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金山中学2012-2013年度第二学期期中考试
高二文科数学 试题卷
一、选择题（以下题目从4项答案中选出一项，每小题5分，共50分）
1．等于（ ） A．－ B.－ C. D.
2．设，则“”是“复数为纯虚数”的（ ）条件
A．充分而不必要 B．必要而不充分 C．充分必要 D.既不充分也不必要
3．在两个变量与的回归模型中，分别选择了4个不同模型，它们的相关指数如下，其中拟和效果最好的模型是（ ）
A．模型1的相关指数为0.25 B．模型2的相关指数为0.50
C．模型3的相关指数为0.98 D．模型4的相关指数为0.80
4．曲线在点处的切线的倾斜角为（ ）
A．30° B．45° C．60° D．120°
5．以抛物线的焦点为圆心,且过坐标原点的圆的方程为（ ）
A． B．
C． D．
6．函数的定义域为，其导函数在内的图象如图所示，则函数在区间内极大值点的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
7．一个长方体去掉一个小长方体,所得几何体的正(主)视图与侧(左)视图分别如下图所示,则该几何体的俯视图为（ ）
8. 某学生四次模拟考试时，其英语作文的扣分情况如下表：
考试次数
1
2
3
4
所减分数
4.5
4
3
2.5
显然所扣分数与模拟考试次数之间有较好的线性相关关系，则其线性回归方程为（ ）
A． B．C． D．
9．已知是双曲线的左、右焦点，过且垂直于轴的直线与双曲线交于两点，若△是锐角三角形，则该双曲线离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
10．已知函数规定：给出一个实数，赋值，若，则继续赋值，…，以此类推，若，则，否则停止赋值，如果得到称为赋值了次.已知赋值了次后停止，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（每小题5分，共20分）
11.若复数，则复数=_____________.
12. 若数列，是等差数列,则数列= 也是等差数列，类比上述性质，若数列是等比数列,且, ，则 ____________也是等比数列.
13.如右图所示，执行程序框图，若输入N=99，则输出的_________.
14. 观察下列三角形数表: 1 ---第一行
2 2 ---第二行
3 4 3 ---第三行
4 7 7 4 ---第四行
5 11 14 11 5 ---第五行
… … … …
第六行的最大的数字是 ； 设第行的第二个数为的通项公式是 .
三、解答题（共80 分）
15.（本小题满分12分）已知、、为的三个内角，且其对边分别为、、，若．
（1）求；
（2）若，求的面积．
16.（本小题满分12分）第届亚运会于年月 日至日在中国广州进行，为了做好接待工作，组委会招募了 名男志愿者和名女志愿者，调查发现，男、女志愿者中分别有人和人喜爱运动，其余不喜爱．
根据以上数据完成以下列联表：
喜爱运动
不喜爱运动
总计
男
10
16
女
6
14
总计
30
(2)能否在犯错误的概率不超过的前提下认为性别与喜爱运动有关？
(3)如果从喜欢运动的女志愿者中(其中恰有 人会外语)，抽取名负责翻译工作，则抽出的志愿者中人都能胜任翻译工作的概率是多少？
附:K2=
P(K2≥k)
0.100
0.050
0.025
0.010
0.001
k
2.706
3.841
5.024
6.635
10.828
17. (本小题满分14分)已知数列{}满足，且
（1）求证：数列{}是等差数列；
（2）求数列{}的通项公式；
（3）设数列{}的前项之和，求证：．
18.(本小题满分14分)
如图1，在直角梯形中，，，且．
现以为一边向形外作正方形，然后沿边将正方形翻折，使平面与平面垂直，为的中点，如图2．
（1）求证：∥平面；
（2）求证：平面；
（3）求点到平面的距离.
图 图
19.（本小题满分14分）设函数
（1）当时，求的最大值；
（2）令，以其图象上任意一点为切点的切线的斜率恒成立，求实数的取值范围；
（3）当时，方程有唯一实数解，求正数的值．
20.（本小题满分14分）已知双曲线，点、分别为双曲线的左、右焦点，动点在轴上方.
（1）若点的坐标为是双曲线的一条渐近线上的点，求以、为焦点且经过点的椭圆的方程；
（2）若∠，求△的外接圆的方程；
（3）若在给定直线上任取一点，从点向(2)中圆引一条切线，切点为. 问是否存在一个定点，恒有？请说明理由.
金山中学2012-2013年度第二学期期中考试
高二文科数学 答题卷
班级_____________ 学号_____________ 姓名_____________ 成绩_____________
一、选择题答案栏（每小题5分，共50分）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
二、填空题（20分）
11．_____________ 12．_____________ 13．_____________
14. _____________ ，_____________
三、解答题（共80 分）
15．（本小题满分12分）
16．（本小题满分12分）
解：(1) 2×2 列联表如下：
喜爱运动
不喜爱运动
总计
男
10
16
女
6
14
总计
30
学号_____________ 姓名_____________
17．（本小题满分14分）
18．（本小题满分14分）
学号_____________ 姓名_____________
19．（本小题满分14分）
20．（本小题满分14分）
高二文科数学 参考答案
选择题答案栏（50分）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
B
C
B
A
B
C
D
A
C
二、填空题（20分）
11． 12． 13．99/100 14.25;
三、解答题（共80 分）
15．（本小题满分12分）
解：（Ⅰ） …………2分
又，
， ………………6分
（Ⅱ）由余弦定理
得 …………………8分
即：， ………………………………10分
………………………12分
16．（本小题满分12分）
解：(1) 2×2 列联表如下：
喜爱运动
不喜爱运动
总计
男
10
6
16
女
6
8
14
总计
16
14
30
……………………………2分
(2)假设：是否喜爱运动与性别无关，由已知数据可求得：
因此，在犯错的概率不超过 0.10 的前提下不能判断喜爱运动与性别有关．…………6分
(3)喜欢运动的女志愿者有6 人，设分别为A，B，C，D，E，F，其中 A，B，C，D 会外语，则从这6 人中任取2 人有 AB，AC，AD，AE，AF，BC，BD，BE，BF，CD，CE，CF，DE，DF，EF共15 种取法， …………………………9分
其中两人都会外语的有AB，AC，AD，BC，BD，CD 共 6 种．…………………………11分
故抽出的志愿者中 2 人都能胜任翻译工作的概率是.………………………12分
17．（本小题满分14分）
解：
18．（本小题满分14分）
解：（1）证明：取中点，连结．
在△中，分别为的中点，
所以∥，且．
由已知∥，，
所以∥，且． …………………………3分
所以四边形为平行四边形．
所以∥． …………………………4分
又因为平面，且平面，
所以∥平面． ………………5分
（2）证明：在正方形中，．
又因为平面平面，且平面平面，
所以平面． 所以． ………………………7分
在直角梯形中，，，可得．
在△中，，
所以．所以．…………8分
所以平面． …………………………10分
（3）解法一：由（2）知，平面
又因为平面， 所以平面平面． ……………………11分
过点作的垂线交于点，则平面
所以点到平面的距离等于线段的长度 ………………………12分 在直角三角形中，
所以
所以点到平面的距离等于. ………………………14分
解法二：由（2）知，
所以
………………………12分
又，设点到平面的距离为
则 所以
所以点到平面的距离等于. ………………………14分
19．（本小题满分14分）
解：（1）当时， ……1分
解得或（舍去） ……2分
当时，，单调递增，
当时，，单调递减 ……3分
所以的最大值为 ……4分
(2) ……6分
由恒成立得恒成立 ……7分
因为，等号当且仅当时成立 ……8分
所以 ……9分
（3）时，方程即
设，解
得(<0舍去)，
在单调递减，在单调递增，最小值为 ……11分
因为有唯一实数解，有唯一零点，所以 ……12分
由得，
因为单调递增，且，所以 ……13分
从而 ……14分
20．（本小题满分14分）
解：（1）双曲线的左、右焦点、的坐标分别为和，
∵双曲线的渐进线方程为：，
∴点的坐标为是渐进线上的点，即点的坐标为。
∵∴椭圆的长轴长
∵半焦距，∴椭圆的方程 ……………………..5分
（2）∵，∴，即
又圆心在线段的垂直平分线上，故可设圆心
由。∴△的外接圆的方程为……………..9分
（3）假设存在这样的定点设点P的坐标为
∵恒有，∴
即对恒成立。
从而，消去，得
∵方程的判别式
∴①当时，方程无实数解，∴不存在这样的定点；
②当时，方程有实数解，此时，即直线与圆相离或相切，故此时存在这样的定点；……………..14分
15
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