关于正定矩阵不等式证明的一类新方法.pdf

第2 6 卷第3期2023年5月doi:10.3969/j.issn.1008-1399.2023.03.018高等数学研究STUDIES IN COLLEGE MATHEMATICSVol.26,No.3May,2023关于正定矩阵不等式证明的一类新方法黄星1，刘蒋巍2（1.常州工学院，江苏常州，2 130 32；2.学思堂教育研究院，江苏常州，2 130 0 0）摘要运用高等数学中的均值不等式与郝尔德不等式等方法（简称：新方法）来证明正定矩阵不等式，弥补线性代数独立授课的不足，拓宽学生解题思路，优化学生解题过程，开阔学生数学视野。关键词均值不等式；郝尔德不等式；正定矩阵中图分类号0 17 1，0 151.2文献标识码A文章编号10 0 8-139 9（2 0 2 3)0 3-0 0 51-0 2A New Proof of Inequality of Positive Definite MatrixHUANG Xing and LIU Jiangwei?(1.Changzhou Institute of Technology,Changzhou 213032,China;2.Xuesitang Education Research Institute,Changzhou 213000,China)Abstract In this paper,a new method is used to prove the positive definite matrix inequality by the meaninequality and Holder inequality,which makes up for the deficiency of the Linear Algebra course,broad-ens and optimizes students problem-solving ability and their mathematical horizon.Keywords mean inequality,Holder inequality,positive definite matrix等号成立当且仅当A是对角矩阵.1引言本题在文献1一2 中给出的解法是数学归纳证明矩阵不等式是线性代数学习的难点.关于法与分块矩阵相结合的方法，证明较为繁琐.我们还正定矩阵不等式的证明，文献1一2 已进行了一定可以用均值不等式等方法优化证明过程。的研究，但方法较为繁琐.本文运用高等数学中的均2习题证明的新方法及应用值不等式与郝尔德不等式等方法来证明正定矩阵不等式（下文简称“新方法”），简化了证明方法，弥补了线性代数独立授课的不足，开拓了学生的思路.课本习题呈现如下：例1设A=（a）是n阶正定矩阵，则detAIlai,i=1收稿日期：2 0 2 2-0 4-10修改日期：2 0 2 2-0 6-0 6基金项目：常州工学院校自然科学基金（E3-6701-18-123），常州工学院统计类专业学生培养方案改革研究（yb-jgkt2021-03），常州工学院线下“金课”（xxjk2021-4).作者简介：黄星，男，湖北黄冈人，博士，讲师，主要从事凸几何和教育数学研究，刘蒋巍，男，江苏南通如东人，讲师，从事解题理论研究，Email:2.1习题证明的新方法由于A是正定矩阵，其对角线元素均大于零.令d;=-一，记D为以d，为对角线元素的对角矩Vai(1)阵.定义矩阵B=DAD，显然B也是正定矩阵，且对角线元素均为1.根据行列式的乘法性质，有detB=detA(detD)=detA故不等式（1）等价于detB 0.根据均值不等式有(8)52detB=II入;1且等号成立当且仅当所有入；=1，因为B也是正定矩阵，故（2）中等号成立当且仅当B=I,这等价于A是对角矩阵.新方法巧妙运用了均值不等式来证明，与常规解法相比，思路简洁且避免了复杂的计算.注对于正定矩阵，不等式(1）是一个很基本的不等式，这个不等式之所以重要是因为其它许多不等式都可以由它导出。2.2亲新方法的运用（运用均值不等式证明Minkowski不等式）例2 设A和B为n阶正定矩阵，则(det(A+B)(detA)+(detB)，(3)且等号成立当且仅当B=aA，其中0.证明注注意到所要证的不等式的两边是同次齐次的，不失一般性，可以假设A=I，于是问题归结为证明(det(I,+B)1+(detB).设入1,入2,入,(1入入,0)为B的特征值，则上面的不等式等价于II(1+入.)(1+i2).1将不等式（5）两边直接乘开来，并用均值不等式逐项进行比较可证（5）。在不等式（5）中，等号成立当且仅当入1=入2=入，=，这里为任一正数，也就是说，在不等式(4）中等号成立的充要条件为B=al.对应到不等式(3),即B=aA.（运用郝尔德不等式证明正定矩阵不等式）为了证明正定矩阵不等式，我们需要引人下面关于正定矩阵行列式的积分公式，具体证明参考3.引理3设A是n阶正定矩阵，xER，则元,e-x.Ax)dx=JR例3设A,B均是n阶正定矩阵,则对任意tE0,1,有det(tA+(1-t)B)(detA)(detB)-t.(7)等号成立当且仅当A=B或t=0或t=1.证明在(6)式中取H=tA+(1-t)B,t E高等数学研究O,1,其中A,B是任意的n阶正定矩阵.易知H也Z入=(B)=1,(2)（nnVdetA2023年5月是正定矩阵，由引理得Vdet(tA+(1-t)B)JR运用郝尔德（Holder）不等式fgdxfPdx)R1其中p，q 为正实数，且满足1.力f(x)=e-.x),g(x)=e-(-)(x.8),1且力=te-x,A r)-(1-t)x,Bx)JRe-x.Ar)dx)RJR再由引理可知-(x,Ax)dx)(,e-x Bx)dx)-eR(4)V(detA)(detB)I-综合（8），（9），（10），不等式（7）得证.(5)由不等式（9)等号成立的充要条件可知不等式（7)等号成立的充要条件是A=B或t=0或t=1.注不等式(3)与不等式（7)本质上是等价的.不等式（7)的证明方法很多，运用微分学中凹函数的性质亦可以证明，但涉及到的计算比较复杂.例3中应用郝尔德不等式证明，简洁优美。3总结在线性代数的教学中,若能引导学生尝试运用高等数学的方法解决线性代数问题，不仅可以弥补线性代数独立授课的不足，而且对拓宽学生解题思路，优化学生解题过程，开阔学生数学视野，大有益！(6)参考文献1北京大学数学系前代数小组.高等代数M.5版.北京：高等教育出版社，2 0 19.2丘维声.高等代数（上册)M.北京：清华大学出版社，2010.3梅加强.数学分析M.2版.北京：高等教育出版社，2020.一dx)*1，则由Holder不等式可得dce-(x Bx)dx)R1tdetA(detB(9)1一t(10)