资源描述
2022-2023学年九上数学期末模拟试卷
注意事项
1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。
一、选择题（每题4分，共48分）
1．甲、乙、丙三人站成一排拍照，则甲站在中间的概率是（ ）
A． B． C． D．
2．某市为解决部分市民冬季集中取暖问题需铺设一条长3000米的管道，为尽量减少施工对交通造成的影响，实施施工时“…”，设实际每天铺设管道x米，则可得方程 =15，根据此情景，题中用“…”表示的缺失的条件应补为（ ）
A．每天比原计划多铺设10米，结果延期15天才完成
B．每天比原计划少铺设10米，结果延期15天才完成
C．每天比原计划多铺设10米，结果提前15天才完成
D．每天比原计划少铺设10米，结果提前15天才完成
3．如图，平行四边形的顶点在双曲线上，顶点在双曲线上，中点恰好落在轴上，已知，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
4．下列数是无理数的是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，将图形用放大镜放大，这种图形的变化属于（ ）
A．平移 B．相似 C．旋转 D．对称
6．一元二次方程的解是（ ）
A．x1＝2，x2＝-2 B．x＝-2 C．x＝2 D．x1＝2，x2＝0
7．方程变为的形式，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
8．小明随机地在如图正方形及其内部区域投针，则针扎到阴影区域的概率是（ ）
A． B． C． D．
9．下列函数中,是的反比例函数的是（ ）
A． B． C． D．
10．一枚质地均匀的骰子，其六个面上分别标有数字1,2,3,4,5,6，投掷一次，朝上一面的数字是偶数的概率为（ ）．
A． B． C． D．
11．如图，△ABC内接于⊙O，AB=BC，∠ABC=120°，AD为⊙O的直径，AD=6，那么AB的值为（ ）
A．3 B． C． D．2
12．已知反比例函数图象如图所示，下列说法正确的是（ ）
A．
B．随的增大而减小
C．若矩形面积为2，则
D．若图象上两个点的坐标分别是，，则
二、填空题（每题4分，共24分）
13．计算sin60°tan60°－cos45°cos60°的结果为______．
14．抛物线的顶点为，已知一次函数的图象经过点，则这个一次函数图象与两坐标轴所围成的三角形面积为__________．
15．已知＜cosA＜sin70°，则锐角A的取值范围是_________
16．正方形ABCD的边长为4，点P在DC边上，且DP＝1，点Q是AC上一动点，则DQ＋PQ的最小值为______．
17．用正五边形钢板制作一个边框总长为40cm的五角星（如图），则正五边形的边长为cm（保留根号）__________．
18．如果四条线段m，n，x，y成比例，若m＝2，n＝8，y＝20，则线段x的长为________.
三、解答题（共78分）
19．（8分）定义：如果一个三角形中有两个内角α，β满足α+2β＝90°，那我们称这个三角形为“近直角三角形”．
（1）若△ABC是“近直角三角形”，∠B＞90°，∠C＝50°，则∠A＝ 度；
（2）如图1，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝1．若BD是∠ABC的平分线，
①求证：△BDC是“近直角三角形”；
②在边AC上是否存在点E（异于点D），使得△BCE也是“近直角三角形”？若存在，请求出CE的长；若不存在，请说明理由．
（3）如图2，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，点D为AC边上一点，以BD为直径的圆交BC于点E，连结AE交BD于点F，若△BCD为“近直角三角形”，且AB＝5，AF＝3，求tan∠C的值．
20．（8分）某商店经营儿童益智玩具，已知成批购进时的单价是20元．调查发现：销售单价是30元时，月销售量是230件，而销售单价每上涨1元，月销售量就减少10件，但每件玩具售价不能高于40元．设每件玩具的销售单价上涨了x元时（x为正整数），月销售利润为y元．
（1）求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围．
（2）每件玩具的售价定为多少元时，月销售利润恰为2520元？
（3）每件玩具的售价定为多少元时可使月销售利润最大？最大的月利润是多少？
21．（8分）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的边CD在y轴上，点A在反比例函数的图象上，点B在反比例函数的图象上，AB交x轴与点E，．
（1）求k的值；
（2）若，点P为y轴上一动点，当的值最小时，求点P的坐标．
22．（10分）如图是一种简易台灯的结构图，灯座为△ABC，A、C、D在同一直线上，量得∠ACB=90°，∠A=60°，AB=16cm，∠ADE=135°，灯杆CD长为40cm，灯管DE长为15cm.求台灯的高(即台灯最高点E到底盘AB的距离).(结果取整，参考数据sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，tan15°≈0.27，≈1.73)
23．（10分）为了创建文明城市，增强学生的环保意识．随机抽取8名学生，对他们的垃圾分类投放情况进行调查，这8名学生分别标记为，其中“√”表示投放正确，“×”表示投放错误，统计情况如下表．
学生
垃圾类别
厨余垃圾
√
√
√
√
√
√
√
√
可回收垃圾
√
×
√
×
×
√
√
√
有害垃圾
×
√
×
√
√
×
×
√
其他垃圾
×
√
√
×
×
√
√
√
（1）求8名学生中至少有三类垃圾投放正确的概率；
（2）为进一步了解垃圾分类投放情况，现从8名学生里“有害垃圾”投放错误的学生中随机抽取两人接受采访，试用标记的字母列举所有可能抽取的结果．
24．（10分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，点E在CB的延长线上，BA平分∠EBD，AE＝AB．
（1）求证：AC＝AD．
（2）当，AD＝6时，求CD的长．
25．（12分）某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元.为扩大销售，增加盈利，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件.
（1）每件衬衫降价多少元时，商场平均每天的盈利是1050元？
（2）每件衬衫降价多少元时，商场平均每天盈利最大？最大盈利是多少？
26．计算：|1﹣|+．
参考答案
一、选择题（每题4分，共48分）
1、B
【解析】试题分析：画树状图为：
共有6种等可能的结果数，其中甲站在中间的结果数为2，所以甲站在中间的概率==．故选B．
考点：列表法与树状图法．
2、C
【解析】题中方程表示原计划每天铺设管道米，即实际每天比原计划多铺设米，结果提前天完成，选．
3、B
【分析】连接BO，过B点和C点分别作y轴的垂线段BE和CD，证明△BEP≌△CDP（AAS），则△BEP面积=△CDP面积；易知△BOE面积=×8=2，△COD面积=|k|．由此可得△BOC面积=△BPO面积+△CPD面积+△COD面积=3+|k|=12，解k即可，注意k＜1．
【详解】连接BO，过B点和C点分别作y轴的垂线段BE和CD，
∴∠BEP=∠CDP，
又∠BPE=∠CPD，BP=CP，
∴△BEP≌△CDP（AAS）．
∴△BEP面积=△CDP面积．
∵点B在双曲线上，
所以△BOE面积=×8=2．
∵点C在双曲线上，且从图象得出k＜1，
∴△COD面积=|k|．
∴△BOC面积=△BPO面积+△CPD面积+△COD面积=2+|k|．
∵四边形ABCO是平行四边形，
∴平行四边形ABCO面积=2×△BOC面积=2（2+|k|），
∴2（3+|k|）=12，
解得k=±3，
因为k＜1，所以k=-3．
故选：B．
【点睛】
本题主要考查了反比例函数k的几何意义、平行四边形的面积，解决这类问题，要熟知反比例函数图象上点到y轴的垂线段与此点与原点的连线组成的三角形面积是|k|．
4、C
【分析】根据无理数的定义进行判断即可．
【详解】A. ，有理数；
B. ，有理数；
C. ，无理数；
D. ，有理数；
故答案为：C．
【点睛】
本题考查了无理数的问题，掌握无理数的定义是解题的关键．
5、B
【分析】根据放大镜成像的特点，结合各变换的特点即可得出答案．
【详解】解：根据相似图形的定义知，用放大镜将图形放大，属于图形的形状相同，大小不相同，所以属于相似变换．
故选：B．
【点睛】
本题考查相似形的识别，联系图形根据相似图形的定义得出是解题的关键．
6、A
【分析】首先将原方程移项可得，据此进一步利用直接开平方法求解即可.
【详解】原方程移项可得：，
解得：，，
故选：A.
【点睛】
本题主要考查了直接开平方法解一元二次方程，熟练掌握相关方法是解题关键.
7、B
【分析】方程常数项移到右边，两边加上1变形即可得到结果．
【详解】方程移项得：x2﹣2x=3，
配方得：x2﹣2x+1=1，即（x﹣1）2=1．
故选B．
【点睛】
本题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握配方法的步骤是解答本题的关键．
8、D
【分析】根据几何概型的意义，求出圆的面积，再求出正方形的面积，算出其比值即可．
【详解】解：设正方形的边长为2a，则圆的半径为a，
则圆的面积为：，
正方形的面积为：，
∴针扎到阴影区域的概率是，
故选：D．
【点睛】
本题考查几何概型的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件（A）；然后计算阴影区域的面积和总面积的比，这个比即事件（A）发生的概率．
9、B
【分析】根据是的反比例函数的定义，逐一判断选项即可.
【详解】A、是正比例函数,故本选项不符合题意．
B、是的反比例函数,故本选项符合题意；
C、不是的反比例函数,故本选项不符合题意；
D、是正比例函数,故本选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】
本题主要考查反比例函数的定义，掌握反比例函数的形式(k≠0的常数)，是解题的关键.
10、B
【分析】朝上的数字为偶数的有3种可能，再根据概率公式即可计算.
【详解】依题意得P（朝上一面的数字是偶数）=
故选B.
【点睛】
此题主要考查概率的计算，解题的关键是熟知概率公式进行求解.
11、A
【详解】解：∵AB=BC，∴∠BAC=∠C．
∵∠ABC=120°，∴∠C=∠BAC=10°．
∵∠C和∠D是同圆中同弧所对的圆周角，∴∠D=∠C=10°．
∵AD为直径，∴∠ABD=90°．
∵AD=6，∴AB=AD=1．
故选A．
12、D
【分析】根据反比例函数的图象的位置确定其比例系数的符号，利用反比例函数的性质进行判断即可．
【详解】解：A.反比例函数的图象位于第二象限，∴k﹤0故A错误；
B. 在第二象限内随的增大而增大，故B错误；
C. 矩形面积为2，∵k﹤0,∴k=-2，故C错误；
D.∵图象上两个点的坐标分别是，，在第二象限内随的增大而增大，∴，故D正确，
故选D．
【点睛】
本题考查了反比例函数的性质，牢记反比例函数的比例系数的符号与其图象的关系是解决本题的关键．
二、填空题（每题4分，共24分）
13、1
【分析】直接利用特殊角的三角函数值分别代入求出答案．
【详解】解：原式
=1
【点睛】
此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．
14、1
【分析】易得顶点（2，-6），根据待定系数法，求出一次函数解析式，进而求出直线与坐标轴的交点，根据三角形的面积公式，即可求解.
【详解】∵抛物线，
∴顶点（2，-6），
∵一次函数的图象经过点，
∴，解得：k=，
∴一次函数解析式为：，
∴直线与坐标轴的交点坐标分别是：（0，3），（，0），
∴一次函数图象与两坐标轴所围成的三角形面积=.
故答案是：1.
【点睛】
本题主要考查二次函数和一次函数图象与平面几何的综合，掌握一次函数图象与坐标轴的交点坐标的求法，是解题的关键.
15、20°＜∠A＜30°．
【详解】∵＜cosA＜sin70°，sin70°=cos20°，
∴cos30°＜cosA＜cos20°，
∴20°＜∠A＜30°．
16、1
【分析】要求DQ+PQ的最小值，DQ，PQ不能直接求，可考虑通过作辅助线转化DQ，PQ的值，从而找出其最小值求解．
【详解】解：如图，连接BP，
∵点B和点D关于直线AC对称，
∴QB=QD，
则BP就是DQ+PQ的最小值，
∵正方形ABCD的边长是4，DP=1，
∴CP=3，
∴BP=
∴DQ+PQ的最小值是1．
【点睛】
本题考查轴对称-最短路线问题；正方形的性质．
17、
【分析】根据正五边形的概念可证得，利用对应边成比例列方程即可求得答案.
【详解】如图，
由边框总长为40cm的五角星，知：，
ABCDE为圆内接正五边形，
∴，
，
∴，
∴，
同理：，
∴，
∴，
设，则，
∵，，
∴，
，
即：，
化简得：，
配方得：，
解得：2(负值已舍) ，
故答案为：2
【点睛】
本题考查了圆内接正五边形的性质、相似三角形的判定和性质、一元二次方程的解法，判定是正确解答本题的关键.
18、1
【详解】解：根据题意可知m:n=x:y，即2:8=x：20，解得：x=1．
故答案为：1
三、解答题（共78分）
19、（1）20；（2）①见解析；②存在，CE＝；（3）tan∠C的值为或．
【分析】（1）∠B不可能是α或β，当∠A＝α时，∠C＝β＝50°，α+2β＝90°，不成立；故∠A＝β，∠C＝α，α+2β＝90°，则β＝20°；
（2）①如图1，设∠＝ABD∠DBC＝β，∠C＝α，则α+2β＝90°，故△BDC是“近直角三角形”；
②∠ABE＝∠C，则△ABC∽△AEB，即,即，解得：AE=，即可求解.
（3）①如图2所示，当∠ABD＝∠DBC＝β时，设BH＝x，则HE＝5﹣x，则AH2＝AE2﹣HE2＝AB2﹣HB2，即52﹣x2＝62﹣（5﹣x）2，解得：x＝，即可求解；
②如图3所示，当∠ABD＝∠C＝β时，AF∶EF＝AG∶GE＝2∶3，则DE＝2k，则AG＝3k＝R（圆的半径）＝BG，点H是BE的中点，则GH＝DE＝k，在△BGH中，BH＝＝2k，在△ABH中，AB＝5，BH＝2k，AH＝AG+HG＝1k，由勾股定理得：25＝8k2+16k2，解得：k＝，即可求解.
【详解】解：（1）∠B不可能是α或β，
当∠A＝α时，∠C＝β＝50°，α+2β＝90°，不成立；
故∠A＝β，∠C＝α，α+2β＝90°，则β＝20°，
故答案为20；
（2）①如图1，设∠＝ABD∠DBC＝β，∠C＝α，
则α+2β＝90°，故△BDC是“近直角三角形”；
②存在，理由：
在边AC上是否存在点E（异于点D），使得△BCE是“近直角三角形”，
AB＝3，AC＝1，则BC＝5，
则∠ABE＝∠C，则△ABC∽△AEB，
即，即，解得：AE＝，
则CE＝1﹣＝；
（3）①如图2所示，当∠ABD＝∠DBC＝β时，
则AE⊥BF，则AF＝FE＝3，则AE＝6，
AB＝BE＝5，
过点A作AH⊥BC于点H，
设BH＝x，则HE＝5﹣x，
则AH2＝AE2﹣HE2＝AB2﹣HB2，即52﹣x2＝62﹣（5﹣x）2，解得：x＝；
cos∠ABE＝＝＝cos2β，则tan2β＝，
则tanα＝；
②如图3所示，当∠ABD＝∠C＝β时，
过点A作AH⊥BE交BE于点H，交BD于点G，则点G是圆的圆心（BE的中垂线与直径的交点），
∵∠AEB＝∠DAE+∠C＝α+β＝∠ABC，故AE＝AB＝5，则EF＝AE﹣AF＝5﹣3＝2，
∵DE⊥BC，AH⊥BC，
∴ED∥AH，则AF∶EF＝AG∶GE＝2∶3，
则DE＝2k，则AG＝3k＝R（圆的半径）＝BG，点H是BE的中点，则GH＝DE＝k，
在△BGH中，BH＝＝2k，
在△ABH中，AB＝5，BH＝2k，AH＝AG+HG＝1k，
由勾股定理得：25＝8k2+16k2，解得：k＝；
在△ABD中，AB＝5，BD＝6k＝，
则cos∠ABD＝cosβ＝＝＝cosC，
则tanC＝；
综上，tan∠C的值为或．
【点睛】
本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，三角函数值等知识. 属于圆的综合题，解决本题需要我们熟练各部分的内容，对学生的综合能力要求较高，一定要注意将所学知识贯穿起来.
20、（1）y＝﹣10x2+130x+2300，0＜x≤10且x为正整数；（2）每件玩具的售价定为32元时，月销售利润恰为2520元；（3）每件玩具的售价定为36元或37元时，每个月可获得最大利润，最大的月利润是2720元.
【分析】（1）根据题意知一件玩具的利润为（30+x-20）元，月销售量为（230-10x），然后根据月销售利润=一件玩具的利润×月销售量即可求出函数关系式．
（2）把y=2520时代入y=-10x2+130x+2300中，求出x的值即可．
（3）把y=-10x2+130x+2300化成顶点式，求得当x=6.5时，y有最大值，再根据0＜x≤10且x为正整数，分别计算出当x=6和x=7时y的值即可．
【详解】（1）根据题意得：
y＝（30+x﹣20）（230﹣10x）＝﹣10x2+130x+2300，
自变量x的取值范围是：0＜x≤10且x为正整数；
（2）当y＝2520时，得﹣10x2+130x+2300＝2520，
解得x1＝2，x2＝11（不合题意，舍去）
当x＝2时，30+x＝32（元）
答：每件玩具的售价定为32元时，月销售利润恰为2520元．
（3）根据题意得：
y＝﹣10x2+130x+2300
＝﹣10（x﹣6.5）2+2722.5，
∵a＝﹣10＜0，
∴当x＝6.5时，y有最大值为2722.5，
∵0＜x≤10且x为正整数，
∴当x＝6时，30+x＝36，y＝2720（元），
当x＝7时，30+x＝37，y＝2720（元），
答：每件玩具的售价定为36元或37元时，每个月可获得最大利润，最大的月利润是2720元．
【点睛】
本题主要考查了二次函数的实际应用，解题的关键是分析题意，找到关键描述语，求出函数的解析式，用到的知识点是二次函数的性质和解一元二次方程．
21、（1）；（2）（0，）
【分析】（1）设B（a，b），由反比例函数图象上点的坐标特征用函数a的代数式表示出来b，进而可得ab＝6，再根据可得，再设A（m，n），可得，再根据即可求得k的值；
（2）先根据求得点A、B的坐标，再利用轴对称找到符合题意的点P，求出直线的函数关系式，进而可求出点P的坐标．
【详解】解：（1）设B（a，b），
∵B在反比例函数的图象上，
∴b＝，
∴ab＝6，
即，
∵．
∴，
∴
设A（m，n），
∵A在反比例函数的图象上，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
即；
（2）∵，
∴当a=2时，b＝＝3，
∴B（2，3），
当m=2时，
∴A（2，-2），
作点B关于y轴的对称点（-2，3），连接，交y轴于点P，连接PB，
则PB=，
∴，
∵两点之间，线段最短，
∴此时的即可取得最小值，
设为y=k1x+b1，
将（-2，3），A（2，-2）代入得
解得
∴
令x=0，则
∴点P的坐标为（0，）．
【点睛】
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、两点之间线段最短以及用待定系数法求一次函数关系式，熟练掌握反比例函数和一次函数的性质是解决本题的关键．
22、台灯的高约为45cm.
【分析】如图，作DG⊥AB，EF⊥AB，交AB延长线于G、F，DH⊥EF于H，可得四边形DGFH是矩形，可得DG=FH，根据∠A的余弦可求出AC的长，进而可得AD的长，根据∠A的正弦即可求出DG的长，由∠ADE=135°可得∠EDH=15°，根据∠DEH的正弦可得EH的长，根据EF=EH+FH求出EF的长即可得答案.
【详解】如图，作DG⊥AB，EF⊥AB，交AB延长线于G、F，DH⊥EF于H，
∴四边形DGFH是矩形，
∴DG=FH，
∵∠A=60°，AB=16，
∴AC=AB·cos60°=16×=8，
∴AD=AC+CD=8+40=48，
∴DG=AD·sin60°=24，
∵DH⊥EF，AF⊥EF，
∴DH//AF，
∴∠ADH=180°-∠A=120°，
∵∠ADE=135°，
∴∠EDH=∠ADE-∠ADH=15°，
∵DE=15，
∴EH=DE·sin15°≈3.9，
∴EF=EH+FH=EH+DG=24+3.9≈45，
答：台灯的高约为45cm.
【点睛】
本题主要考查解直角三角形的应用，正确应用锐角三角函数的关系是解题关键.
23、（1）8名学生中至少有三类垃圾投放正确的概率为；（2）列表见解析.
【解析】直接利用概率公式求解可得；
抽取两人接受采访，故利用列表法可得所有等可能结果．
【详解】解：（1）8名学生中至少有三类垃圾投放正确有5人，故至少有三类垃圾投放正确的概率为；
（2）列表如下：
【点睛】
此题考查的是用列表法或树状图法求概率列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
24、（1）证明见解析；（2）CD=1．
【分析】（1）利用BA平分∠EBD得到∠ABE＝∠ABD，再根据圆周角定理得到∠ABE＝∠ADC，∠ABD＝∠ACD，利用等量代换得到∠ACD＝∠ADC，从而得到结论；
（2）根据等腰三角形的性质得到∠E＝∠ABE，则可证明△ABE∽△ACD，然后根据相似比求出CD的长．
【详解】（1）证明：∵BA平分∠EBD，
∴∠ABE＝∠ABD，
∵∠ABE＝∠ADC，∠ABD＝∠ACD，
∴∠ACD＝∠ADC，
∴AC＝AD；
（2）解：∵AE＝AB，
∴∠E＝∠ABE，
∴∠E＝∠ABE＝∠ACD＝∠ADC，
∴△ABE∽△ACD，
∴＝＝，
∴CD＝AD＝×6＝1．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形，灵活运用相似三角形的性质表示线段之间的关系；也考查了圆周角定理．
25、（1）每件衬衫降价5元或25元时，商场平均每天的盈利是1050元.（2）每件衬衫降价15元时，商场平均每天的盈利最大，最大盈利是1250元.
【分析】（1）设每件衬衫应降价x元，则每天多销售2x件，根据盈利=每件的利润×数量建立方程求出其解即可；
（2）根据盈利=每件的利润×数量表示出y与x的关系式，由二次函数的性质及顶点坐标求出结论．
【详解】解：（1）设每件衬衫降价元
根据题意，得
整理，得
解得
答：每件衬衫降价5元或25元时，商场平均每天的盈利是1050元.
（2）设商场每天的盈利为元.
根据题意，得
∵
∴当时，有最大值，最大值为1250.
答:每件衬衫降价15元时，商场平均每天的盈利最大，最大盈利是1250元.
【点睛】
本题考查了列一元二次方程解实际问题的运用，一元二次方程的解法的运用，销售问题的数量关系的运用，二次函数的运用，解答时求出函数的解析式是关键．
26、1．
【分析】根据根式、绝对值、指数的运算，以及特殊角的三角函数值，即可求得.
【详解】|1﹣|+（﹣cos60°）2﹣﹣（2+3）0
＝﹣1+4﹣+3﹣1
＝1
【点睛】
本题考查根式、绝对值、指数的运算，以及特殊角的三角函数值，属基础题.
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