共享气象报文的信息传输模型.pdf

第1 2卷 第2期2023年6月数学建模及其应用M a t h e m a t i c a l M o d e l i n g a n d I t s A p p l i c a t i o n sV o l.1 2 N o.2J u n.2 0 2 3教学与竞赛共享气象报文的信息传输模型张庭辉1,王婉莹2,何润婷1(1.南京工业职业技术大学 机械工程学院,江苏 南京 2 1 0 0 0 0;2.南京工业职业技术大学 经济管理学院,江苏 南京 2 1 0 0 0 0)摘 要:针对气象报文的信息共享问题,结合主、副站所携带卫星通信设备的信息收、发成功概率,首先,研究给定气象分队数量时主站间实现信息完全共享所需最少信息收发轮次的问题,建立了主站间信息传输的数学模型;其次,研究了给定时间/轮次内主、副站之间信息的传输方式,建立了在可以保证主站能够成功接收任一分队的副站至少1条气象报文的概率不低于0.9的情形下,所需的最大气象分队数量的信息传输模型;最后,研究了实现各主站能够成功接收任一分队的副站至少1条气象报文的概率不低于0.9 7的最大气象分队数量问题.关键词:气象报文;信息共享;图论模型中图分类号:O 2 9 文献标志码:A 文章编号:2 0 9 5-3 0 7 0(2 0 2 3)0 2-0 0 8 1-0 9 D O I:1 0.1 9 9 4 3/j.2 0 9 5-3 0 7 0.j mm i a.2 0 2 3.0 2.0 8收稿日期:2 0 2 3-0 1-1 9通讯作者:张庭辉,E-m a i l:2 4 2 1 0 8 7 8 6 7q q.c o m引用格式:张庭辉,王婉莹,何润婷.共享气象报文的信息传输模型J.数学建模及其应用,2 0 2 3,1 2(2):8 1-8 9.Z HAN G T H,WAN G W Y,HE R T.I n f o r m a t i o n t r a n s m i s s i o n m o d e l f o r s h a r e d m e t e o r o l o g i c a l m e s s a g e s(i n C h i n e s e)J.M a t h e m a t i c a l M o d e l i n g a n d I t s A p p l i c a t i o n s,2 0 2 3,1 2(2):8 1-8 9.0 引言气象数据与人民生活息息相关,尤其在极端恶劣的环境中尤其明显,气象数据的及时更新,在某些紧急救援任务中起到关键性作用.在地面通信系统瘫痪的情形下,气象数据的收发以及传输就显得十分重要.为了更好地获得准确完整的地面气象观测信息,通常对任务区域的重要目标点采用派遣气象分队的方式来获取实时气象数据.1 模型建立与求解1.1 模型假设和符号说明1)假设每个主站知道其他主站收到的报文内容,且副站知道其他主站已接收的报文内容;2)假设在每分钟的开始时刻收、发信息,K分钟内可实现K轮信息的收、发;3)因每条报文包含1 0 0个字符,且每条报文可分割为上下两个半段各5 0个字符,每条信息最多可发送1 5 8个字符,故假设消息发送时依需要发送5 0、1 0 0或1 5 0个字符.本文符号及说明如表1所示.1.2 主站间信息共享最小的K与N的关系、信息传输模型与方案1.2.1 最小的K与N的关系及信息传输模型1)气象分队总数N=5时的一种最优信息共享方案图1为N=5时主站信息传输过程.由图1所给的方案可知气象分队总数N=5时最小的信息传输轮次为K=3.2)N5时主站间完成信息共享所需信息传输最少轮次/时间K与N的关系18教学与竞赛共享气象报文的信息传输模型2 0 2 3年6月表1 符号及说明表符号含义K气象报文按要求完成共享所需时间/轮数k信息传输的轮次,k=1,2,KN气象分队总数(N5)n主站点(信息)编号,n=1,2,Nn(1),n(2)分别为主站点信息上、下半段的编号,n=1,2,Nna,nb副站点编号,n=1,2,Nna(1),nb(1),na(2),nb(2)分别为对应副站点信息上、下半段的编号,n=1,2,NM0主站初始信息状态矩阵Mk经过k轮信息发、收后主站信息状态Tk第k轮信息传输矩阵M目标信息矩阵图1 N=5时主站信息传输过程图引理1 对于任意的N5,主站间完成信息共享所需轮次/时间K的下限为K下=1+2(N-2)/3.(1)证明:为实现信息共享,各站点除开始拥有自身站点的气象报文1 0 0字符外,还需接收其他N-1个站点的气象报文,共1 0 0(N-1)字符,所以平均每个站点发、收送信息的字符数为1 0 0(N-1),从而至少有1个站点需发送的字符数不小于1 0 0(N-1).对于发送字符数不小于1 0 0(N-1)的站点,在每一次发的时候,尽可能充分使用发送能力,将自己站点拥有的信息而其他站点未拥有的信息传输给对应的站点.第k=1轮向外发送1 0 0字符信息后还剩1 0 0(N-2)字符,剩下分情况讨论.i)若1 0 0(N-2)可以被1 5 0整除,即N=5,8,1 1,则经K=1+1 0 0(N-2)/1 5 0轮完成信息发送;i i)若1 0 0(N-2)不 可 以 被1 5 0整 除,即N=6,7,9,1 0,则 从 第k=2轮 到 第1+1 0 0(N-2)/1 5 0轮发送1 5 0字符,最后第2+1 0 0(N-2)/1 5 0轮再发送5 0(N=7,1 0,)或1 0 0(N=6,9,)字符完成信息的发送.综上,发送字符数不小于1 0 0(N-1)的主站点至少要1+2(N-2)/3轮完成信息的发送,从而主站间完成信息共享所需轮次/时间K的下限为K下=(2N-1)/3.通过引理1获得最少时间/轮次的下限,这个下界是否就是最少的时间/轮次与N的关系?如果存在经过K下=1+2(N-2)/3轮完成主站间报文共享的信息传输方案,即可得到结论.结论是肯定的.定理1 K分钟内完成N(5)支分队主站间信息共享的K最小值与N的关系为K=1+2(N-2)/3.(2)在证明定理1之前,先研究信息共享的一般传输模型.为实现最少时间/轮次内完成主站间报文共28第1 2卷 第2期数学建模及其应用V o l.1 2 N o.2 J u n.2 0 2 3享,根据站点的形式对称性,若每个站点任务均衡,都恰好收、发1 0 0(N-1)字符,则没有站点提前或滞后完成信息收、发任务.从N=5时的最优方案得到启发,下面先给出信息共享的一般传输模型(包含各轮各主站给谁发信息、信息状态描述、信息传输方程等).给谁发?记第k轮主站点n给主站点t(k,n)发信息,t(k,n)=n+k,n+kN,n+k-N,n+kN,(3)其中:n=1,2,N;k=1,2,K=1+2(N-2)/3,即第1轮:第1站点发给第2站点,第2站点发给第3站点,第N站点发给第1站点;第2轮:第1站点发给第3站点,第2站点发给第4站点,第N站点发给第2站点;,依次类推.信息状态 主站点在拥有相应信息的时候才可以发送给其他站点,为此引入元素值为0或1的列向量描述站点拥有气象报文的状态.由于报文传输中可能分成上下半段,所以站点的信息状态向量为2N维.不妨记主站点n在第k轮信息传输后的信息状态向量为mkn.根据站点顺序及信息上下半段顺序,站点信息(n(1),n(2)分别表示站点本身气象报文信息的上、下半段)与向量分量标号依次对应,如表2所示.表2 站点信息与向量分量标号对应顺序对应关系站点1站点2站点3站点N-1站点N标号1:1(1)3:2(1)5:3(1)2N-3:N-1(1)2N-1:N(1)2:1(2)4:2(2)6:3(2)2N-2:N-1(2)2N:N(2)mkn的第i个分量mkn i=1表示信息第k轮后站点n有了标号为i的信息,即有了站点i/2的信息,特别地,若i是奇数,对应的是有站点i/2的上半段信息,若i是偶数,对应的是有站点i/2的下半段信息.将各站点的信息状态向量逐列摆成矩阵,得一2NN的矩阵即为所有N个站点的信息状态矩阵.记Mk为第k轮信息传输后的信息状态矩阵,Mk=(mk1,mk2,mkN).(4)初始(k=0)信息状态矩阵为:M0=1000010000010000001000001000012NN.(5)发什么?在中解决了各轮各主站点给谁发的问题基础上,这一步解决发哪些信息的问题.在第k=1轮,以第N站点为例,其最初仅有自身站点的报文信息,因此给站点1发送的信息只能是N(1),N(2),其他站点类似.按收信息的站点逆序收信息的要求发送信息.以站点1为例,第1轮:站点N发信息N给站点1,站点1收到站点N的信息N;第2轮:站点N-1把信息N-1和N-2的下半段N-2(2)发给站点1;第3轮:站点N-2把信息N-2的上半段N-2(1)和N-3发给站点1;第4轮:站点N-3把信息N-4和N-5的下半段N-5(2)发给站点1;按站点顺序及接收的信息标号建立第k轮的2NN信息传输矩阵Tk,第i行第n列元素Tki n取38教学与竞赛共享气象报文的信息传输模型2 0 2 3年6月值为1或0,Tki n=1表示第k轮站点n收到标号为i的信息.在k=2轮时信息发送前,主站点n(n=1,2,N)有了4个半段的信息,并且主站点t(k,n)(见式(3)并不具有该4个半段的信息,因此此轮n可以发送3个半段共1 5 0字符给站点t(k,n).依次类推,第k(2k2(N-2)/3轮信息传输矩阵Tk中:第n(n=1,2,N)列标号为2N-3k+2n、2N-3k+2n+1、2N-3k+2n+2的3个位置元素为1,其余为0(注:若算出的标号i大于2N,实际取标号i-2N,下文相同).在第k=1+2(N-2)/3轮时根据剩下未实现共享的信息传输信息矩阵分情况为:i)若N=5,8,1 1,即N=3z+2,zZ+,经过前面 2(N-2)/3=2z轮的传输,各个站点都还缺2(3z+2)-2-2-3(2z-1)=3个半段的信息,此轮的信息传输矩阵第n(n=1,2,N)列标号为2N-3k+2n、2N-3k+2n+1、2N-3k+2n+2的3个位置元素为1,其余为0.i i)若N=6,9,1 2,即N=3z+3,zZ+,经过前面 2(N-2)/3=2z+1轮的传输,各个站点都还缺2(3z+3)-2-2-32z=2个半段的信息,此轮的信息传输矩阵第n(n=1,2,N)列标号为2N-3k+2n+1、2N-3k+2n+2的2个位置元素为1,其余为0.i i i)若N=7,1 0,1 3,即N=3z+4,zZ+,经过前面 2(N-2)/3=2z+2轮的传输,各个站点都还缺2(3z+4)-2-2-3(2z+1)=1个半段的信息,此轮的信息传输矩阵第n(n=1,2,N)列标号为2N-3k+2n+2的1个位置元素为1,其余为0.综上,基于的描述,信息共享的一般传输模型(M o d e l 1)为Mk=Mk-1+Tk.(6)当k=1+2(N-2)/3=K时,MK=12NN完成主站点间报文信息共享.由信息共享的一般传输模型可知定理1成立,即完成N(5)支分队主站间信息共享的时间/轮次K可达到K的下限,即K的最小值与N的关系为K=1+2(N-2)/3.1.2.2 N=9时,K的相应最小值,及信息共享方案由式(2)可知,N=9时,K=6.给出此时主站的信息共享方案(表3).表3 主站气象报文的传输方案(N=9,K=6)传输轮数序号发送站点序号接收站点序号发送信息所属站点序号(含信息完整性)此轮后接收站点已有信息所属站点序号(含信息完整性)11211,212322,319199,12131,9(2)2,3,1,9(2)69675,6,4,3(2),3(1),2,1,9(2),8,9(1),7 注:本文中传输方案表格均按照各站点接收报文顺序填写报文内容编码.1.3 主站间信息共享、副站信息补充的气象报文传输模型1.3.1 副站气象报文的可行传输方案在考虑气象报文传输模型前,先研究主站t获取分队n的副站na,nb的气象报文的可行传输方案.引理2 副站的报文信息不通过其他副站转发给主站.证明(反证法):设分队n的副站na,nb的气象报文至少有一条通过其他副站转发给主站t,不妨设副站na将自身的气象报文na一次性发送给主站t,由其他副站转发的气象报文是nb.比如副站nb将自身的气象报文nb一次性发送给某副站n b,再由该副站将报文信息nb转发给主站t(同时发送半条气象报文n b),或者转发给其他副站或主站.在气象报文nb由副站n b转发给主站t的过程中,nb成功传到主站t的概率为p4=0.80.80.8=0.5 1 2,又na报文信息na成功传到主站t的概率为0.8,所以主站t获得第一个分队两个副站至少1条气象报文信息的概率p5=1-(1-0.8)(1-0.5 1 2)=0.9 0 2 40.9.但是报文信息n b还有另48第1 2卷 第2期数学建模及其应用V o l.1 2 N o.2 J u n.2 0 2 3一半段需通过另一次信息传输发送给主站点t,此种情形下主站t收到报文信息n b的最大概率为p2=0.6 40.6 4=0.4 0 9 6,即将自身报文信息直接一次性发给主站t,主站t获得分队n 两个副站至少1条气象报文信息的概率为p3=1-(1-0.8)(1-0.4 0 9 6)=0.8 8 1 9 20.9.由此可见,副站的报文信息由其他副站整条转发将导致其他副站的信息在2轮内被对应的主站接收的概率降低至0.9以下.而若非整条转发,即副站n b将nb分成上下两个半段2轮发送主站点t,同理此时主站t获得分队n两个副站至少一条气象报文信息的概率不超过0.8 8 1 9 20.9,即方案1可行.2)在方案2下,在nb由其他已拥有该副站报文信息的主站转发给主站t前,nb的报文信息已发给其他主站,其发送成功的概率也是0.8,所以主站t获取分队n的副站na,nb至少1条气象报文的概率为p2=1-(1-0.8)2=0.9 60.9,即方案2可行.在定理2的基础上,以K=5为例,可实现达到报文信息共享要求的气象分队最大数量N=6.显见,K=5时,无法实现达到共享要求的7个分队的信息共享.定理3 K(5)分钟内/轮可实现达到要求“除主站间完成信息共享外,每个主站获取分队的副站至少1条气象报文概率不低于0.9”的最大气象分队数量为N=(5K+1)/4,K5.(7)在证明定理3之前,先在定理2的基础上给出K(5)分钟内/轮满足要求的实现N个分队气象报文信息传输的一般模型/流程(M o d e l 2).记k0=1+2(N-2)/3,在第k(k=1,2,k0)轮时,N个主站的气象报文信息按问题1的信息传输模型进行发送;分队n的两个副站点同步向主站n+k-1(当n+k-1N时,取站点n+k-1-N,下文相同)发送自身的气象报文信息na/nb.特别地,若N=3z+3,zZ+,在第k0轮各主站除了转发其他主站的一段1 0 0字符的信息外,还可以转发半段5 0字符的副站的信息;若N=3z+4,zZ+,在第k0轮各主站除了转发其他主站的半段5 0字符的信息外,还可以转发一段1 0 0字符的副站的信息.经过k0轮后,各主站以0.9 6的概率获得已进行点对点发、收的各分队副站的信息,各主站接收到的信息状态如表4-表6所示.表4 第k0轮后第1个主站接收到的信息状态(zZ+)N的情形第1个主站以0.9 6的概率收到的各分队副站的信息N=3z+2(N-k0+2)a/(N-k0+2)b,Na/Nb,1 a/1 bN=3z+3(N-k0+2)a/(N-k0+2)b,Na/Nb,1 a/1 b,2 a(1)/2 b(1)N=3z+4(N-k0+2)a/(N-k0+2)b,Na/Nb,1 a/1 b,2 a/2 b表5 第k0轮后第2个主站接收到的信息状态(zZ+)N的情形第2个主站以0.9 6的概率收到的各分队副站的信息N=3z+2(N-k0+3)a/(N-k0+3)b,Na/Nb,1 a/1 b,2 a/2 bN=3z+3(N-k0+3)a/(N-k0+3)b,Na/Nb,1 a/1 b,2 a/2 b,3 a(1)/3 b(1)N=3z+4(N-k0+3)a/(N-k0+3)b,Na/Nb,1 a/1 b,2 a/2 b,3 a/3 b58教学与竞赛共享气象报文的信息传输模型2 0 2 3年6月表6 第k0轮后第N个主站接收到的信息状态(zZ+)N的情形第N个主站以0.9 6的概率收到的各分队副站的信息N=3z+2(N-k0+1)a/(N-k0+1)b,(N-1)a/(N-1)b,Na/NbN=3z+3(N-k0+1)a/(N-k0+1)b,(N-1)a/(N-1)b,Na/Nb,1 a(1)/1 b(1)N=3z+4(N-k0+1)a/(N-k0+1)b,(N-1)a/(N-1)b,Na/Nb,1 a/1 b在第k(k=k0+1,k0+2,)轮时,分队n的两个副站点同步向主站n+k-1(同前,当n+k-1N时,取站点n+k-1-N)发送自身的气象报文信息na/nb;与此同时,主站点n向主站点n+k-1依次转发站点n+k-1缺少的编号靠前的副站信息.如在第k0后,对于N=3z+2情形,站点1已经以0.9 6的概率有了1 a/1 b,在第k0+1轮时,站点N+1-k0给站点1转发信息2 a/2 b、3 a(1)/3 b(1),依此类推.第k0+1轮后,各主站接收到的信息状态如表7-表9所示.表7 第k0+1轮后第1个主站接收到的信息状态(zZ+)N的情形第1个主站以0.9 6的概率收到的各分队副站的信息N=3z+2(N-k0+1)a/(N-k0+1)b,Na/Nb,1 a/1 b,2 a/2 b,3 a(1)/3 b(1)N=3z+3(N-k0+1)a/(N-k0+1)b,Na/Nb,1 a/1 b,2 a(1)/2 b(1),2 a(2)/2 b(2),3 a/3 bN=3z+4(N-k0+1)a/(N-k0+1)b,Na/Nb,1 a/1 b,2 a/2 b,3 a/3 b,4 a(1)/4 b(1)表8 第k0+1轮后第2个主站接收到的信息状态(zZ+)N的情形第2个主站以0.9 6的概率收到的各分队副站的信息N=3z+2(N-k0+2)a/(N-k0+3)b,Na/Nb,1 a/1 b,2 a/2 b,3 a/3 b,4 a(1)/4 b(1)N=3z+3(N-k0+2)a/(N-k0+3)b,Na/Nb,1 a/1 b,2 a/2 b,3 a(2)/3 b(2),4 a/4 bN=3z+4(N-k0+2)a/(N-k0+3)b,1 a/1 b,2 a/2 b,3 a/3 b,4 a/4 b,5 a(1)/3 b(1)表9 第k0+1轮后第N个主站接收到的信息状态(zZ+)N的情形第N个主站以0.9 6的概率收到的各分队副站的信息N=3z+2(N-k0)a/(N-k0+1)b,(N-1)a/(N-1)b,Na/Nb,1 a/1 b,2 a(1)/2 b(1)N=3z+3(N-k0)a/(N-k0+1)b,Na/Nb,1 a(1)/1 b(1),1 a(2)/1 b(2),2 a/2 bN=3z+4(N-k0)a/(N-k0+1)b,Na/Nb,1 a/1 b,2 a/2 b,3 a(1)/3 b(1)第k=k0+2,类似,直到达到要求完成信息的共享.结合引理2和定理2,可以看到所给的信息传输模型中各个站点平衡地发、收报文信息,或者同时未按要求完成信息共享,或同时完成信息共享,与问题1的模型类似,对给定的分队数量,可以实现最少轮数/最短时间内完成信息共享,即所给的信息传输的一般模型为一种最优的信息传输方案.但此处还关注相反的问题,即给定K分钟内/轮,最多可实现多少个分队达到所给信息的共享要求.下面给出定理3的证明.1)首先证明最大分队数的上限为N=(5K+1)/4.在所有的分队中至少有一分队信息发送的任务不低于平均数,以该分队发送信息的任务和能力来分析.以信息的半段来说明.“半段”等价于“5 0字符”.K轮中,该分队的主站共可发3K-1个半段的信息,具体为第一轮2个半段,加上第2K轮每轮的3个半段,3K-1=2+3(K-1).该主站需向其余N-1个主站发送的主站信息为2(N-1)个半段,还有发3K-1-2(N-1)个半段的信息发送能力用于转发其副站信息,可转发副站信息的条数为3K-1-2(N-1)/2.分队数N需满足:对任一分队的副站信息,除其主站帮忙转发给 3K-1-2(N-1)/2个主站外,两个副站在K轮中能完成向剩下的主站同步发送信息,即N-3K-1-2(N-1)/2 K.68第1 2卷 第2期数学建模及其应用V o l.1 2 N o.2 J u n.2 0 2 3当K为奇数时,整理得N(5K+1)/4,从而最大的分队数的上限为N=(5K+1)/4.当K为偶数时,整理得N5K/4,从而最大的分队数的上限为N=5K/4.可以证明K为偶数时,5K/4=(5K+1)/4.综上,最大的分队数的上限为N=(5K+1)/4.2)主站间主站信息传输方案与问题1相同.关于副站信息:每个分队的副站同步向1个主站发送副站自身的信息,副站点n a,n b第k轮分别给站点n+k-1(若n+k-1N,取站点n+k-1-N)发信息n a,n b;主站间信息共享完成时主站参与转发副站信息.根据问题1,在第k0=(2N-1)/3轮可能转发半段(N=6,9,1 2,时)或一段(N=7,1 0,1 3,时)副站信息.为避免副站与主站发送信息冲突,主站在转发副站信息时按另一方向的顺序,比如站点1(其他站点类似):第k0轮结束后,按0.8的概率收到了副站直发来的副站信息1 a,1 b,Na,Nb,(N-k0+2)a,(N-k0+2)b.若N=6,9,1 2,第k0轮按0.9 6的概率收到主站N-k0+1发送的信息2 a(2)或2 b(2);若N=7,1 0,1 3,第k0轮按0.9 6的概率收到主站N-k0+1发送的信息2 a或2 b.第k0+1轮,按0.8的概率收到副站直发来的副站信息(N-k0+1)a,(N-k0+1)b.若N=5,8,1 1,按0.9 6的概率收到主站N-k0+1发送的信息2 a或2 b,和3 a(2)或3 b(2);若N=6,9,1 2,按0.9 6的概率收到主站N-k0+1发送的信息2 a(1)或2 b(1),和3 a或3 b;若N=7,1 0,1 3,按0.9 6的概率收到主站N-k0+1发送的信息3 a或3 b、4 a(2)或4 b(2)(注:也可以是主站N-k0发送信息给站点1,其他站点其他轮次对应调整,但影响后面期望的计算).依次往后直到第K轮,副站直发的信息和其他主站转发的信息使得主站1按0.9的概率具有各分队至少1个副站的气象报文信息,从而说明最大分队数的上限可达,最大分队数为N=(5K+1)/4.1.3.2 K=7时,N=9的相应最大值及信息传输方案由定理3可知,K=7时,N=9.主站间信息共享方案与问题1相同,副站的信息传输方案见表1 0.表1 0 副站气象报文的传输方案(N=9,K=7)传输轮数序号发送站点序号接收站点序号发送信息所属站点序号(含信息完整性)传输轮数序号发送站点序号接收站点序号发送信息所属站点序号(含信息完整性)11 a11 a17 a77 a1 b11 b7 b77 b12 a22 a18 a88 a2 b22 b8 b88 b13 a33 a19 a99 a3 b33 b9 b99 b14 a44 a21 a21 a4 b44 b1 b21 b15 a55 a5 b55 b79 a69 a16 a66 a9 b69 b6 b66 b968 a(2)/8 b(2),7 a/7 b 以下是期望值的计算.(i)单个主站n成功接收某个分队至少1个副站的气象报文的概率为0.9 6,所以能成功接收每支分队至少1个副站的气象报文的概率p0=0.9 6N=0.9 690.6 9,从而平均有N=0.9 6NN6.2 3个站点能成功接收每支分队至少1个副站的气象报文.(i i)对于任一主站,在总共K=7轮中的每一轮都有两个副站直接向其发送报文信息,主站收到各条报文信息的概率是0.8;在6轮以0.9 6的概率成功接收某个主站转发的某副站的上半段信息,第778教学与竞赛共享气象报文的信息传输模型2 0 2 3年6月轮以0.9 6的概率成功接收另一主站转发的某副站的下半段信息和另一副站的1条信息,其中两个半段均能成功接收拼成完整一条副站信息的概率为0.9 62,所以任一主站平均能成功接收720.8+10.9 6+10.9 6=1 3.1 2个副站的气象报文.1.4 满足要求情况下计算相关数据根据问题3的要求,各主站至少成功接受到各分队副站气象报文的概率不低于0.9 7,则各分队副站应至少发送3条信息才能满足要求.以单站点的信息收发进行如下说明:某一主站点n,为达到不低于0.9 7的概率成功接收副站的气象报文信息,每个分队的两个副站点报文信息合计要直接向其发送3次(即a a a,b b b,a a b,b b a中的某一种),或给其他主站点发送过3次再经其转发给n(只要转发一条,相当于副站直接发送3条).因站点的对称性,每轮有两个副站(可能属于同一分队,也可能属于不同分队)向同一主站发送信息.在K轮中,主站n接收2K条副站信息,所以还需接收从其他主站转发的(3N-2K)/3条信息.主站在转发副站信息前需完成主站间信息的共享,主站n共有3K-1半段信息的发送能力,其中一部分用于发送2(N-1)半段的主站信息,因此最多还可以转发 3K-1-2(N-1)/2条副站信息.要完成信息共享,须满足(3N-2K)/33K-1-2(N-1)/2,整理得:表1 1 主站气象报文的传输方案(N=8,K=8)传输轮数序号发送站点序号接收站点序号发送信息所属站点序号(含信息完整性)此轮后接收站点已有信息所属站点序号(含信息完整性)11212,112323,218181,88162 a/2 b18,7 a/7 b,1 a/1 b,2 a/2 b8273 a/3 b18,8 a/8 b,2 a/2 b,3 a/3 b8851 a/1 b18,6 a/6 b,8 a/8 b,1 a/1 bK为奇数时,N1 3K/1 2+1/4,最 大 分 队 数 的 上 限 为N=1 3K/1 2+1/4;K为偶数时,N1 3K/1 2,最大分队数的上限为N=1 3K/1 2.注:就算(3N-2K)/33K-1-2(N-1)/2中右端不向下取整,K不分奇偶,N=1 3K/1 2+1/4,当K=8时,最大分队数也只能达到N=8.主站间气象报文信息共享的传输方案见表1 1.副站气象报文信息的传输方案见表1 2.表1 2 副站气象报文的传输方案(N=8,K=8)传输轮数序号发送站点序号接收站点序号发送信息所属站点序号(含信息完整性)传输轮数序号发送站点序号接收站点序号发送信息所属站点序号(含信息完整性)传输轮数序号发送站点序号接收站点序号发送信息所属站点序号(含信息完整性)11 a11 a17 a77 a28 a88 a1 b21 b7 b77 b8 b18 b2 a22 a8 a88 a2 b22 b8 b88 b81 a/1 b51 a/1 b3 a33 a21 a11 a2 a/2 b62 a/2 b3 b33 b1 b21 b3 a/3 b73 a/3 b4 a44 a2 a22 a4 a/4 b84 a/4 b4 b44 b2 b32 b5 a/5 b15 a/5 b5 a55 a3 a33 a6 a/6 b26 a/6 b5 b55 b7 a/7 b37 a/7 b6 a66 a7 b87 b8 a/8 b48 a/8 b6 b66 b 注:表1 2中第8轮传输时,只需副站中的二者之一进行气象报文信息的传输即可.88第1 2卷 第2期数学建模及其应用V o l.1 2 N o.2 J u n.2 0 2 3在所给的传输方案下:(i)单个主站n成功接收某个分队至少1个副站气象报文的概率为1-(1-0.8)3=0.9 9 2,所以能成功接收每支分队至少1个副站的气象报文的概率p0=0.9 9 2N=0.9 9 280.9 4,从而平均有N=0.9 9 2NN7.5 0 2 0 8个站点能成功接收每支分队至少1个副站的气象报文.(i i)对于任一主站n,在前7轮中的每一轮都有两个副站直接向其发送气象报文信息,主站收到各条报文信息的概率是0.8;前5轮主站恰好完成主站间的信息共享,在第6轮和第7轮,分别接收某一主站以0.9 9 2的概率接收到的含1 0 0字符的信息(1条某个分队的一副站气象报文),在第8轮以0.8的概率成功接收某个副站直接传来的1条气象报文信息.所以任一主站平均能成功接收720.8+10.9 9 2+10.9 9 2+10.8=1 3.9 8 4条报文信息.2 结语 本文结合问题背景及相关要求,对气象数据的传输进行模型建立,并得出信息传输的一般模型.对模型进行相关论证,获得所需的信息传输方案,并计算了相关的指标.参考文献1 全国大学生数学建模组委会.2 0 2 2“高教社杯”全国大学生数学建模竞赛赛题E B/O L.2 0 2 2-0 9-1 5.h t t p:/w w w.m c m.e d u.c n/h t m l_c n/n o d e/5 2 6 7 f e 3 e 6 a 5 1 2 b e c 7 9 3 d 7 1 f 2 b 2 0 6 1 4 9 7.h t m l.2 姜启源,薛金星,叶俊.数学模型M.北京:高等教育出版社,2 0 1 8.3 王晓银,周保平.数据建模与数据实验M.北京:科学教育出版社,2 0 1 0:1-6.4 任恒峰,王清亮,王鹏.二比特量子信息在任意格点数自旋链上完美传输的调控J/O L.武汉大学学报:理学版,2 0 2 2,1(7):1-7.2 0 2 2-0 9-1 6.h t t p s:/d o i.o r g/1 0.1 4 1 8 8/j.1 6 7 1-8 8 3 6.2 0 2 1.0 0 2 0.5 张佳,谢春河,刘元贵,等.球赛赛程安排的模型求解J.工程数学学报,2 0 0 3,2 0(5):1 2 4-1 2 9.6 陈东彦,李冬梅,王树忠.数学建模M.北京:科学出版社,2 0 0 7.I n f o r m a t i o n T r a n s m i s s i o n M o d e l f o r S h a r e d M e t e o r o l o g i c a l M e s s a g e sZ HANG T i n g h u i1,WANG W a n y i n g2,HE R u n t i n g1(1.S c h o o l o f M e c h a n i c a l E n g i n e e r i n g,N a n j i n g U n i v e r s i t y o f T e c h n o l o g y,N a n j i n g,J i a n g s u 2 1 0 0 0 0,C h i n a;2.S c h o o l o f E c o n o m i c s a n d M a n a g e m e n t,N a n j i n g U n i v e r s i t y o f T e c h n o l o g y,N a n j i n g,J i a n g s u 2 1 0 0 0 0,C h i n a)A b s t r a c t:I n r e s p o n s e t o t h e p r o b l e m o f i n f o r m a t i o n s h a r i n g i n m e t e o r o l o g i c a l m e s s a g e s,c o m b i n e d w i t h t h e p r o b a b i l i t y o f s u c c e s s f u l i n f o r m a t i o n t r a n s m i s s i o n a n d r e c e p t i o n o f s a t e l l i t e c o mm u n i c a t i o n e q u i p m e n t c a r r i e d b y t h e m a i n a n d s e c o n d a r y s t a t i o n s,t h e p r o b l e m o f t h e m i n i m u m n u m b e r o f i n f o r m a t i o n t r a n s m i s s i o n r o u n d s r e q u i r e d f o r c o m p l e t e i n f o r m a t i o n s h a r i n g b e t w e e n t h e m a i n s t a t i o n s w i t h a g i v e n n u m b e r o f m e t e o r o l o g i c a l t e a m s i s s t u d i e d,a n d a m a t h e m a t i c a l m o d e l f o r i n f o r m a t i o n t r a n s m i s s i o n b e t w e e n t h e m a i n s t a t i o n s i s e s t a b l i s h e d;S e c o n d l y,t h e t r a n s m i s s i o n m e t h o d s o f i n f o r m a t i o n b e t w e e n t h e p r i m a r y a n d s e c o n d a r y s t a t i o n s w i t h i n a g i v e n t i m e/r o u n d w e r e s t u d i e d,a n d a n i n f o r m a t i o n t r a n s m i s s i o n m o d e l f o r t h e m a x i m u m r e q u i r e d n u m b e r o f m e t e o r o l o g i c a l t e a m s w a s e s t a b l i s h e d u n d e r t h e c o n d i t i o n t h a t t h e p r o b a b i l i t y o f t h e p r i m a r y s t a t i o n s u c c e s s f u l l y r e c e i v i n g a t l e a s t o n e m e t e o r o l o g i c a l m e s s a g e f r o m t h e s e c o n d a r y s t a t i o n o f a n y t e a m i s n o t l e s s t h a n 0.9;F i n a l l y,t h e p r o b l e m o f a c h i e v i n g a m a x i m u m n u m b e r o f m e t e o r o l o g i c a l t e a m s w i t h a p r o b a b i l i t y o f n o t l e s s t h a n 0.9 7 f o r e a