单调性 doc.doc

1.3.1 函数的单调性
教材分析
函数的单调性是函数的重要性质．从知识的网络结构上看，函数的单调性既是函数概念的延续和拓展，又是后续研究指数函数、对数函数、三角函数的单调性等内容的基础，在研究各种具体函数的性质和应用、解决各种问题中都有着广泛的应用．函数单调性概念的建立过程中蕴涵诸多数学思想方法，对于进一步探索、研究函数的其他性质有很强的启发与示范作用．
课时分配
本节内容用1课时的时间完成，主要讲解函数的单调性定义及证明方法步骤
教学目标
重点: 函数单调性的概念与判断
难点：利用概念证明或判断函数的单调性
知识点：函数单调性证明的一般步骤.
能力点：通过函数图像的升降探寻函数的单调性定义，总结证明的一般步骤。
教育点：通过对函数单调性定义的探究，培养观察、归纳、抽象的能力和语言表达能力；通过对函数单调性的证明，提高学生的推理论证能力，体会探究的乐趣，激发学生的学习热情.
考试点：用定义证明函数的单调性
易错易混点：证明函数的单调性时， 学生一般在步骤上容易出错.
拓展点：讨论函数f（x）＝（a>0）在x∈（－1，1）上的单调性
教具准备 多媒体课件和三角板
课堂模式 学案导学
1． 观察下列各个函数的图象，并说说它们分别反映了相应函数的哪些变化规律：
y
x
1
-1
1
-1
y
x
1
-1
1
-1
y
x
1
-1
1
-1

随x的增大，y的值有什么变化？
能否看出函数的最大、最小值？
y
x
1
-1
1
-1
函数图象是否具有某种对称性？
2． 画出下列函数的图象，观察其变化规律：
1．f(x) = x
从左至右图象上升还是下降 ______?
在区间 ____________ 上，随着x的增
大，f(x)的值随着 ________ 。

y
x
1
-1
1
-1
2．f(x) = -2x+1
从左至右图象上升还是下降 ______?
在区间 ____________ 上，随着x的增
大，f(x)的值随着 ________。
3．f(x) = x2
在区间 ____________ 上，f(x)的值随
着x的增大而 ________ 。
y
x
1
-1
1
-1
在区间 ____________ 上，f(x)的值随
着x的增大而 ________ 。

学习过程：
（一）函数单调性定义
1．增函数
一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，
如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说f(x)在区间D上是增函数。
思考：仿照增函数的定义说出减函数的定义：（学生活动）
______________________________________________________________________________
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2．函数的单调性定义
如果函数y=f(x)在某个区间上是增函数或是减函数，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做y=f(x)的单调区间：
3．判断函数单调性的方法步骤：
利用定义证明函数f(x)在给定的区间D上的单调性的一般步骤：
任取x1，x2∈D，且x1<x2；
作差f(x1)－f(x2)；
变形（通常是因式分解和配方）；
定号（即判断差f(x1)－f(x2)的正负）；
下结论（即指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性）。
注意：
函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质；
必须是对于区间D内的任意两个自变量x1，x2；当x1<x2时，总有f(x1)<f(x2) (或)．
反映在图象上，若 是区间D上的增（减）函数，则图象在D上的部分从左到右是上升（下降）的。

运用新知

A1 如图是定义在区间[－5，5]上的函数y=f(x)，根据图象说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，它是增函数还是减函数？

A2. 求证：函数y＝在区间(1，＋∞)上为单调减函数。

六 达标训练：
A1．证明函数f(x)=-3x+2在R上是减函数。

B2. 写出f(x)=x2－4x+5的单调递增区间，并证明。

C3. 讨论函数y＝x2－2(2a＋1)x＋3在[－2,2]上的单调性。

课堂小结
函数的单调性一般是先根据图象判断，再利用定义证明．画函数图象通常借助计算机，求函数的单调区间时必须要注意函数的定义域，单调性的证明一般分五步：
取 值 → 作 差 → 变 形 → 定 号 → 下结论

布置作业
1.教材P39 第二题；
2.书面作业
必做题：求函数y＝x＋的单调区间
选做题：1. 讨论函数f（x）＝（a>0）在x∈（－1，1）上的单调性．
2. 定义在R上的函数y＝f（x）， f（0）≠0，当x>0时， f（x）>1，且对任意的a，b∈R，有f（a＋b）＝f（a）·f（b）．
（1）证明：f（0）＝1；
（2）证明：对任意的x∈R，恒有f（x）>0；
（3）证明：f（x）是R上的增函数；
（4）若f（x）·f（2x－x2）>1，求x的取值范围．

[设计意图]设计作业1,2，是引导学生先复习，再作业，培养学生良好的学习习惯.书面作业的布置，是为了让学生能够运用单调性定义证明单调函数，进一步巩固证明的一般步骤
七、教后反思
1. 函数的单调区间一般指“最大”区间，学生如果只回答其子区间，应给予纠正。
2. 如何让学生理解函数单调性中：“对任意两个变量…”的“任意”的意义仍是值得斟酌的。能否让学生来举例，让学生讨论来展开研究？
3.本节课的弱项是由于整堂课课堂容量较大，在课堂上没有充分暴露学生的思维过程，并给予针对性地诊断与分析.

八、板书设计
1.3.1 函数的单调性

1. 单调增函数定义；

2. 单调减函数定义

3. 证明 单调函数的一般步骤；

(1) 取值
(2) 作差
(3) 变形
(4) 定号
(5) 下结论

薛城舜耕中学 高一 种衍义