【全程复习方略】(广西专用)2013版高中数学-9.5空间的距离课时提能训练-理-新人教A版.doc

【全程复习方略】（广西专用）2013版高中数学 9.5空间的距离课时提能训练 理 新人教A版
(45分钟 100分)
一、选择题(每小题6分，共36分)
1.已知平面α⊥β，α∩β＝a，点P到a的距离是2，到α的距离是1，则下列结论不正确的是(　　)
(A)Pβ
(B)点P到β的距离是
(C)P与a确定的平面与β所成的锐二面角是30°
(D)P与a确定的平面与α所成的锐二面角是30°
2.(2012·桂林模拟)在正方形ABCD中，AB＝4，沿对角线AC将正方形ABCD折成一个直二面角B—AC—D，则点B到直线CD的距离为(　　)
(A)2　　　(B)3　　　(C)2　　　(D)2＋2
3.三棱锥S－ABC中，SA⊥底面ABC，SA＝4，AB＝3，D为AB的中点，∠ABC＝90°，则点D到面SBC的距离等于(　　)
(A)　　　(B)　　　(C)　　　(D)
4.在一个棱长为5 cm的正四面体内有一点P，它到三个面的距离分别是1 cm，2 cm，3 cm，则它到第四个面的距离为(　　)
(A)1 cm (B)2 cm (C)3 cm (D)4 cm
5.(2012·防城港模拟)如图，在正四棱锥P—ABCD中，设d1为直线BC到平面PAD的距离，d2是点B到直线PA的距离，d3是直线PB与AD间的距离，则它们的大小关系是(　　)

(A)d1＝d2＝d3 (B)d2>d1＝d3
(C)d2<d1＝d3 (D)d2>d3>d1
6.如图，四棱柱ABCD—A1B1C1D1的底面ABCD为正方形，侧棱与底面边长均为2a，且∠A1AD＝∠A1AB＝60°，则侧棱AA1和截面B1D1DB的距离是(　　)

(A)a (B)a (C)a (D)a
二、填空题(每小题6分，共18分)
7.在三棱锥P—ABC中，PA＝PB＝PC＝2，AB⊥BC，AB＝1，BC＝，则点P到平面ABC的距离为　　　　.
8.已知平面α与平面β交于直线l，P是空间一点，PA⊥α，垂足为A，PB⊥β，垂足为B，且PA＝1，PB＝2，若点A在β内的射影与点B在α内的射影重合，则点P到l的距离为　　　　.
9.(易错题)边长为1的等边三角形ABC，沿BC边上高线AD折起，使得折后二面角B－AD－C为60°，则点A到BC的距离为　　　　，点D到平面ABC的距离为　　　　.
三、解答题(每小题15分，共30分)
10.(2011·新课标全国卷改编)如图，四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠DAB＝60°，AB＝2AD，PD⊥底面ABCD.

(1)证明：PA⊥BD；
(2)设PD＝AD＝1，求D到平面PBC的距离.
11.(预测题)如图所示，△ABC与△DBC是有公共底边BC的两个等腰三角形，二面角A—BC—D为60°，BC＝16，AB＝AC＝17，∠BDC＝90°，求：
(1)A点到BC边的距离；
(2)A、D两点间的距离；
(3)A点到平面BCD的距离；
(4)AD与BC间的距离.
【探究创新】
(16分)如图，平面EAD⊥平面ABCD，△AED为正三角形，四边形ABCD为矩形，F是CD的中点，EB与平面ABCD成30°角.

(1)当AD长度为何值时，点A到平面EFB的距离为2？
(2)二面角A－BF－E的大小是否与AD的长度有关？请说明.

答案解析
1.【解析】选C.如图所示，α⊥β，交线为a，PA⊥α于A，PB⊥a于B，则PA＝1，PB＝2，得AB＝(即P到β的距离)，则∠PBA＝30°，且∠PBA是点P与a所确定的平面与平面α所成的锐二面角的平面角，故点P与a所确定的平面与β成的锐二面角为60°.
2.【解题指南】若正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，则AC⊥BD，垂足为O.注意折叠的过程中DO⊥AC，BO⊥AC，BD⊥AC，可借助线面垂直作出点B到直线CD的距离.
【解析】选C.设正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，
易证∠BOD＝90°，作OE⊥CD于E，E是CD的中点，
又BO⊥平面ACD，∴BE⊥CD，BE是点B到直线CD的距离.
在Rt△BOE中，求得BE＝2.
3.【解析】选C.如图，过A作AE⊥SB于E，过D作DF⊥SB于F，
∵SA⊥底面ABC，
∴SA⊥BC，
∵AB⊥BC，AB∩SA＝A，
∴BC⊥平面SAB，
∴BC⊥AE.
又∵AE⊥SB，SB∩BC＝B，
∴AE⊥平面SBC，
∵DF∥AE，
∴DF⊥平面SBC，
∴DF的长度即为D点到平面SBC的距离.
∵SA＝4，AB＝3，∴SB＝5，
∴AE＝，∴DF＝×＝.
4.【解析】选D.棱长为5 cm的正四面体的高为
h＝＝10，
将P点与各顶点连结起来，则将正四面体分成了四个三棱锥，其中底面是全等的三角形，高分别为1,2,3，h1，设S为正四面体一个面的面积，
则S×10＝S(1＋2＋3＋h1)
解得h1＝4.
5.【解析】选B.如图所示，设G，F分别是BC和AD边上的中点，则PG⊥BC，PF⊥AD，∴BC⊥平面PFG，作GQ⊥PF于Q，由于AD∥BC，∴AD∥平面PBC.

∴AD与平面PBC的距离即是AD与PB的距离.
由正四棱锥的性质，∴GQ即是直线BC与平面PAD的距离，又等于异面直线PB和AD间的距离，即d1＝d3.
又B点到平面PAD的距离即是直线BC到平面PAD的距离，由平面外一点到平面内任意一点的距离中最小的值即是该点到这一平面的距离.
∴B点到直线PA的距离大于B点到平面PAD的距离，即d2>d1.
∴正确选项为B.
6.【解析】选A.分别连结AC、A1C1交BD、B1D1于O、O1，连结OO1，A1O，A1B，A1D，则B1D1⊥A1O1.
∵BD∥B1D1，∴BD⊥A1O1.
又∵四棱柱的底面边长与侧棱均为2a，且∠A1AD＝∠A1AB＝60°，
∴A1A＝A1B＝A1D.
∴A1在底面ABD上的射影为△ABD的外心.
∵△ABD为等腰直角三角形，
∴O为A1在平面ABD上的射影，
即A1O⊥平面ABD，∴A1O⊥BD.
∴BD⊥平面A1OO1，∴平面B1D1DB⊥平面A1OO1.
过A1作A1E⊥OO1，则A1E⊥平面B1D1DB.
即A1E为所求的距离，易求得A1E＝a.
7.【解析】∵PA＝PB＝PC，
∴P在平面ABC上的射影O为△ABC的外心.
又∵∠ABC＝90°，∴O为AC的中点，
∴P到平面ABC的距离为PO＝.
答案：
8.【解析】设PA、PB确定的平面PAB与直线l交于点O，连结AO，BO，PO.
∵PA⊥α，PB⊥β，平面α与平面β交于直线l，
∴PA⊥l，PB⊥l.∴l⊥平面PAB.
∵PO⊂平面PAB，∴l⊥PO.
∴PO就是P到直线l的距离.
由题意，点A在β内的射影与点B在α内的射影重合即为O点.
∴PAOB为矩形，PO＝＝.
答案：
9.【解析】折后如图，∠BDC＝60°，设E为BC的中点，
连结AE、DE，则在Rt△ADE中，
AE即为点A到BC的距离，
AD＝，DE＝，
所以由勾股定理得
AE＝＝.
设D到平面ABC的距离为h，
由VA－BDC＝VD－ABC得
×()3×sin60°×＝×()2××h，
求得h＝，即点D到平面ABC的距离为.
答案：　
10.【解题指南】第(1)问，通过证明BD⊥平面PAD⇒PA⊥BD，证明BD⊥AD时，可利用勾股定理BD2＋AD2＝AB2，第(2)问，在Rt△PDB中，可证PB边上的高即为三棱锥D—PBC的高，其长度利用等面积法可求.
【解析】(1)因为∠DAB＝60°，AB＝2AD，
由余弦定理得BD＝AD
从而BD2＋AD2＝AB2，故BD⊥AD；
又PD⊥底面ABCD，可得BD⊥PD，
又AD∩PD＝D，
所以BD⊥平面PAD.故PA⊥BD.
(2)过D作DE⊥PB于E，由(1)知BC⊥BD，
又PD⊥底面ABCD，所以BC⊥平面PBD，而DE⊂平面PBD，故DE⊥BC，所以
DE⊥平面PBC.
由题设知PD＝AD＝1，则BD＝，PB＝2，
由DE·PB＝PD·BD得DE＝，
即点D到平面PBC的距离为.
【方法技巧】点到平面的距离的求解方法
求点到平面的距离是立体几何在高考中常考查的内容，而直线与平面的距离、两个平行平面的距离通常要转化为点面距离求解，所以掌握点面距离的求法是非常必要的，通常的方法有：
(1)直接法：由点到平面的距离的定义，求解的关键是充分利用图形的性质，确定垂足的位置，一般找出(或作出)过此点与已知平面垂直的平面，借助面面垂直的性质过该点作出平面的垂线，进而求解.
(2)间接法(转化法)
①等积变换：基本思路是直接难以找到已知点在平面上的射影，可利用三棱锥的底面与顶点的轮换性，将点到平面的距离转化为求三棱锥的高.
②平行转化法：基本思路是直接难以找到已知点在平面上的射影，但过此点可以找到已知平面的平行线，利用平行线上任意一点到平面的距离都相等这一性质，将所求点到平面的距离转化为另一特殊点到已知平面的距离.在解决这类问题时，一要步骤完整，二要运算准确.
【变式备选】如图，已知四边形ABCD是矩形，AB＝a，AD＝b，PA⊥平面ABCD，PA＝2c，Q是PA的中点.
求：(1)Q到BD的距离；
(2)P到平面BQD的距离.

【解析】(1)在矩形ABCD中，作AE⊥BD，E为垂足，连结QE.
∵QA⊥平面ABCD，由三垂线定理得QE⊥BD，
∴QE的长为Q到BD的距离.
在矩形ABCD中，AB＝a，AD＝b，则AE＝.
在Rt△QAE中，
QA＝PA＝c，
则QE＝，
∴Q到BD的距离为.
(2)方法一：∵平面BQD经过线段PA的中点Q，
∴P到平面BQD的距离等于A到平面BQD的距离.
在△AQE中，作AH⊥QE，H为垂足，
∵BD⊥AE，BD⊥QE，∴BD⊥平面AQE，
∴BD⊥AH，∴AH⊥平面BQD，
∴AH为点A到平面BQD的距离.
在Rt△AQE中，∵AQ＝c，AE＝，
∴AH＝，
∴P到平面BQD的距离为.
方法二：设点A到平面BQD的距离为h，
由VA－BQD＝VQ－ABD，
得S△BQD·h＝S△ABD·AQ，
则h＝＝.
11.【解析】如图所示，取BC的中点E，连结DE，AE.
∵CD＝BD，∴DE⊥BC.
又∵AB＝AC，∴AE⊥BC，
∴∠AED是二面角A—BC—D的平面角.
∴∠AED＝60°.
又∵∠BDC＝90°，BC＝16，∴DE＝EC＝EB＝8.
(1)AE＝
＝＝15，
∴A点到BC边的距离是15.
(2)在△AED中，由余弦定理得AD2＝AE2＋ED2－2·AE·ED·cos60°＝152＋82－2×15×8×＝169，即AD＝13.∴A、D两点间距离是13.
(3)∵BC⊥平面AED，
∴平面AED⊥平面BCD.
作AF⊥ED于F，∴AF⊥平面BCD.
∵·AE·EDsinAED＝·ED·AF，
∴AF＝AE·sinAED＝15×＝.
∴A点到平面BCD的距离是.
(4)过E作EG⊥AD于G，
∵BC⊥平面AED，∴BC⊥EG，
∴EG的长度是AD与BC的距离.
∵·AD·EG＝·ED·EA·sinAED
＝×8×15×sin60°，
∴EG＝.故AD与BC间的距离是.
【变式备选】如图，在长方体ABCD—A1B1C1D1中，AD＝AA1＝1，AB＝2，点E在棱AB上移动.

(1)证明：D1E⊥A1D；
(2)当E为AB的中点时，求点A到面ECD1的距离；
(3)AE等于何值时，二面角D1—EC—D的大小为.
【解析】(1)连结AD1.在长方体ABCD—A1B1C1D1中，AD＝AA1＝1，则四边形ADD1A1是正方形⇒A1D⊥AD1，
又AE⊥平面AD1，则AE⊥A1D.
所以A1D⊥平面AD1E，则D1E⊥A1D.
(2)连结AC、DE，则在三棱锥D1—AEC中有.
由题设易证DE⊥EC，又D1D⊥平面ABCD，
∴DE为D1E在平面ABCD上的射影.
由三垂线定理，得D1E⊥EC，设点A到平面D1EC的距离为h，
则S△AEC·D1D＝·h，
∴·AE·BC·D1D＝·D1E·EC·h，
∴h＝.
(3)过点D作DF⊥EC于F点，
连结D1F，则D1F⊥EC.
∴∠DFD1为二面角D1—EC—D的平面角.
设AE＝m(0≤m≤2)，则EB＝2－m，
∴EC＝，又∵DC·AD＝EC·DF，
∴DF＝，
由题意tan＝＝＝1，
∴m＝2－.
∴当AE＝2－时，二面角D1—EC—D的大小为.
【探究创新】
【解题指南】(1)利用等积法求出AD的长；
(2)找出二面角的平面角，并求出其大小，然后判断其是否与AD的长度有关.
【解析】(1)设AD＝a，过点E向AD引垂线交AD于点O，∵平面EAD⊥平面ABCD，△AED为正三角形，
∴EO⊥平面ABCD，
且EO＝a，连结OB，OF，

则∠EBO＝30°，OB＝a，EB＝a.
∴AB＝a，
VE－ABF＝××a×a×a＝a3，
∵FB＝EF＝a，EB＝a，
∴EF2＋BF2＝BE2，
∴BF⊥EF，∴S△BEF＝a2，
又∵VE－ABF＝VA－EFB，∴a＝，∴AD＝.
(2)OF＝a，OF2＋BF2＝OB2，
∴OF⊥BF，又BF⊥EF，
∴∠OFE为二面角A－BF－E的平面角，
∴tanOFE＝＝1，即∠OFE＝45°，故与AD的长度无关.
【变式备选】如图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，AC＝CB＝AA1＝4，∠ACB＝90°，E，F分别是AA1，AB的中点，点G在AC上，且CG＝CA.
(1)求证：EF⊥B1C；
(2)求二面角F—EG—C1的正切值；
(3)求点A1到平面EFG的距离.

【解析】(1)如图，连结A1B，BC1.

∵E、F分别是AA1，AB的中点，
∴EF∥A1B，且EF＝A1B.
在直三棱柱ABC—A1B1C1中，
由BC＝AA1＝CC1可知侧面BCC1B1是正方形，
∴B1C⊥BC1.
∵AC⊥BC，AC⊥CC1，
∴AC⊥平面BCC1B1.
∵A1C1∥AC，∴A1C1⊥平面BCC1B1.
∵A1B在平面BCC1B1上的射影是C1B.
由三垂线定理，可得A1B⊥B1C，∴EF⊥B1C.
(2)取AC的中点M，连结FM，
∵F为AB的中点，∴FM∥BC，
∵BC⊥AC，BC⊥CC1，AC∩CC1＝C，
∴BC⊥平面ACC1A1，
则FM⊥平面ACC1A1.
作MN⊥EG于点N，连结FN，
由三垂线定理可知FN⊥EG，
∴∠MNF为二面角F—EG—A的平面角.
易知Rt△EAG∽Rt△MNG，
∴MN＝＝.
在Rt△FMN中，求得tanMNF＝＝.
∵∠MNF与二面角F—EG—C1的平面角互补，
∴所求二面角F—EG—C1的正切值为－.
(3)在Rt△FMN中，作MH⊥FN于点H，
由(2)可知，EG⊥平面MNF.
∴MH⊥GE.∴MH⊥平面EFG.
MH的长是点M到平面EFG的距离.
在Rt△MNF中，MH＝＝，
又AG＝3MG，点E是AA1的中点，
∴点A1到平面EFG的距离为.
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