基于圆的几何性质的无人机纯方位无源定位研究.pdf

第 3 期2023 年 08 月汕头大学学报（自然科学版）第 38 卷 第 3 期Aug.2023Journal of Shantou University(Natural Science)Vol.38 No.3文章编号：1001 鄄 4217（2023）03 鄄 0033 鄄 09基于圆的几何性质的无人机纯方位无源定位研究巴蕾，李欣烨，阮泳航（汕头大学数学系，广东汕头515063）摘要本文在仅根据无人机发射的方向信息的情况下，研究无人机纯方位无源定位问题.基于圆的几何性质建立定位模型，确定定位模型中所需发射信号无人机的最小数量，并通过迭代法构建调整模型，得到无人机群位置的调整方案.最后对调整模型的精确度进行评估.关键词无人机；无源定位；圆的几何性质；迭代法中图分类号O29文献标志码A0引言无人机无源定位在环境监测、应急救援、军事侦察与电子战等领域的应用越来越多，如何规划无人机路径以提高定位精度已成为国际研究热点问题之一1.无源定位是一个系统的工作过程，其中定位算法是连接定位技术和算法性能分析之间的桥梁.近年来，国内外诸多学者对于无源定位算法进行了深入的研究.其中，经典的无源定位算法主要有最小二乘算法（LS）、最大似然算法（ML）及扩展卡尔曼滤波算法（EKF）2.这些算法中有很多都存在着缺陷，例如，ML算法需要对测量误差的分布进行先验假设，但该假设仅适用于连续时间系统，对于离散时间系统而言并未得到其成立的证明3.本文仅基于圆的几何性质建立纯方位无源定位模型，相较于上述算法，在限制条件较少的情况下仍然保持较高的定位精度.本文的结构编排如下：第一节进行前提假设，第二节主要是纯方位无源定位模型的建立过程，第三节分析了定位模型中所需发射信号无人机的最小数量，第四节构建了无人机群的调整模型，最后在第五节对上述工作进行了总结.1前提假设现有 10 架无人机组成圆形编队并保持在同一高度上，其中编号 FY00 位于圆心，其余 9 架无人机（FY01FY09）均匀分布在某一水平方向的圆周上（见图 1）.收稿日期：2022 鄄 12 鄄 02通讯作者：阮泳航（2000），男（汉族），广东中山人，硕士，研究方向：拓扑动力系统.E-mail：基金项目：汕头市教育科学“十四五”规划课题（2021GHB028）汕头大学学报（自然科学版）第 38 卷作以下假设：（1）各无人机高度保持一致，仅考虑二维情况;（2）各无人机仅依靠方向信息（规定为接收信号的无人机与任意两架发射信号无人机连线之间的夹角）进行定位与调整，排除其他因素的干扰；（3）记接收信号的无人机收到 FY00 与 FY01 发射的夹角大小为 琢1，收到 FY00 与FY0A（第三架发射信号的无人机）发射的夹角大小为 琢2，收到 FY01 与 FY0A 发射的夹角大小为 琢3（单位：（毅），见图 2）；（4）无人机圆形编队的半径为 R.2定位模型这一节在无人机 FY00 和另 2 架编号已知的无人机发射信号且位置皆无偏差，其余位置略有偏差的无人机接收信号的情况下，建立接收信号的无人机的定位模型.2.1平面直角坐标系的建立由于发射信号的无人机编号已知，不妨设圆周上的两架无人机中的一架编号为FY01，另一架编号为 FY0A（2A9）.以 FY00 作为原点，FY00FY01作为 x 轴的正方向建立平面直角坐标系.记 FY0A 的坐标为 A（x1，y1），接收信号的无人机为 FY0B（2B9 且 BA），FY0B的坐标为 P（x，y）.2.2无人机定位模型建立过 FY00，FY01，P三点作圆 O1，过 FY01 所在点作 FY00FY01的垂线，记垂线与圆O1的交点为 P（PFY01），由圆周角定理4得在点 P 接收到的角度值也为 琢1，O1位于FY00P 的中点，坐标为（R2，R2tan琢1），圆 O1的方程如下：图 2 无人机接收到的方向信息示意图图 1 圆形无人机编队示意图34第 3 期xR2蓸蔀2 yR2tan琢1蓸蔀2R2sin琢1蓸蔀2，P 位于 x 轴上方xR2蓸蔀2 yR2tan琢1蓸蔀2R2sin琢1蓸蔀2，P 位于 x 轴下方扇墒设设缮设设，（1）同理，FY00，FY0A，P过三点作圆 O2，过 FY0A 所在点作 FY00FY0A 的垂线，记垂线与圆 O2的交点为 P（PFY0A），得在点 P 接收到的角度值也为 琢2.设 O2的坐标为（x0，y0），可以得到 kOA kAP越原1，即y1x12y0y12x0 x1蓸蔀越原1，（2）此外，记 FY0A 与 P 之间的距离为 LRtan琢2，则根据两点之间的距离公式，可以得到如下方程：（2x0 x1）2（2y0y1）2L2，（3）联立方程（2）和（3）解得：当 2B5时，x012x1Ly1x21y21姨蓸蔀y012y1Lx1x21y21姨蓸蔀扇墒设设缮设设，1AB4，x012（x1Ly1x21y21姨）y012（y1Lx1x21y21姨）扇墒设设缮设设，AB原1 或 AB5，当 6B9 时，x012x1Ly1x21y21姨蓸蔀y012y1Lx1x21y21姨蓸蔀扇墒设设缮设设，BA原1 或 BA5，x012（x1Ly1x21y21姨）y012（y1Lx1x21y21姨）扇墒设设缮设设，1BA4，于是可以得到圆 O2的方程如下：（xx0）2（yy0）2R2sin琢2蓸蔀2，（4）联立圆 O1和圆 O2的方程（1）和（4），解得 x，y 如下：xR2R2sin琢1 dyR2tan琢1R2sin琢11d2姨扇墒设设缮设设，（5）巴蕾等：基于圆的几何性质的无人机纯方位无源定位研究35汕头大学学报（自然科学版）第 38 卷式中的 a，b，c，d 表示如下：aRsin琢1（R2x0）bRsin琢1（R2tan琢1y0）cR2sin琢2蓸蔀2R2sin琢1蓸蔀2（R2x0）2（R2tan琢1y0）2dacba2b2c2姨a2b2扇墒设设设设设缮设设设设设.解得（x，y）即接收信号的无人机（图中点 P）的位置坐标，如图 3 所示（图中取 A2）：任选三架无人机发射信号，计算出 琢1，琢2，将其代入式（5），计算可得接收信号的无人机的坐标.3无人机数量的最小化这一节研究在选取无人机 FY00 和 FY01（位置无偏差）发射信号后，还需要几架位于圆周上未知编号的无人机（位置无偏差）发射信号以完成对其余无人机的有效定位.通过接收到的方向信息确定第三架发射信号的无人机的编号（记为 FY0A），以 FY00，FY01，FY0A 为发射信号的无人机，利用定位模型，实现对接收信号的无人机的定位.称无人机在圆周上均无位置偏差时接收到的方向信息为标准角，此时分别记的 琢2，琢3值为 aij，bij.另外，琢2，琢3在实际情况下的值记为 aij，bij.（其中 i，j 分别为 FY0A 与接收信号的无人机的编号）图 3 接收信号的无人机位置图36第 3 期接下来以 FY03 为接收信号的无人机的情况为例，说明确定第三架发射信号的无人机的步骤：Step1：FY03 接收到 FY00 和 FY0A（A1，2，4，5，噎，9）发射的方向信息 ai3（i1，2，4，5，噎，9）的值如表 1 所示：Step2：记无人机实际接收到的角度与标准角之差的绝对值为 啄.例如，FY03 接收到的 琢255，为了能在 FY04，FY05 和 FY02 之间确定第三架发射信号的无人机的编号，区间（50啄，50啄）与（70啄，70啄）不能相交，于是得到 啄10.因此 ai3（i1，2，4，5，噎，9），的取值范围如表 2 所示：Step3：已知无人机 FY03 接收到 琢1，琢2，其中 琢1必位于区间（40，60），根据 琢2所在区间，判断第三架发射信号的无人机的可能情况.例如，当 琢255 时，可以确定第三架发射信号的无人机为 FY05；当 琢233 时，可以判断出第三架发射信号的无人机为FY06 或 FY09；Step4：与 Step2 同理，bi3（i2，4，5，噎，9）的取值范围如表 3 所示：Step5：已知无人机 FY03 接收到 琢3，根据 琢3所在区间，确定第三架发射信号的无人机的编号.例如，当 琢375 时，则可以最终确定第三架发射信号的无人机为 FY06.至此，已确定 3 架发射信号的无人机为 FY00、FY01、FY0A（2A9），然后用定位模型对接收信号的无人机进行定位.4调整模型这一节根据无人机的初始位置（略有偏差），建立调整模型（在每次调整过程中，无人机 FY00 和圆周上最多 3 架无人机发射信号，其余无人机根据收到的方位信息调整位置），使无人机群在多次调整后均匀分布于某个圆周上.4.1调整模型的建立这一节给出两种解决方法，这两种方法的区别是在每一次调整过程中对于发射信号的无人机的选取方式不同.两种方法的具体流程如图 4 所示：方向信息b23b43b53b63b73b83b93角度值（10，30）（110，130）（90，110）（70，90）（50，70）（30，50）（10，30）表 3 bi3（i2，4，5，噎，9）的取值范围方向信息a13a23a43a53a63a73a83a93角度值（40，60）（60，80）（60，80）（40，60）（20，40）（0，20）（0，20）（20，40）表 2 ai3（i1，2，4，5，噎，9）的取值范围表 1 ai3（i1，2，4，5，噎，9）的值方向信息a13a23a43a53a63a73a83a93角度值5070705030101030巴蕾等：基于圆的几何性质的无人机纯方位无源定位研究37汕头大学学报（自然科学版）第 38 卷4.1.1方法一Step1：以无人机 FY00 和 FY0B（2B9）作为发射信号的无人机，FY01 作为接收信号的无人机，接收到的角度值记为 茁i（2i9）.此外，记所有无人机均在标准位置时FY01 接收到的角度值为 茁i（2i9），具体值如表 4 所示：Step2：定义无人机 FY0B（2B9）的角偏差率函数为：fi茁i茁i茁i蓸蔀2，（2i9）；Step3：找到角偏差率最小的作为无人机，记为 FY0A.以无人机 FY00，FY01，FY0A作为发射信号的无人机，使剩余的无人机调整至新的位置，在该位置各无人机接收到的琢1，琢2均为标准角；Step4：重复 Step1Step3 若干次，得到偏差较小的无人机群的位置.4.1.2方法二茁i茁2茁3茁4茁5茁6茁7茁8茁9数值7050301010305070表 4 茁i（2臆i臆9）的数值图 4 两种方法调整流程38第 3 期随机生成 29 的一个整数 i，取 Ai，以无人机 FY00，FY01，FY0A 作为发射信号的无人机，使剩余的无人机调整至新的位置，在该位置各无人机接收到的 琢1，琢2均为标准角.重复上述操作若干次，得到无人机组的位置.相较于方法一，方法二的显著优点是计算量小，且需要的条件少.4.2调整模型的求解结果根据初始坐标计算出无人机接收到的方向信息 琢1，琢2，接着按照上述两种方法的步骤分别进行2 次迭代（取 R100m）.最终得到无人机组完成迭代前后的坐标对比如表 5所示.由表 5 可知，对同一组初始坐标，在同样的迭代次数下，方法一的求解结果更接近标准位置的坐标.4.3误差分析这一节采用的方法为迭代法，由于每次选择的第三架发射信号的无人机的位置都是略有偏差的，每次调整之后的无人机组的位置都会存在一定偏差.设偏差率 sn为无人机组在第 n 次调整后角偏差率 fi之和，即：sn9i2移fi.分别记 s（1）n，s（2）n为方法一和方法二的误差，第 n 次迭代后 sn的值如表 6 所示.由表 6 可知，随着迭代次数的增加，方法一的误差逐渐减小，而方法二的误差没有明确的变化趋势.方法一相较于方法二误差较小，说明该方法的迭代效果良好，即方法一的调整效果较好，有一定的参考价值.表 6 第 n 次迭代后s（1）n，s（2）n的值迭代次数方法一误差 s（1）n方法二误差 s（2）n00.0280.02810.0010.01020.0010.011无人机编号初始坐标（m,毅）方法一求解结果（m,毅）方法二求解结果（m,毅）0（0.000,0.000）（0.000,0.000）（0.000,0.000）1（100.000,0.000）（100.000,0.000）（100.000,0.000）2（98.000,40.100）（100.000,39.992）（100.983,38.390）3（112.000,80.210）（100.000,79.994）（102.569,78.212）4（105.000,119.750）（100.000,119.997）（104.027,118.659）5（98.000,159.860）（100.000,60.000）（104.620,159.533）6（112.000,199.960）（100.000,200.000）（104.027,200.407）7（105.000,240.070）（100.000,239.999）（102.569,240.854）8（98.000,280.170）（100.000,279.996）（100.983,280.676）9（112.000,320.280）（100.000,319.993）（99.987,319.980）表 5 无人机使用两种方法完成迭代前后的坐标巴蕾等：基于圆的几何性质的无人机纯方位无源定位研究39汕头大学学报（自然科学版）第 38 卷4.4灵敏度分析随机生成多组数据作为无人机组的初始位置.表 7 中显示了其中 1 组数据，此外对随机生成的数据进行较大修改，对修改前后的数据都用方法一和方法二进行位置调整.使用方法一分别对两组数据进行位置调整（迭代次数均为 2），调整结果如表 7 所示.分别使用方法一和方法二对两组数据进行调整，两组数据在 n 次迭代后的误差 s（1）n，s（2）n如表 8 所示.从表 8 可见，在对初始位置进行较大修改的情况下，方法一迭代 2 次后的误差并没有增加，可见方法一具有较高的普适性，而方法二迭代 2 次后的误差大幅增加，可见方法二适用范围较窄，稳定性较差.5总结本文所用模型在依靠方向信息的情况下仍能得到较精确的结果，且调整模型的收敛速度较快.但模型的限制条件比较严苛，可以尝试将模型推广到更复杂的情况，例如，无人机群高度不一致等.亦可以尝试对模型进行调整，例如，调整无人机的选取方案、构造不一样的角偏差率函数、改变发射信号的无人机的数量等.致谢：感谢汕头大学数学系李健老师的悉心指导.参考文献1 杨俊岭，周宇，王维佳，等.基于演化深度神经网络的无人机协同无源定位动态航迹规划J.科技导报，2018，36（24）：26-32.迭代次数 n数据修改后的迭代误差s（1）ns（1）ns（2）n00.3128.5608.56010.0240.3174.94120.0090.0035.388数据修改前的迭代误差s（2）n0.3120.0380.081表 8 使用方法一和方法二对两组数据进行迭代的误差无人机编号极坐标（m,毅）方法一调整结果（m,毅）修改后极坐标（m,毅）方法一调整结果（m,毅）0（0,0）（0.000,0.000）（0.000,0.000）（0.000,0.000）1（100,0）（100.000,0.000）（100.000,0.000）（100.000,0.000）2（91,35）（99.962,39.992）（50.500,30.000）（100.016,39.982）3（91,85）（99.947,79.994）（150.000.5,450）（100.016,79.992）4（101,128）（99.962,119.997）（78.100,28.000）（100.000,120.000）5（98,157）（100.000,160.000）（98.000,150.000）（99.982,160.002）6（97,191）（100.043,200.000）（47.000,90.110）（99.967,199.997）7（110,241）（100.071,239.999）（120.400,41.230）（99.961,239.987）8（104,278）（100.071,279.996）（144.000,208.000）（99.967,279.977）9（97,294）（100.043,319.993）（90.000,194.000）（99.982,319.972）表 7 无人机初始位置和调整结果40第 3 期2 STANSFIELD R G.Statistical theory of DF fixingJ.IEE，1947，94（15）：762-7703 王本才，王国宏，何友.多站纯方位无源定位算法研究进展J.电光与控制，2012，19（5）：56-62.4 华心昀.圆周角定理及其推论的证明和应用J.新高考（升学考试），2017（10）：47-49.5 崔殿青.参数方程法在解析几何问题中的应用J.中学数学教学参考，2021（24）：41-42.6 倪仁杰，田华.利用余弦定理求两圆交点的方法J.新课程（下），2017（1）：105.7 叶李，王侃.基于粒子群的时频差协同无源定位技术研究J.自动化与仪器仪表，2021（4）：17-20.8 吕文亭，黄亮，王澍初，等.无人机单站无源定位中的可观测性分析J.舰船电子工程，2012，32（11）：44-45+113.9 张鲲，沈重，王海丰，等.海上侦察船的纯方位无源定位技术研究J.舰船科学技术，2018，40（2）：19-21.10 张卓然，叶广强，刘华伟.一种机载单站对固定目标的无源定位方法J.计算机仿真，2015，32（2）：92-95+105.11 陈晓晨，王梓旭.基于联邦 UKF 的多机协同无源定位J.飞机设计，2017，37（6）：53-56+65.12 卜卿，王妍妍，黄山良.运动目标纯方位定位方法J.指挥信息系统与技术，2014，5（6）：52-55.13 王镜旭.基于双站光学测角法的无人机定位算法研究J.中国民航飞行学院学报，2022，33（6）：41-45.14 李密，林旭，陈佳期，等.论无人机高精度定位与视觉自动跟踪融合技术J.科技创新与应用，2022，12（32）：54-57.15 谭立超.基于时间同步优化和特征筛选的无人机单目视觉惯导联合定位方法J.武汉大学学报（工学版），2023，56（2）：237-243.Research on Azimuth-Only Passive Location of UAVBased on the Geometric Properties of a CircleBA Lei,LI Xinye,RUAN Yonghang（Department of Mathematics,Shantou University,Shantou 515063,Guangdong,China）Abstract In this paper,the problem of azimuth-only passive positioning of the unmanned aerialvehicles（UAVs）is studied only based on the direction information of UAVs.Based on thegeometric properties of the circle,a positioning model is established to determine the minimumnumber of UAVs required to transmit signals in the positioning model,and the adjustment modelis constructed by an iterative method to obtain the positioning scheme of UAVs.Finally,theaccuracy of the adjustment model is evaluated.Keywords UAV;passive localization;geometric properties of a circle;iteration巴蕾等：基于圆的几何性质的无人机纯方位无源定位研究41