多项式插值教学中学生科学精神的培养.pdf

第 43 卷 第 7 期 高 师 理 科 学 刊 Vol.43 No.7 2023 年 7 月 Journal of Science of Teachers College and University Jul.2023 文章编号：1007-9831（2023）07-0066-04 多项式插值教学中学生科学精神的培养 高忠社，谢保利，代丽芳（天水师范学院 数学与统计学院，甘肃 天水 741000）摘要：围绕插值多项式的基本类型，如拉格朗日插值、牛顿插值、分段线性插值等，以及多项式插值函数构建的思想方法和多项式插值的局限性，展示了在多项式插值发展过程中所体现出的数学家们锲而不舍、求实严谨的科学精神，阐述了在教学过程中学生的求实创新精神、时代担当精神的培养问题 关键词：拉格朗日插值；牛顿插值；龙格现象；插值思想方法 中图分类号：O241G642.0 文献标识码：A doi：10.3969/j.issn.1007-9831.2023.07.013 Cultivation of students scientific spirit in polynomial interpolation teaching GAO Zhongshe，XIE Baoli，DAI Lifang（School of Mathematics and Statistics，Tianshui Normal University，Tianshui 741000，China）AbstractAbstract：Through the basic types of interpolation polynomials,such as Lagrange interpolation，Newton interpolation，piecewise linear interpolation，etc.，also the thinking method of polynomial interpolation function construction and the limitations of polynomial interpolation，the mathematicians scientific spirit of perseverance and rigorousness is shown，as well as the cultivation of the realistic and innovative spirit and the responsibility of students during the teaching process.KeyKey wordswords：Lagrange interpolation；Newton interpolation；Rung phenomenon；interpolation idea 反映自然规律的许多实际问题中的函数关系是通过测量或实验而得到的数据关系从提供的部分离散的数值进行理论分析和研究都是极不方便，甚至是不可能的，因而需要设法寻找与已知函数值相符而形式简单的近似函数1根据一些函数值找出既能反映原函数特征，又便于计算的简单函数去近似数据特征的方法称为插值法，该方法被广泛应用于理论研究和工程实际中 多项式插值的基本方法有拉格朗日插值、牛顿插值、埃尔米特插值、分段线性插值和样条插值等，多项式插值各自不同特点，其不断发展的过程充分体现了数学家锲而不舍的素养及一丝不苟、作风严谨、求实创新的科学精神2拉格朗日插值在研究的热点问题分数阶微分方程求解中也有充分的应用，使用拉格朗日插值思想，构建的基于 Caputo 导数的1L公式、2L公式、2L公式等3，充分体现了插值多项式的重要性，以及插值思想在数值分析、微分方程数值解及现代数学中的广泛应用性 1 多项式插值的基本思想 建立多项式插值的一般方法是通过确定多项式的系数而确定多项式，即要求在某些确定点多项式与已 收稿日期：2022-10-03 基金项目：国家自然科学基金项目（12161077）；甘肃省教育科学“十四五”规划 2021 年度课题（GS2021GHB1933）；天水师范学院 2020 年 度校级教育教学改革研究项目（JY202003，JY202004）作者简介：高忠社（1979-），男，甘肃宁县人，副教授，硕士，从事微分方程数值解方法及其应用研究E-mail： 第 7 期 高忠社，等：多项式插值教学中学生科学精神的培养 67 知函数值相等设函数()yf x在区间,ab上有定义，且已知在点01naxxxb上的函数值01,nyyy，若存在函数()p x，使得 0,1,2,iip xy in成立，则称()p x为()f x的插值函数，点01,nxxx称为插值节点，,ab称为插值区间，求()p x的方法称为插值法 若()p x是次数不超过n的多项式，则 2012()nnp xaa xa xa x （1）求多项式插值需要解决 3 个数学问题：（1）()p x的存在性、唯一性；（2）如何求()p x；（3）确定()p x与()f x的误差 多项式插值通过1n 个节点的数据确定了多项式()p x，对于有限区间,ab上的任何值，都可以得到一个近似值多项式插值也反映了通过有限个函数值估计无限多个函数值的方法，即通过有限的情况去预测、估计无限的方法，此方法也是人类认识世界的基本方法 数学家用线性方程组解的存在唯一性定理解决了插值多项式的存在性和唯一性问题通过式（1），在1n 个节点处得到1n 阶代数方程组，方程组的系数矩阵行列式为范德蒙行列式，由于ij时，ijxx，于是，方程组有唯一解 定理 1118 满足插值条件 iip xy（0,1,2,in）的插值多项式（1）是存在且唯一的 插值多项式的存在性和唯一性问题的解决，反映了人们使用已知的知识和工具去认识世界的方法，也说明在教学实践中必须要求学生有完备的知识储备，只有这样才能在以后的学习、工作中更好地发现问题、解决问题同时，应注重培养学生自强不息、努力奋斗的科学精神，以适应建设现代化中国的使命担当 2 基本多项式插值与科学精神 2.1 基本插值多项式 2.1.1 Lagrange 插值多项式 定理 1 的证明思想提供了求()p x的方法，即求解相应代数方程组，确定系数即可但当n较大时，求解方程组的工作量很大，或者很难求解因此，需要寻找新的构造插值函数的方法，对此数学家们想到使用基函数的方法，在每一个节点建立一个插值基函数，使得每点处的基函数在该点处的函数值为 1，其余点处的函数值为 0 为了得到简单的插值多项式()p x，先从线性插值开始，即1n 设已知区间01,xx端点处的函数值00yf x，11yf x，构造一次插值多项式（线性函数）1()L x，使其满足1000L xf xy，1111L xf xy由直线方程的两点式得011010110()xxxxL xyyxxxx，1()L x是线性函数1001()xxl xxx，0110()xxl xxx的线性组合，其系数分别为0y，1y，即 10011()()()L xlx yl x y （2）0()lx，1()l x满足1,0,ijijlxij，,0,1ij，称0()lx，1()l x为一次插值基函数 同理，给定1n 个插值节点的n次多项式()nLx，定义1n 个n次插值基函数1,0,ijijlxij，,0,1,2,ijn，即 011011()kknkkkkkkknxxxxxxxxlxxxxxxxxx，0,1,2,kn （3）显然满足基函数性质，于是得到n次 Lagrange 插值多项式()nLx为 0()()nnkkkLxlx y （4）2.1.2 Newton 插值多项式 在上述区间划分及插值条件，构造多项式函数 010201011()nnnP xaaxxaxxxxaxxxxxx 由插值条件和均差的定义，系数01,kkaf xxx，1,2,kn代入()nPx，得到 Newton 插值公式 68 高 师 理 科 学 刊 第 43 卷 00100120101011(),nnnNxf xf xxxxf xxxxxxxf xxxxxxxxx （5）2.2 插值多项式思想对育人理念的影响 数学家及工程领域的专家在应用拉格朗日插值多项式解决实际问题时，发现每增加个节点，每个节点的插值基函数都需要重新构造，即插值函数得重新构造4这样，在应用方面造成了很多的不便，使得插值方法每次构造产生的重复性计算量很大 经过不断探索，数学家牛顿给出了更加方便的 Newton 插值多项式，当增加个节点时，不需要重新计算前面的项，只需要再增加一项即可，即通过差商来构造牛顿插值多项式 牛顿是英国著名的物理学家，著有自然哲学的数学原理光学等经典著作5，牛顿具有专注、严谨的科学态度，求实创新的科学精神1687 年，牛顿发表的论文自然定律里，对三大运动和万有引力定律进行了系统描述，奠定了现代工程学的基础牛顿通过开普勒行星运动定律与他的引力理论间的一致性论证，展示了天体的运动与地面物体都遵循着相同的自然规律，为太阳中心说提供了强有力的理论支持，并推动了科学革命；在力学方面，牛顿阐明了动量和角动量守恒的原理，提出牛顿运动定律；在光学方面，牛顿发明了反射望远镜，并基于对三棱镜将白光发散成可见光谱的观察，提出了颜色理论；在数学方面，牛顿与莱布尼茨分享了系统创立微积分学的荣誉 给定1n 个节点和相应的函数值，构造n次插值多项式0()()nnkkkLxlx y，式中：()klx 011011kknkkkkkknxxxxxxxxxxxxxxxx，0,1,2,kn，插值余项为(1)1()()(1)!nnnfRxxn 一般来说，当(1)nf有确定的上界时，插值多项式与被插函数的误差（逼近的精度）与节点的个数（插值多项式的次数）有关，节点越多近似程度越好但事实并非完全如此 例6 给定函数21()14f xx，11x 取节点2110ixi ，0,1,10i，建立次数为二次到十次的插值多项式，结果见图 1 由图可以看出，随着次数从二次到四次，逼近的整体效果相对越来越好当次数在六次以上时，0.6,0.6之间的效果相对较好，但随着次数的增加，两端的误差却越来越大如果增加节点个数（增加插值多项式的次数），反而在个别点上效果更差，这一现象称为 Runge 现象 这种现象反映了插值方法的局限性高次插值函数出现的Runge现象，说明低次插值在近似计算中相对更有效、更实用7基于此现象，通常不用高次插值，而是将插值区间分成几个小区间，在每个小区间上做低次插值 在分析插值余项与 Runge 现象时，体现了数学家锲而不舍的工匠精神，也揭示一些利用插值法解决数据处理问题的有效性及局限性，使学生从自身角度出发深挖工匠精神的内涵8使学生深刻领悟科学精神核心是一种精神，一种信仰，或者是一种情怀，是把一件工作一件事情，当作一种信仰，一丝不苟地把它做到极致，做到别人无可替代 认同插值法对原始数据进行分析，从而产生真实可信的分析是进一步开展科学试验和创新研究的保障，向学生渗透在科学研究上要做到对实验结果进行合理、公正、无选择性的分析，并做出客观判断，养成用数据说话的习惯和实事求是的科学态度同时，使学生明白分析问题时应避免主观、片面、孤立、静止地看待问题，要用联系、发展、全面的观点看问题，树立正确的人生观、价值观和世界观通过讨论，使学生意识到任何知识都不是一成不变、不可质疑的，要有自己独立的思维，培养独立思考、勇于创新精神 2.3 分段线性插值与相对稳定性 为克服高次插值多项式的局限性，数学家建立了分段线性插值多项式在,a b进行区间划分，利用 图 1 函数21()14f xx的 Lagrange 插值分析 第 7 期 高忠社，等：多项式插值教学中学生科学精神的培养 69 节点的函数值01,nfff，在每个小区间1,kkxx上使用 Lagrange 线性插值，得到分段线性插值函数()hIx 在每个插值区间1,kkxx上构造出插值基函数()klx，满足插值条件，再取它们的线性组合，得到,xab时，()hIx的表达式0()()nhjjjIxl x f，式中：111111,(),0,jjjjjjjjjjjxxxxxxxxxlxxxxxxxab11,jjxx，11jn 函数21()14f xx，11x 的分段线性插值分析见图 从整体上来看，分段线性插值的误差相对稳定，随着插值函数的节点的增加，误差也会逐步减小9同时，低次分段插值是常用的插值方法，误差相对较小，且不会出现 Runge 现象，也经常被用于各种数值计算中基于分段插值思想的启发，数学家构造了分段二次插值、Hermit 插值和样条插值等，被广泛应用于工业设计、工程外形设计和科学计算等领域 从插值函数建立与发展过程来看，多项式插值也是具有两面性，也是经历了“遇到问题，解决问题”的发展过程因此，在教书育人的过程中也要教育学生勇敢面对困难与问题，在现实生活中也要学会使用“遇到问题，解决问题”的这种思想，使其在人生中不断历久弥艰，开拓创新 3 结语 插值法的思想方法是数值逼近中十分重要的一部分，在数值积分、数值微分、微分方程数值解中具有广泛的应用性；由插值法的思想发展而来的各种方法，如样条插值、周期样条插值、样条小波插值、模糊插值、有理函数插值和分形插值等，已经应用于工程计算、工程力学和图形图像处理等各个方面，成为诸多计算数学工作者、工程学家等使用的重要工具这些都体现了插值法的思想方法的重要性通过了解插值思想的应用，使学生体会到插值法离现实很近，使学生产生浓厚的学习兴趣和求知欲望 在实践教学中，教师应将插值法的思想方法融入学生的学习与生活中，使其具有坚韧的意志，不惧怕问题，对遇到的问题，要积极寻找办法解决通过插值思想及各种插值方法的建立过程，进而让学生切身体会到科学家专注、严谨、求实创新的科学精神，培养青年一代的时代使命担当的科学精神，自信自强，守正创新，勇毅前行，为全面建设社会主义现代化国家，全面推进中华民族伟大复兴而努力奋斗 参考文献：1 李庆扬，王能超，易大义数值分析M5 版武汉：华中科技大学出版社，2022 2 聂碧宏.多元拟双 n 次多项式函数插值问题研究D大连：辽宁师范大学，2022 3 李桂成“计算方法”课程教学改革的探讨J高等理科教育，2008，45（1）：131-133 4 龚佃选，刘春凤以线性代数观点看常用多项式插值方法J高等数学研究，2017，20（1）：42-45 5 普亚松，史耀耀，蔺小军，等基于混合多项式插值的工业机器人关节运动规划J西北工业大学学报，2022，40（1）：84-94 6 赵东红，魏海瑞，刘林大学数学公共课程思政元素挖掘初探J大学数学，2021，37（3）：46-52 7 傅守忠，令锋，孔丽英，等应用型本科院校数值分析教学改革与课程思政J肇庆学院学报，2022，43（2）：6-9 8 王全来，张薇对波莱尔改进拉格朗日插值公式思想方法的研究J郑州大学学报（理学版），2007，42（2）：7-11.9 张光辉多项式插值 Runge 现象交互实验软件包的设计J宿州学院学报，2022，37（6）：72-75 y 1 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 -1-0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 x 图 2 函数21()14f xx的分段线性插值分析