福建省安溪一中2012-2013学年高一数学下学期期中试题新人教A版.doc

安溪一中2012-2013学年高一下学期期中考试数学试题

第I卷（选择题, 共60分）
一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．( )
A． B． C． D．
2．函数，是（ ）
A．最小正周期为的奇函数　　　 B．最小正周期为的偶函数
C．最小正周期为的奇函数　　 D．最小正周期为的偶函数
3.的单调递减区间是( )
A． B.
C. D.
4．已知（ ）
A． B． C． D．
5．如图，为互相垂直的单位向量，向量可表示为( )
A．2 B．3
C．2 D．3

6．已知，则( )
A． B． C． D．
7．要得到的图像, 需要将函数的图像( )
A．向左平移个单位 　　B．向右平移个单位
C．向左平移个单位 　　 D．向右平移个单位
8．已知，满足：，，，则( )
A． B． C．3 D．10
9．已知, 且点在的延长线上, , 则点的坐标为 ( )
A． 　 B． C． D．
10．已知, , 则的值为 ( )
A． B． C． D．
11．函数的部分图象如右图，则、可以取的一组值是（　　 ）

A.

B.
C.
D.
12. 关于函数有下列命题：
①由可得必是的整数倍；
②的表达式可改写为；
③的图象关于点对称；④的图象关于直线对称；
⑤在区间上是增函数；
把其中所有正确的的命题写出来为（ ）
A.②③ B.②③⑤ C.②④⑤ D.①③⑤
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题：（本大题共4小题，每小题4分，共16分）
13.角的终边过点P（4，－3），则的值为 .
14. 的定义域是 .
15. 将函数的图像上所有的点向右平行移动个单位长度，再把所得图象各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像的函数解析式是 .
16. 定义平面向量之间的一种运算“”如下，对任意的=(m，n)，
=(p，q)，令=，给出下面五个判断：
① 若与共线，则=0；
② 若与垂直，则=0；
③ =；
④ 对任意的R，有；
⑤
其中正确的有 （请把正确的序号都写出）.
三、解答题：（本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17.（本小题12分）已知, ,
(1) 求的值。
(2) 当为何值时，与平行？平行时它们是同向还是反向？

18．（本小题12分）. 已知
且
（1）求值？ （2）求的值.

19．（本小题12分）. 已知向量, 的夹角为, 且, , 若, ,
(1) 求及值？（2）求的夹角？

20．(本小题12分).某港口海水的深度（米）是时间（时）（）的函数，记为： 已知某日海水深度的数据如下：
（时）
0
3
6
9
12
15
18
21
24
（米）
10．0
13．0
9．9
7．0
10．0
13．0
10．1
7．0
10．0
经长期观察，的曲线可近似地看成函数的图象
（1）根据以上数据，求出函数的振幅、最小正周期和表达式；
（2）一般情况下，船舶航行时，船底离海底的距离为米或米以上时认为是安全的（船舶停靠时，船底只需不碰海底即可）.某船吃水深度（船底离水面的距离）为米，如果该船希望在同一天内安全进出港，请问，它至多能在港内停留多长时间?（忽略进出港所需时间）

21．(本小题12分). 已知， , 且
(1) 求函数的解析式;
(2) 当时, 的最小值是－4 , 求此时函数的最大值, 并求出取得最大值相应的的值？

22．(本小题14分).如图，是△的重心，、分别是边、上的动点，且、、三点共线．
（1）设，将用、、表示；
（2）设，，证明：是定值；
（3）记△与△的面积分别为、．求的取值范围．
（提示：

（2）所以的夹角为…………12分
20.解答：（1）依题意有：最小正周期为： 振幅：，
， …………4分
（2）该船安全进出港，需满足：即： …………7分

又 或…………10分
依题意：该船至多能在港内停留：（小时）……12分
时，．此时，均有．
以下证明：．（法一）由（2）知，
∵，∴．…………12分
∵，∴．
∴的取值范围．………………14分
（法二），
令，则，其中．
可以证明：关于的函数在闭区间上单调递减，在闭区间上单调递增．…………12分
∴时，．而或时，均有．∴的取值范围．………………14分

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