广东省汕头市2012-2013学年高一数学下学期期中试题新人教A版.doc

汕头市金山中学2012～2013学年度第二学期期中考试
高一数学试题
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．
1．在等差数列中，，则的前5项和=（　 ）
A.7 B.15 C.20 D.25
2．若, 那么ΔABC是（ ）
A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形
3．如图，设A、B两点在河的两岸，一测量者在A的同侧河岸边选定一点C，测出AC的距离为，，则A、B两点的距离为（ ）
A. B. C. D.
4. 的内角A、B、C的对边分别为，若成等比数列，且，则（ ）
A． B． C． D．
5.已知非零实数，满足，则下列不等式成立的是（ ）
A． B． C． D．
6．设数列 满足：,且前项和为，则的值为（ ）
A. B. C. 4 D. 2
7．已知等差数列的公差为，项数是偶数，所有奇数项之和为，所有偶数项之和为，则这个数列的项数为（ ）
A． 19 B． 20 C． 21 D． 22
8．若函数图像上存在点满足约束条件，则实数的最大值为（ ）
A． B.1 C. D.2
9．已知，把数列的各项排列成如右图的三角形状， 记表示第行的第个数，则= （ ）
A. B. C. D.
10．设等差数列的前项和为且满足则中最大的项为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，满分30分．
11．若不等式的解集是，则 .
12．设正项等比数列的前项和为，若，则 .
13．若，其中实数满足不等式组，则的最小值是 .
14．已知数列，且，则______.
15.在中，依次成等比数列，则的取值范围是 .
16．两千多年前，古希腊毕达哥拉斯学派的数学家曾经在沙滩上研究数学问题，他们在沙滩上画点或用小石子来表示数，按照点或小石子能排列的形状对数进行分类，如图中的实心点个数1，5，12，22，…，被称为五角形数，其中第1个五角形数记作，第2个五角形数记作，第3个五角形数记作，第4个五角形数记作，…，若按此规律继续下去，则 ， ．

5
12
1
22

三、解答题：本大题共5小题，满分70分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．
17．（本小题满分14分）
解关于的不等式：

18．（本小题满分14分）
已知函数，在中，，且的面积为，
（1）求的值；（2）求的值.

19．（本小题满分14分）
某农户计划种植黄瓜和韭菜，种植面积不超过50亩，投入资金不超过54万元，假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表：

年产量/亩
年种植成本/亩
每吨售价
黄瓜
4吨
1.2万元
0.55万元
韭菜
6吨
0.9万元
0.3万元
为使一年的种植总利润（总利润=总销售收入—总种植成本）最大，那么黄瓜和韭菜的种植面积分别为多少亩？

20．（本小题满分14分）
已知数列的前项和为，且，，成等差数列.
（1）求，的值；（2）求数列的通项公式；
（3）若数列的前项和为，且满足，证明：．

21．（本小题满分14分）
已知数列是各项均不为的等差数列，公差为，为其前项和，且满足，．数列满足，为数列的前项和．
（1）求、和；
（2）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围；
（3）是否存在正整数，使得成等比数列？若存在，求出所有的值；若不存在，请说明理由．

汕头市金山中学2012-2013学年度第二学期期中考试高一数学试题答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．
BCBCD ABBAD

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，满分30分．
11． 12．9 13． 5 14． 15． 16． 35 ，（2分+3分）

三、解答题：本大题共5小题，满分70分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．
17．解：当时，原不等式可化为，………2分
当时，令，得或
若，即时，由得 ………4分
若，即时，由得………6分
若，即时，由得 ………8分
综上所述：
当时，原不等式的解集是：………10分
当时，原不等式的解集是：………12分
当时，原不等式的解集是：………14分
18．解：（1）=………3分
由，得，得，
∵，∴
∴ ∴………7分
（2）由（1）知，又∵
∴ ∴………9分
由余弦定理得
∴ ∴………11分
由正弦定理得 ………12分
∴………14分
19．解：设黄瓜的种植面积为亩，韭菜的种植面积为亩，………2分
则有题意知，即，
………6分
目标函数
，
………8分
作出可行域如图,由图象可知当直线经过点E时，直线的截距最大，………10分
此时取得最大值，………11分，由，解得………13分
答：黄瓜的种植面积为亩，韭菜的种植面积为亩. ………14分

20.解： (1）∵，，成等差数列，∴，
∴令 ，解得；令，解得…………2分
（2）由，
当时，由，可得………4分
即……………5分 又 即，
∴是以为首项，为公比的等比数列，………6分
∴ …7分
（3）∵ ………8分
，
………10分
，………12分
∴ ………13分
∵，∴． ………14分
21．解：（1）在中，令， ，得 即 解得，， ．………3分
，
． ………6分
（2）①当为偶数时，要使不等式恒成立，即需不等式恒成立．
∵函数在递减，在递增
∴当时，取得最小值25． 此时 需满足． ………8分
②当为奇数时，要使不等式恒成立，即需不等式恒成立．
是随的增大而增大，时取得最小值．
此时 需满足．
综合①、②可得的取值范围是． ………10分
（3），
若成等比数列，则，即．…11分
又，且，所以，此时．
因此，当且仅当， 时，数列中的成等比数列．………14分

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