浙江省各市2012年中考数学分类解析10 四边形.doc

浙江11市2012年中考数学试题分类解析汇编
专题10：四边形
一、 选择题
1.（2012浙江杭州3分）已知平行四边形ABCD中，∠B=4∠A，则∠C=【 】
　　A．18°　　B．36°　　C．72°　　D．144°
【答案】B。
【考点】平行四边形的性质，平行线的性质。
【分析】由平行四边形性质求出∠C=∠A，BC∥AD，推出∠A+∠B=180°，求出∠A的度数，即可求出∠C：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠C=∠A，BC∥AD。
∴∠A+∠B=180°。
∵∠B=4∠A，∴∠A=36°。
∴∠C=∠A=36°。故选B。
2. （2012浙江宁波3分）勾股定理是几何中的一个重要定理．在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载．如图1是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理．图2是由图1放入矩形内得到的，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，点D，E，F，G，H，I都在矩形KLMJ的边上，则矩形KLMJ的面积为【 】

　　A．90　　B．100　　C．110　　D．121
【答案】C。
【考点】勾股定理的证明。
【分析】如图，延长AB交KF于点O，延长AC交GM于点P，
所以，四边形AOLP是正方形，边长AO=AB+AC=3+4=7。
所以，KL=3+7=10，LM=4+7=11，
因此，矩形KLMJ的面积为10×11=110。故选C。
3. （2012浙江台州4分）如图，菱形ABCD中，AB=2，∠A=120°，点P，Q，K分别为线段BC，CD，BD上的任意一点，则PK+QK的最小值为【 】

　 A． 1 B． C． 2 D．＋1
【答案】B。
【考点】菱形的性质，线段中垂线的性质，三角形三边关系，垂直线段的性质，矩形的判定和性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。
【分析】分两步分析：
（1）若点P，Q固定，此时点K的位置：如图，作点P关于BD的对称点P1，连接P1Q，交BD于点K1。
由线段中垂线上的点到线段两端距离相等的性质，得
P1K1 = P K1，P1K=PK。
由三角形两边之和大于第三边的性质，得P1K＋QK＞P1Q= P1K1＋Q K1= P K1＋Q K1。
∴此时的K1就是使PK+QK最小的位置。
（2）点P，Q变动，根据菱形的性质，点P关于BD的对称点P1在AB上，即不论点P在BC上任一点，点P1总在AB上。
因此，根据直线外一点到直线的所有连线中垂直线段最短的性质，得，当P1Q⊥AB时P1Q最短。
过点A作AQ1⊥DC于点Q1。 ∵∠A=120°，∴∠DA Q1=30°。
又∵AD=AB=2，∴P1Q=AQ1=AD·cos300=。
综上所述，PK+QK的最小值为。故选B。
二、填空题
1. （2012浙江杭州4分）已知一个底面为菱形的直棱柱，高为10cm，体积为150cm3，则这个棱柱的下底面积为 ▲ cm2；若该棱柱侧面展开图的面积为200cm2，记底面菱形的顶点依次为A，B，C，D，AE
是BC边上的高，则CE的长为 ▲ cm．
【答案】15，1。
【考点】菱形的性质，几何体的展开图，勾股定理。
【分析】由底面为菱形的直棱柱，高为10cm，体积为150cm3，由体积=底面积×高，即可求得这个棱柱的下底面积，又由该棱柱侧面展开图的面积为200cm2，即可求得底面菱形的周长与BC边上的高AE的长，由勾股定理求得BE的长，从而求得CE的长：
∵底面为菱形的直棱柱，高为10cm，体积为150cm3，
∴这个棱柱的下底面积为：150÷10=15（cm2）。
∵该棱柱侧面展开图的面积为200cm2，高为10cm，
∴底面菱形的周长为：200÷10=20（cm）。
∴AB=BC=CD=AD=20÷4=5（cm），∴AE=S菱形ABCD÷BC=15÷5=3（cm）。
∴BE==4（cm）。∴EC=BC﹣BE=5﹣4=1（cm）。
2. （2012浙江丽水、金华4分）如图，在直角梯形ABCD中，∠A＝90°，∠B＝120°，AD＝，AB＝6．在底边AB上取点E，在射线DC上取点F，使得∠DEF＝120°．
(1)当点E是AB的中点时，线段DF的长度是　 ▲ 　；
(2)若射线EF经过点C，则AE的长是　 ▲ 　．

【答案】6；2或5。
【考点】直角梯形的性质，勾股定理，解直角三角形。
【分析】(1)如图1，过E点作EG⊥DF，∴EG＝AD＝。
∵E是AB的中点，AB＝6，∴DG＝AE＝3。
∴∠DEG＝60°（由三角函数定义可得）。
∵∠DEF＝120°，∴∠FEG＝60°。
∴tan60°＝，解得，GF＝3。
∵EG⊥DF，∠DEG＝∠FEG，∴EG是DF的中垂线。∴DF＝2 GF＝6。1世纪教育网
(2)如图2，过点B作BH⊥DC，延长AB至点M，
过点C作CF⊥AB于F，则BH＝AD＝。
∵∠ABC＝120°，AB∥CD，∴∠BCH＝60°。
∴CH＝，BC＝。
设AE＝x，则BE＝6－x，
在Rt△ADE中，DE＝，
在Rt△EFM中，EF＝，
∵AB∥CD，∴∠EFD＝∠BEC。
∵∠DEF＝∠B＝120°，∴△EDF∽△BCE。
∴，即，解得x＝2或5。
3. （2012浙江衢州4分）如图，平行四边形ABCD中，E是CD的延长线上一点，BE与AD交于点F，CD=2DE．若△DEF的面积为a，则平行四边形ABCD的面积为　 ▲ 　（用a的代数式表示）．

【答案】12a。
【考点】平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质。
【分析】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AD∥BC，AB=CD，
∴△DEF∽△CEB，△DEF∽△ABF。
∴S△DEF ：S△CE B=（DE：CE）2，S△DEF ：S△ABF=（DE：AB）2，
∵CD=2DE，∴DE：CE=1：3，DE：AB=1：2，
∵S△DEF=a，∴S△CBE=9a，S△ABF=4a，
∴S四边形BCDF=S△CEB﹣S△DEF=8a。∴S▱ABCD=S四边形BCDF+S△ABF=8a+4a=12a。
三、解答题
1. （2012浙江杭州10分）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，分别以AB，CD为边向外侧作等边三角形ABE和等边三角形DCF，连接AF，DE．
（1）求证：AF=DE；
（2）若∠BAD=45°，AB=a，△ABE和△DCF的面积之和等于梯形ABCD的面积，求BC的长．

【答案】（1）证明：∵在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，∴∠BAD=∠CDA。
∵在等边三角形ABE和等边三角形DCF中，AB=AE，DC=DF，且∠BAE=∠CDF=60°，
∴AE=DF，∠EAD=∠FDA，AD=DA。
∴△AED≌△DFA（SAS）。∴AF=DE。
（2）解：如图作BH⊥AD，CK⊥AD，则有BC=HK。
∵∠BAD=45°，∴∠HAB=∠KDC=45°。
∴AB=BH=AH。
同理：CD=CK=KD。
∵S梯形ABCD=，AB=a，
∴S梯形ABCD=。
又∵S△ABE=S△DCF=，
∴，解得：。
【考点】等腰梯形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质。
【分析】（1）根据等腰梯形和等边三角形的性质以及全等三角形SAS的判定证明△AED≌△DFA即可。
（2）如图作BH⊥AD，CK⊥AD，利用给出的条件和梯形的面积公式即可求出BC的长。
2. （2012浙江湖州8分）已知：如图，在ABCD中，点F在AB的延长线上，且BF=AB，连接FD，交BC于点E．
（1）说明△DCE≌△FBE的理由；
（2）若EC=3，求AD的长．

3. （2012浙江嘉兴、舟山8分）如图，已知菱形ABCD的对角线相交于点O，延长AB至点E，使BE=AB，连接CE．
（1）求证：BD=EC；
（2）若∠E=50°，求∠BAO的大小．

【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AB=CD，AB∥CD。
又∵BE=AB，∴BE=CD，BE∥CD。∴四边形BECD是平行四边形。
∴BD=EC。
（2）解：∵四边形BECD是平行四边形，∴BD∥CE，∴∠ABO=∠E=50°。
又∵四边形ABCD是菱形，∴AC丄BD。∴∠BAO=90°﹣∠ABO=40°。
【考点】菱形的性质，平行四边形的判定和性质，平行的性质，直角三角形两锐角的关系。
【分析】（1）根据菱形的对边平行且相等可得AB=CD，AB∥CD，然后证明得到BE=CD，BE∥CD，从而证明四边形BECD是平行四边形，再根据平行四边形的对边相等即可得证。
（2）根据两直线平行，同位角相等求出∠ABO的度数，再根据菱形的对角线互相垂直可得AC⊥BD，然后根据直角三角形两锐角互余计算即可得解。
4. （2012浙江宁波10分）邻边不相等的平行四边形纸片，剪去一个菱形，余下一个四边形，称为第一次操作；在余下的四边形纸片中再剪去一个菱形，又剩下一个四边形，称为第二次操作；…依此类推，若第n次操作余下的四边形是菱形，则称原平行四边形为n阶准菱形．如图1，ABCD中，若AB=1，BC=2，则ABCD为1阶准菱形．

（1）判断与推理：
①邻边长分别为2和3的平行四边形是 阶准菱形；
②小明为了剪去一个菱形，进行了如下操作：如图2，把ABCD沿BE折叠（点E在AD上），使点A落在BC边上的点F，得到四边形ABFE．请证明四边形ABFE是菱形．
（2）操作、探究与计算：
①已知▱ABCD的邻边长分别为1，a（a＞1），且是3阶准菱形，请画出ABCD及裁剪线的示意图，并在图形下方写出a的值；
②已知ABCD的邻边长分别为a，b（a＞b），满足a=6b+r，b=5r，请写出ABCD是几阶准菱形．
【答案】解：（1）①2。
②由折叠知：∠ABE=∠FBE，AB=BF，
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AE∥BF。∴∠AEB=∠FBE。
∴∠AEB=∠ABE。∴AE=AB。∴AE=BF。
∴四边形ABFE是平行四边形。∴四边形ABFE是菱形。
（2）①如图所示：

②∵a=6b+r，b=5r，∴a=6×5r+r=31r。
如图所示，
故ABCD是10阶准菱形。
【考点】图形的剪拼，平行四边形的性质，平行的性质，菱形的性质，作图（应用与设计作图）。
【分析】（1）①根据邻边长分别为2和3的平行四边形进过两次操作即可得出所剩四边形是边长为1菱形，故邻边长分别为2和3的平行四边形是2阶准菱形。
②根据平行四边形的性质得出AE∥BF，从而得出AE=BF，即可得出答案。
（2）①利用3阶准菱形的定义，即可得出答案。
②根据a=6b+r，b=5r，用r表示出各边长，从而利用图形得出ABCD是几阶准菱形。
5. （2012浙江衢州6分）如图，在平行四边形ABCD中，E、F是对角线BD上的两点，且BE=DF，连接AE、CF．请你猜想：AE与CF有怎样的数量关系？并对你的猜想加以证明．

【答案】解：猜想：AE=CF。证明如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB=CD。∴∠ABE=∠CDF。
在△ABE和△CDF中，AB=CD，∠ABE=∠CDF，BE=DF，
∴△ABE≌△CDF（SAS），∴AE=CF。
【考点】平行四边形的性质，平行线的性质，全等三角形的判定和性质。
【分析】由四边形ABCD是平行四边形，即可得AB∥CD，AB=CD，然后利用平行线的性质，求得∠ABE=∠CDF，又由BE=DF，即可由SAS证得△ABE≌△CDF，从而可得AE=CF。
6. （2012浙江温州8分）如图，△ABC中，∠B=90°，AB=6cm，BC=8cm，将△ABC沿射线BC方向平移10cm，得到△DEF，A，B，C的对应点分别是D,E,F，连结AD，求证：四边形ACFD是菱形。

【答案】证明：由平移变换的性质得，CF=AD=10，DF=AC。
∵∠B=90°，AB=6，BC=8，
∴。
∴AC=DF=AD=CF=10。∴四边形ACFD是菱形。
【考点】平移的性质，勾股定理，菱形的判定。
【分析】根据平移的性质可得CF=AD=10，DF=AC，再在Rt△ABC中利用勾股定理求出AC的长为10，就可以根据四条边都相等的四边形是菱形得到结论。
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