQ⊥x轴，
∴P（m，m 2－m－1），Q（m，m －1）。
∴S＝PQ＝（m －1）－（m 2－m－1）。
即S＝－m 2＋m（0＜m＜5）。
（3）抛物线的对称轴l为：x＝2。
以PQ为直径的圆与抛物线的对称轴l的位置关系有：相离、相切、相交三种关系。
相离时：0＜m＜或 ＜m＜5；
相切时：m＝ m＝；
相交时：＜m＜。
【考点】二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，解二元一次方程组，直线与圆的位置关系。
【分析】（1）利用待定系数法把点A、B的坐标代入抛物线表达式解二元一次方程组即可。
（2）先求出直线AB的解析式，然后分别求出点P与点Q的坐标，则PQ的长度S就等于点Q的纵坐标减去点P的纵坐标，然后整理即可。
（3）根据直线与圆的位置关系有相离、相切与相交共三种情况，又点P可以在对称轴左边也可以在对称轴右边，进行讨论列式求解即可。
3.（福建泉州9分）如图，在方格纸中建立直角坐标系，已知一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点A（5，1）和A1．
（1）求这两个函数的关系式；
（2）由反比例函数 的图象特征可知：点A和A1关于直线对称．请你根据图象，填写点A1的坐标及时的取值范围．
【答案】解：（1）∵点A（5，1）是一次函数图象与反比例函数图象的交点，
∴－5＋=1， ，即=6，=5。
∴两个函数的关系式为，。
（2）由函数图象可知A1（1，5）。
当时， 0＜＜1或＞5。
【考点】反比例函数与一次函数图象的交点问题，曲线上点的坐标与方程的关系，对称的性质。
【分析】（1）将点A（5，1）分别代入一次函数与反比例函数中，可求、的值，从而求得两个函数解析式。
（2）抛物线关于直线轴对称，所以直接根据图象，可写点A1的坐标。根据的图象的位置关系，可得下方时的取值范围。
4.（福建漳州13分）如图，直线y＝－2x＋2与x轴、y轴分别交于A、B两点，将△OAB绕点O逆时针方向旋转90°后得到△OCD．
（1）填空：点C的坐标是(_ ▲ ，_ ▲ )，
点D的坐标是(_ ▲ ，_ ▲ )；
（2）设直线CD与AB交于点M，求线段BM的长；
（3）在y轴上是否存在点P，使得△BMP是等腰三角形？若存在，
请求出所有满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】解：（1）点C的坐标是(0，1)，点D的坐标是(－2，0) 。
（2）由（1）可得CD＝ ＝，BC＝1
又∠MBC＝∠ODC，∠BCM＝∠DCO，
∴△BMC∽△DOC。
∴＝ 即＝
∴BM＝ 。
（3）存在。分两种情况讨论：
① 以BM为腰时，BP＝BM。
∵BM＝，又点P在y轴上，
此时满足条件的点P有两个，它们是P1 (0，2＋)、P2 (0，2－)。
②以BM为腰时，MP＝MB。过点M作ME⊥y轴于点E，
∵∠BMC＝90°，则△BME∽△BCM。
∴＝。∴BE＝＝。
又∵MP＝MB，∴PE＝BE＝。∴BP＝。∴OP＝2－＝。
此时满足条件的点P有一个，它是P3 (0，) 。
③以BM为底时，即PB＝PM，作BM的垂直平分线，分别交y轴、BM于点P、F，
由（2）得∠BMC＝90°，∴PF∥CM。
∵F是BM的中点，∴BP＝BC＝。∴OP＝2－＝。
此时满足条件的点P有一个，它是P4 (0，) 。
综上所述，符合条件的点P有四个，它们是：
P1 (0，2＋)、P2 (0，2－)、P3 (0，)、P4 (0，) 。
【考点】一次函数综合题，坐标与图形旋转变化，勾股定理；相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质。
【分析】（1）把=0，=0分别代入解析式求出A、B的坐标，由旋转的性质即可得出C、D的坐标。
（2）根据勾股定理求出CD，证△BMC∽△DOC，得到比例式即可求出答案。
（3）分三种情况：① 以BM为腰时，BP＝BM，②以BM为腰时，MP＝MB，③以BM为底时，
即PB＝PM，根据等腰三角形的性质求出即可。
5.（福建厦门8分）已知一次函数与反比例函数的图象相交于点A(－1，m)、B(－4，n)．
O
x
y
4
－4
4
－4
(1)求一次函数的关系式；
(2)在给定的直角坐标系中画出这两个函数的图象，并根据图象回答：当
x为何值时，一次函数的值大于反比例函数的值？
【答案】解：（1）把A点坐标代入反比例函数解析式得，。
把B点坐标代入反比例函数解析式得，。
∴A（﹣1，﹣4）、B（﹣4，﹣1），
代入一次函数得，，解得。
∴一次函数的关系式为：。
（2）如图所示：

∵由函数图象可知，当＜﹣4或﹣1＜＜0时，一次函数的图象在反比例函数图象的上方，
∴当＜﹣4或﹣1＜＜0时，一次函数的值大于反比例函数的值。
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题，曲线上点的坐标与方程的关系。
【分析】（1）先把A、B两点坐标代入反比例函数解析式即可求出、的值，可得出A、B两点的坐标，再把A、B两点的坐标代入一次函数的关系式即可求出、的值，从而得出其关系式。
（2）利用描点法在坐标系内画出两函数的图象，再利用数形结合进行解答即可。
6.（福建龙岩12分） 周六上午8：O0小明从家出发，乘车1小时到郊外某基地参加社会实践活动，在基地活动2.2小时后，因家里有急事，他立即按原路以4千米/时的平均速度步行返回．同时爸爸开车从家出发沿同一路线接他，在离家28千米处与小明相遇。接到小明后保持车速不变，立即按原路返回．设小明离开家的时间为x小时，小名离家的路程y (干米) 与x (小时)之间的函致图象如图所示，
(1)小明去基地乘车的平均速度是________千米/小时，爸爸开车的平均速度应是________千米/小时；
(2)求线段CD所表示的函敛关系式；
(3)问小明能否在12：0 0前回到家？若能，请说明理由：若不能，请算出12：00时他离家的路程，
【答案】解：（1）30，56。
（2）∵C点的横坐标为：1+2.2+2÷4=3.7，∴C（3.7，28）。
∵D点横坐标是：1+2.2+2÷4×2=4.2，∴D（4.2，0）。
设线段CD所表示的函数关系式为y=kx＋b（3.7≤x≤4.2），
将C、D两点的坐标代入函数解析式，，得，解得。
∴线段CD的表达式：y=－56x ＋235.2（3.7≤x≤4.2）。
（3）不能。理由如下：
∵小明从家出发到回家一共需要时间：1+2.2+2÷4×2=4.2（小时），
从8：00经过4.2小时已经过了12：00，
∴小明不能在12：00前回家，此时离家的距离：56×0.2=11.2（千米）。
【考点】一次函数的应用（工程问题）。
【分析】（1）仔细观察图象可知：小明去基地乘车1小时后离基地的距离为30千米，因此小明去基地乘车的平均速度是30千米/小时；在返回时小明以4千米/时的平均速度步行，行驶2千米后遇到爸爸，故他爸爸在0.5小时内行驶了28千米，故爸爸开车的平均速度应是56千米/小时，
（2）先设一次函数的解析式，然后将两点坐标代入解析式即可得出线段CD所表示的函敛关系式。
（3）根据图象和解析式可知小明从出发到回家一共需要4.2小时，故12：00前不能回到家。
12：00时他离家的路程=速度×时间=56×0.2=11.2。
7.（福建龙岩13分）如图，已知抛物线与轴相交于A、B两点，其对称轴为直线，且与x轴交于点D，AO=1．
(1) 填空：=_______。=_______，
点B的坐标为(_______，_______)：
(2) 若线段BC的垂直平分线EF交BC于点E，交轴于点F．求FC的长；
(3) 探究：在抛物线的对称轴上是否存在点P，使⊙P与轴、直线BC都相切？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。
【答案】解：（1），，5，0。
（2）由（1）得抛物线的解析式为，化为顶点式为。
∴C（2，4）。
∵E为BC的中点，由中点坐标公式求得E的坐标为（3.5，2），
设直线BC的表达式为，则，解得。
∴直线BC的表达式为。
设直线EF的表达式为，
∵EF为BC的中垂线，∴EF⊥BC。∴由相似可得，即直线EF的表达式为。
把E（3.5，2）代入得 ，解得。
∴直线EF的表达式为 。
在 中，令=0，得，
解得。
∴F（ ，0）。
∴FC=FB=5－。
答：FC的长是。
（3）存在。
作∠OBC的平分线交DC于点P，
则P满足条件。
设P（2，），则P到轴的距离等于P到直线BC的距离，都是||。
∵点C的坐标是（2，4），点B的坐标是（5，0），
∴CD=4，DB=5－2=3。∴BC= 。
∴sin∠BCD=。
当点P在轴上方时，得，解得。点P的坐标是（2，）。
当点P在轴下方时，得，解得。点P的坐标是（2，－6）。
∴在抛物线的对称轴上存在点P，使⊙P与x轴、直线BC都相切，点P的坐标是（2，），（2，－6 ）。
【考点】二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，解二元一次方程组、一元二次方程和分式方程，二次函数的项点坐标和对称轴，线段垂直平分线的性质，勾股定理，锐角三角函数定义。
【分析】（1）根据对称轴和OA=1求出A、B的坐标，代入解析式得二元一次方程组，即可求出，，从而求得抛物线的解析式为，令0，即可求得点B的坐标。
（2）由抛物线的项点式求得C（2，4），从而求得E的坐标为（3.5，2）和直线BC的表达式，设直线EF的表达式为，根据EF为BC的中垂线推出直线EF的表达式为，令=0，得 F（ ，0）。即可求出答案。
（3）作∠OBC的平分线交DC于点P，设P（2，），根据抛物线解析式求出顶点C的坐标与点B的坐标，然后利用∠BCD的正弦列式即可求解。
8.（福建莆田10分） 如图，将—矩形OABC放在直角坐际系中，O为坐标原点．点A在x轴正半轴上．点E是边AB上的—个动点(不与点A、N重合)，过点E的反比例函数的图象与边BC交于点F。
（1）(4分)若△OAE、△OCF的而积分别为S1、S2．且S1＋S2=2，求的值：
（2）(6分) 若OA=2．0C=4．问当点E运动到什么位置时，四边形OAEF的面积最大．其最大值为多少?
【答案】解：（1）∵点E、F在函数的图象上，
∴设E（， ），F（，），＞0，＞0，
∴S1=，S2=。
∵S1＋S2=2，∴ 。∴。
（2）∵四边形OABC为矩形，OA=2，OC=4，∴设 E(，2)， F(4，)。
∴BE=4－，BF=2－。
∴S△BEF= ，S△OCF= ，S矩形OABC=2×4=8，
∴S四边形OAEF=S矩形OABC－S△BEF－S△OCF= 8－()－
=。
∴当=4时，S四边形OAEF=5。∴AE=2。
∴当点E运动到AB的中点时，四边形OAEF的面积最大，最大值是5。
【考点】反比例函数综合题，曲线图上点的坐标与方程的关系，二次函数的最值。
【分析】（1）设E（， ），F（，），＞0，＞0，根据三角形的面积公式得到S1=S2= ，利用S1＋S2=2即可求出。
（2）设E(，2)， F(4，)，利用S四边形OAEF=S矩形OABC－S△BEF－S△OCF=，根据二次函数的最值即可得到当点E运动到AB的中点时，四边形OAEF的面积最大，最大值是5。
9.（福建莆田10分） 某高科技公司根据市场需求，计划生产A、B两种型号的医疗器械，其部分信息如下：
信息一：A、B两种型号的医疔器械共生产80台．
信息二：该公司所筹生产医疗器械资金不少于1800万元，但不超过1810万元．且把所筹资金全部用于生产此两种医疗器械．
信息三：A、B两种医疗器械的生产成本和售价如下表：
型号
A
B
成本（万元/ 台）
20
25
售价（万元/ 台）
24
30

根据上述信息．解答下列问题：
（1）（6分）该公司对此两种医疗器械有哪-几种生产方案？哪种生产方案能获得最大利润？
（2）（4分）根据市场调查，-每台A型医疗器械的售价将会提高万元（）．
每台A型医疗器械的售价不会改变．该公司应该如何生产可以获得最大利润？
(注：利润=售价成本)
【答案】解：（1）设该公司生产A钟中医疗器械台，则生产B钟中医疗器械（80－）台，
依题意得， ，解得38≤≤40。
取整数得=38，39，40。
∴该公司有3钟生产方案：
方案一：生产A钟器械38台，B钟器械42台；
方案二：生产A钟器械39台，B钟器械41台；
方案三：生产A钟器械40台，B钟器械40台。
公司获得利润：W=（24－20）＋（30－25）（80－）=－+400。
∵利润W随的增大而减少，
∴当=38时，W有最大值。
∴当生产A钟器械38台，B钟器械42台时获得最大利润。
（2）依题意得，W=（4＋）＋5（80－）=（－1）＋400
当－1＞0，即＞1时，生产A钟器械40台，B钟器械40台，获得最大利润；
当－1=0，即=1时，（1）中三种方案利润都为400万元；
当－1＜0，即0＜＜1时，生产A钟器械38台，B钟器械42台，获得最大利润。
【考点】一次函数的应用，一元一次不等式组的应用。
【分析】（1）利用题目提供的信息列出有关的一元一次不等式组，解得有关医疗器械的取值范围，得到方案即可。
（2）求出利润函数，分类讨论得到最大利润方案即可。
10.（福建莆田12分）已知抛物线的对称轴为直线，且与轴交于A、B两点．与轴交于点C．其中A(1，0)，C(0，)．
（1）（3分）求抛物线的解析式；
（2）若点P在抛物线上运动（点P异于点A）．
①（4分）如图l．当△PBC面积与△ABC面积相等时．求点P的坐标；
②（5分）如图2．当∠PCB=∠BCA时，求直线CP的解析式。

【答案】解：（1）由题意，得，解得 。∴抛物线的解析式为。
（2）①令，解得1=1，2=3，∴B（3，0）。
当△PBC面积与△ABC面积相等时．它们同底等高。
情形1：当点P在轴上方时，如图1，
过点A作直线BC的平行线交抛物线于点P（图中P1），
由B、C两点坐标可求直线BC的解析式为，
∴设直线AP的解析式为，
∵直线AP过点A（1，0），代入求得。
∴直线AP的解析式为。
解方程组得，， 。
∴点P1（2，1）。
情形2：当点P在轴下方时，如图1（图中P2，P3），
易求直线AP1交y轴于点E（0，－1），CE=2，
把直线BC向下平移2个单位，交抛物线于点P2，P3，得直线P2P3的解析式为，
解方程组得，，。
∴P2（，），P3（ ，）。
综上所述，点P的坐标为：P1（2，1），P2（，），P3（ ，）。
②∵B（3，0），C（0，－3）
∴OB=OC，∴∠OCB=∠OBC=45°。
设直线CP的解析式为。
如图2，延长CP交轴于点Q，
设∠OCA=α，则∠ACB=45°－α，
∵∠PCB=∠BCA，∴∠PCB=45°－α，
∴∠OQC=∠OBC－∠PCB=45°－（45°－α）=α，
∴∠OCA=∠OQC。
又∵∠AOC=∠COQ=90°，∴Rt△AOC∽Rt△COQ。
∴，即，∴OQ=9，∴Q（9，0）。
∵直线CP过点Q（9，0），∴∴。
∴直线CP的解析式为 。
【考点】二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，解方程组和一元二次方程，三角形面积相等的条件，平移的性质，等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质。
【分析】（1）根据对称轴公式，A、C两点坐标，列方程组，求抛物线解析式。
（2）①只需要AP∥BC即可满足题意，先求直线BC解析式，根据平行线的解析式一次项系数相等，设直线AP的解析式，将A点坐标代入可求直线AP的解析式，将抛物线与直线AP解析式联立，即可求P点坐标，再根据平移法求满足条件的另外两个P点坐标。
②延长CP交x轴于点Q，根据抛物线解析式可知△OBC为等腰直角三角形，利用角的关系证明∠OCA=∠OQC，可证Rt△AOC∽Rt△COQ，利用相似比求解。
11.（福建南平10分）为落实校园“阳光体育”工程，某校计划购买篮球和排球共20个．已知篮球每个80元，排球每个60元．设购买篮球x个，购买篮球和排球的总费用y元．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）如果要求篮球的个数不少于排球个数的3倍，应如何购买，才能使总费用最少？最少费用是多少元？
【答案】解：（1）y＝80x＋60(20－x)＝1200＋20 x。
（2）x≥3(20－x) 解得x≥15
要使总费用最少，x必须取最小值15
y＝1200＋20×15＝1500
答：购买篮球15个，排球5个，才能使总费用最少．最少费用是1500元。
【考点】一次函数的应用。
【分析】（1）设购买篮球x个，购买篮球和排球的总费用y元，根据某校计划购买篮球和排球共20个，
已知篮球每个80元，排球每个60元可列出函数式．
（2）设购买篮球x个，，根据篮球的个数不少于排球个数的3倍，求出篮球的个数的最小值，从
而可求出解。

16
用心 爱心 专心