基于核心素养培育的余弦定理教学设计.pdf

基于核心素养培育的余弦定理教学设计何婷吴艳秋冯蛟（1.重庆三峡学院数学与统计学院，重庆万州4041202.重庆三峡学院教学质量监控与评估处，重庆万州404120）摘要：普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）的颁布与实施，充分以生为本，落实立德树人，推动了高中教育阶段数学课程教学的改革。新课标尤其强调学生数学学科核心素养的养成，为使学生具有数学基本特征的、适应个人终身发展和社会发展需要的关键能力与思维品质，教师在教学过程中渗透核心素养必不可缺。因此，好的教学设计是使教学由“填鸭式”和“满堂灌”到“启发诱导”式转变的基础之要。本文以余弦定理的教学设计为例，来探索高中数学课堂教学关注到学生核心素养的实施。关键词：核心素养；余弦定理；教学设计一、引言“余弦定理”在新版本中被安排到举足轻重的位置，是人教A版第六章 平面向量及其应用 的内容。本节知识内容是在全等三角形、三角函数、勾股定理等相关知识的基础上，与平面向量的结合，用向量的知识进一步探究三角形的边角关系。关于三角形知识的学习，小学初中主要是停留在定性探索阶段，即对边角关系的整体规律的认知，但在其具体的量的刻画上不是很多。因此，余弦定理的学习，有利于空间几何问题的解决，有利于为学生构建清晰系统的解三角形问题的知识结构，丰富学生对于三角形学习的认知，在解决三角形一类问题中至关重要。1新课标提出“高中数学教学以发展学生数学学科核心素养为导向，创设合适的教学情境，启发学生思考”。2为引导学生把握数学内容的本质，对教师在教学设计蓝图中提出了要求。因此，关于余弦定理的教学设计，要新颖有吸引力，要充分体现出教学过程的探究性，要突出在师生互动过程中帮助学生生成知识。二、余弦定理教学设计（一）教材分析本节内容选自 普通高中课程标准数学教科书-必修第二册（人教A版）第六章第四节第3课时，余弦定理。（二）学情分析高一学生注意力能较长时间集中且有一定稳定性，具备较强的逻辑思维能力。本课是在学习了三角函数和向量基本知识之上探索三角形的边角关系。学生由于应用数学知识的意识不够，看待和分析问题不深入，在余弦定理的推导方法的探求上有一定难度，教师需要抓住学生学习稳定性的特征，创造条件和机会，引导学生在经历余弦定理推导中帮助其形成严谨的逻辑思维能力。（三）教学目标1.知识与技能（1）掌握证明余弦定理的向量方法，牢记公式及变式；（2）能运用余弦定理灵活地求解两类基本的解三角形问题。作者简介：何婷（1992-），女，重庆万州人，在读研究生，主要从事数学与应用数学（师范类）研究。通讯作者简介：吴艳秋（1982-），女，重庆万州人，副教授，主要从事数学教育研究。三 峡 高 教 研 究Sanxia Higher Education Researches2023年6月Jun.2023第2期 总第68期No.2 Sum No.68基于核心素养培育的余弦定理教学设计2023年第2期2.过程与方法（1）学生经历从实际情境抽象出数学问题，解决问题的过程中，数学建模的学科核心素养得到培养；（2）学生经历从向量法推导余弦定理的过程中，数形结合能力、严谨的逻辑思维能力得到培养，数学抽象的学科核心素养得到培养；（3）经历余弦定理的发现与验证过程，理性思维能力得到增强.3.情感态度与价值观（1）学生在余弦定理的探究证明过程中，体会到数学的简洁性和独特性；（2）运用余弦定理解决实际问题，发现数学与生活的联系，提高学习数学的兴趣。（四）教学重点余弦定理的发现、证明过程及其基本应用。（五）教学难点余弦定理的推导和证明。（六）教学方法讲授学习法、发现学习法、自主探究法、小组讨论法。（七）教学手段计算机、PPT、flash动画。（八）教学流程设计情境引入提问题设计意图：数学来源于生活，又高于生活.此情境引入，符合现实性、思考性原则能提高学生的注意力，激起学生解决问题的探究欲望，激发学习动力数学模型我来建设计意图：将实际情境抽象成三角形，引导学生从数学的角度发现和提出问题，用数学语言表达问题、数学方法构建模型解决问题培养学生数学建模核心素养借助向量推公式设计意图：奥苏贝尔提出的有意义学习强调新旧知识间的联系，教师唤起学生已学的向量数量积，以问题为驱动，在师生互动中引导学生步步探究余弦定理的推导“余弦定理”来解析设计意图：数学公式和定理揭示了数学知识的基本规律，是学生数学认知水平发展的重要学习载体解析余弦定理的结构，有助于学生建立新旧知识的联系，探究数学规律，发展学生的抽象性和概括性345三 峡 高 教 研 究总第68期余弦定理可变形设计意图：变式的探索过程帮助学生了解公式定理的本质，明确知识间的相互联系，激发联想和再创造能力，树立整体思想和运动变化观点，多角度考虑问题4灵活运用勤练习设计意图：结合桑代克的练习律与斯金纳的强化原理，设计该练习巩固所学,遵循学生循序渐进的学习原则，有梯度的习题符合学习认知规律回顾学习促思考设计意图：教师引导学生反思余弦定理的学习过程，培养其元认知能力.在自我驱动和自主管理学习中，逐步塑造学生的成长性心态和良好的自主学习习惯5设计意图：通过分享，激励学生课后自主学习，探究数学与生活的联系，培养其用数学的眼光看世界的意识也在案例中进一步学以致用，巩固余弦定理，为学习正弦定理埋伏笔定理巩固埋伏笔设计意图：鼓励学生多途径多方法论证余弦定理，有利于培养其开放式思维通过由浅入深的练习和灵活的变式练习，达到强化本节课所学知识的目的课后作业勤思考学以致用解问题设计意图：数学建模使学生在解决实际问题的过程中更好地掌握相应地数学知识技能，启发其思考数学与生活的紧密联系，充分发挥学生学习的主体性，以用促学46基于核心素养培育的余弦定理教学设计2023年第2期（九）教学过程设计1.情境引入提问题2分钟2.数学模型我来建2分钟3.借助向量推公式10分钟中国高铁跑出了中国速度，向世界递出了中国名片。但是，高铁的修建可不容易，常常需要遇山开山。某工程小队进行隧道工程设计，要测算山脚的长度，也就是AB的距离。他们在地面适当位置C，分别测量出AC、BC的距离为3km、5km，再用经纬仪测出C点对于AB的张角，角ACB为70度。你知道他们是怎么计算的吗？BCA70CBA将实际问题进行数学建模，先建立数学模型。于是，从实际情景中抽象出三角形ABC，已知AC，BC分别为3，5，角ACB为70，如何计算AB呢？我们已知三角形两边及其夹角，如何求第三边？以上是抽象出的数学模型，现在，要用a、b边和角C表示出边c同学们请思考：联系所学，哪些知识是涉及到长度和角度的呢？教师引导学生联想到向量的数量积，a b=|a|bcosC要借助向量探究，如何在三角形中合理地设置向量呢？教师引导学生设置好向量，运用向量的数量积，表示边c，最终，c2=a2+b2 2ab cos C三角形中，边和角可以进行轮换，经过轮换后，得到以下两个式子：a2=b2+c2-2bccosAb2=a2+c2-2accosB以上3个式子组成了一组公式，这组公式叫做余弦定理，思考下，它向我们展示了三角形中的什么关系？教师引出实际生活情境，激发学生思考教 师 PPT演示如何将情境问题转化为数学问题教师循序渐进地引导学生用向量的数量积推导出余弦定理，并通过轮换得到完整的余弦定理公式学生听教师讲解情境，并思考如何求解学生观察抽象出的数学问题并思考如何计算学生合理地设置向量，跟随讲解推导出余弦定理并回答问题；说出边角轮换后的式子由高铁的修建引出隧道工程设计，既让学生产生中国高铁我自豪的民族感，又抛出实际问题，让其体会数学来源于生活，和现实世界紧密联系。激发学生解决问题的求知欲。让学生明白建立数学模型是搭起现实情境和数学情境的桥梁。化繁为简，将具体的生活问题数学抽象成待解决的问题，有利于集中精力，用数学的眼光探索。教师以问题为驱动，在探究学习中，使已有知识成为学生学习新内容的支架，将知识进行同化，加强新旧知识间联系，有助于学生对知识的理解，符合其认知规律。教学环节教学内容教师活动学生活动设计意图47三 峡 高 教 研 究总第68期4.余弦定理来解析3分钟5.学以致用解问题2分钟6.余弦定理可变形3分钟7灵活运用勤练习10分钟余弦定理结构形式的研究：余弦定理表示了三角形中边角关系，当两边夹角为90时，你能发现公式有什么奇妙之处？当两边夹角不是90时，整体而言，公式右边是什么呢？局部而言，边c和角C是一一对应的，体现了数学的和谐、对称美余弦定理的文字含义：三角形中任何一边的平方，等于其它两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍，即a2=b2+c2-2bccosAb2=a2+c2-2accosBc2=a2+b2-2abcosC学习了余弦定理，回到最初的求山脚长度的问题，你能否计算出来呢？AC=3，BC=5，角ACB为70度，求AB长？余弦定理帮助我们已知两边和夹角求第三边，除此之外，应用余弦定理，我们还可解决已知三角形的三边确定三角形的角的问题，怎么确定呢？你能尝试将余弦定理公式进行变形来确定吗？cosA=b2+c2-a22bccosB=a2+c2-b22accosC=a2+b2-c22ab余弦定理及其推论的基本作用：已知三角形任意两边及其夹角，可求出第三边；已知三角形的三条边，可求出其它角。因此，已知三角形的某些边和角，求其它边和角的过程叫作解三角形。练习：求解以下问题：1.在ABC中，已知a9，b2，C150，求c2.在ABC 中，AC=7，BC=2，B60,则 BC 边上的高等于？3.在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a7，b5，c3，求ABC的内角中最大的角4.在ABC中，已知a b c2 (1)，则A_.教师通过由整体到局部的讲解，帮助学生清晰把握余弦定理结构形式教师鼓励学生学以致用，解决实际问题教师提问让学生分组书写完成三边确定三角的变式公式教师归纳梳理余弦定理两大作用，趁热打铁监督学生课堂练习并讲解学生观察定理结构，发现余弦定理与勾股定理微妙的关系。强化记忆余弦定理学生动笔计算山脚长度学生思考并动笔写出如何用三边表示出对应的角学生思考领悟并完成当堂练习分析余弦定理的结构形式，加强学生新旧知识联系的有意义学习。增强学生关于定理的记忆，让其感受数学的和谐、对称美。呼应情景引入中发现和提出的问题，通过数学建模，借助余弦定理，最终解决问题，让学生认识到余弦定理的实际作用。让学生在自主思考的学习中，通过变式操作，加深对余弦定理及其逆用的理解与记忆。1.归纳总结，帮助学生理清知识点，使其有目的地分类，根据实际情况解决相应问题。2.结合桑代克的练习律与斯金纳的强化原理，设计该练习巩固所学。教学环节教学内容教师活动学生活动设计意图48基于核心素养培育的余弦定理教学设计2023年第2期8回顾学习促思考3分钟9定理巩固埋伏笔3分钟10.课后作业勤思考2分钟首先，在隧道工程设计的实际情境中，通过建立数学模型，发现并提出了数学问题其次，在抽象出的数学模型中，如何探究三角形边和角的关系，得出余弦定理呢？借助余弦定理，求出了山脚的长度，因此，余弦定理能帮助求解什么样的问题？最后，通过将余弦定理变形，又能够解决什么样的问题呢？综上，运用余弦定理能解决两类基本的解三角形问题。数学来源于生活也运用于生活，余弦定理在实际生活中大有用处，请同学们课后查阅学习并在下节课分享它的用处在这里，老师也收集了相关实际案例如下：余弦定理能帮助我们求解出BC长度以及角CBD，但要解决最终的问题，就要借助即将学习的正弦定理现在，请同学们先计算出BC和角CBD例：在海岸A处，发现北偏东45方向，距A为-1海里的B处有一艘走私船，在A处北偏西75方向，距A为2海里的C处的缉私船奉命以10海里/小时的速度追截走私船此时走私船正以10海里/小时的速度从B处以北偏东30方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船，并求出所需时间？A453075DCB1.本节课我们运用“向量法”证明了余弦定理，聪明的同学，你还能用其它方法得出余弦定理吗？请课后思考想一想2.课后作业：(1).在ABC中，a7，b4，c，则ABC的最小角为（）(2).在ABC中，已知a5，b3，角C的余弦值是方程5x27x60的根，求第三边c的长教师通过连续提问、追问的方式引导学生回顾学习过程教师布置课后开放式探索任务，让学生快速在案例中算出相应量教师布置家庭作业学生思考提问并回答学生快速笔算学生思考并记录引导学生在回顾学习余弦定理的过程中获得对自身学习的元认知，提高数学元认知能力。6帮助学生再次快速经历数学建模的过程，培养四能。通过分享，激励学生课后自主探究数学与生活的联系，培养学生用数学的眼光看世界的能力。同时，在案例中进一步学以致用，巩固余弦定理，为学习正弦定理埋下伏笔。鼓励学生多途径多方法论证余弦定理，培养其开放式思维。通过由浅入深的练习和灵活的变式练习，达到强化本节课所学知识的目的。教学环节教学内容教师活动学生活动设计意图49三 峡 高 教 研 究总第68期板书设计6.4.3余弦定理一、情境引入三、问题解决五、综合练习山脚AB有多长？AB=26km二、余弦定理四、定理变形六、小结作业教学环节教学内容教师活动学生活动设计意图三、总结余弦定理在解三角形问题中起着承上启下的作用，本教学设计为帮助学生更熟练地掌握余弦定理，设计了师生充分互动环节，引导学生经历了三角形边角的探究思考过程，调动学生从未知到已知，帮助学生在逐步生成知识的过程中发现数学学习的规律，提高问题解决的能力，把握数学的本质，潜移默化地培养学生的数学学科核心素养。总体而言，本次教学设计有进行以下创新之处：1.教学贯穿数学建模核心素养从情境引入到解决问题，比较完整地呈现了数学建模的过程。有利于学生今后在解决问题时，有意识地发挥数学建模素养指导自己将实际问题数学化，获得学习的方法论，将数学与应用结合。72.教法注重以问题为导向余弦定理推导过程中，自然过渡提出问题，促进学生集中精力思考，以问促学。课堂总结回顾中连续抛出问题，以问促思，以问促自省。课堂最后又列举了生活实例，以问激发学生课后思考，调动其解决问题的求知欲，锻炼思维的灵活性。3.总结注重拓展学生思维鼓励学生自主思考余弦定理的其它证明方法，有利于培养其发散性思维，同时，让学生自主寻找生活中的余弦定理，能够促进其“用数学的眼光看世界”的观察能力和发现能力。参考文献：1李萍,王圣光,陈文.核心素养视域下的“余弦定理”教学思考J.中学数学研究2022，(2):10-13.2中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准(2017年版)M.北京:人民教育出版社，2017.3李正东.关于“余弦定理”教学中的一些思考J.科技视界,2013，(30):258.4张跃红.“余弦定理”一课的教学设计J.数学通报,2007,(8):39-40.5陈秦,李中平.基于CPFS结构理论的余弦定理教学设计J.试题与研究.2022，(16)143-145.6赵文博.基于探究模式下的“余弦定理”教学设计J.中小学数学,2017，(8):84-86.7何雅晴,赵育林,李迎春.理论视角下的高中数学定理教学设计以余弦定理为例J.中学数学2021，(21):17-19.50