广东省汕头市2012-2013学年高二数学下学期期中试题-理-新人教版.doc

金山中学2012-2013年度第二学期期中考试高二理科数学 试题卷 一、选择题（以下题目从4项答案中选出一项，每小题5分，共40分）1. 已知实数满足那么( )2. 如图是一个空间几何体的正视图、侧视图、俯视图，如果正视图、侧视图所对应的三角形皆为边长为2的正三角形，俯视图对应的四边形为正方形，那么这个几何体的体积为（）A. B C. DxyOAC(1,1)B3. 从如图所示的正方形OABC区域内任取一个点，则点M取自阴影部分的概率为( ) A B C D4. 设函数的图象上的点处的切线的斜率为k，若，则函数的图象大致为（ ）5. 如下图所示将若干个点摆成三角形图案，每条边（色括两个端点）有个点，相应的图案中总的点数记为，则+=( )A B C D6. 函数有小于1的极值点，则实数的取值范围是（ ）A B C D7. 已知函数在（1，4）上是减函数，则实数的取值范围是( )A B C D 8. 已知集合，若对于任意，存在，使得成立，则称集合M是“垂直对点集”给出下列四个集合： ；其中是“垂直对点集”的序号是（ ） A B. C. D.二、填空题（每小题5分，共30分）9. 10. 函数在区间内零点的个数为 11. 若直线是曲线的切线，则实数的值为 .12. 函数的单调递增区间是 13. 若关于的不等式存在实数解，则实数的取值范围是 14. 现有一个关于平面图形的命题：如图，同一个平面内有两个边长都是的正方形，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方形重叠部分的面积恒为类比到空间，有两个棱长均为的正方体，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方体重叠部分的体积恒为 三、解答题（共6题，共80分）15. （本题12分）已知函数（其中，）的最大值为2，最小正周期为.（1）求函数的解析式；（2）若函数图象上的两点的横坐标依次为，为坐标原点，求的值.16. （本题12分）数列的前项和为，且（1）写出与的递推关系式，并求,的值；（2）猜想关于的表达式，并用数学归纳法证明17. （本题14分）某企业拟建造如图所示的容器（不计厚度，长度单位：米），其中容器的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的体积为立方米，且假设该容器的建造费用仅与其表面积有关已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元，半球形部分每平方米建造费用为千元，设该容器的建造费用为千元（1）写出关于的函数表达式，并求该函数的定义域；（2）求该容器的建造费用最小时的18. （本题14分）如图，四边形与均为菱形，且.（1）求证：；（2）求证：；（3）求二面角的余弦值19. （本题14分）已知椭圆的中心在坐标原点，两个焦点分别为，点在椭圆 上，过点的直线与抛物线交于两点，抛物线在点处的切线分别为，且与交于点.(1) 求椭圆的方程；(2) 是否存在满足的点? 若存在，指出这样的点有几个（不必求出点的坐标）; 若不存在，说明理由.20. 已知，（1）若对内的一切实数，不等式恒成立，求实数的取值范围；（2）当时，求最大的正整数，使得对（是自然对数的底数）内的任意个实数都有成立；（3）求证：高二理科数学期中考试 答题卷班级：_ 姓名：_ 学号：_ 成绩：_选择题题号12345678答案一、 填空题9 10 11 12 13 14 三、解答题15（本小题满分12分） 16（本小题满分12分）17（本小题满分14分）18（本小题满分14分）班级：_ 姓名：_ 学号：_19（本小题满分14分）20（本小题满分14分）金山中学2012-2013年度高二理科数学第二学期期中考试答案二、 选择题题号12345678答案ACBABBDD三、 填空题9 10 11 12 13 14 三、解答题15（1）解：的最大值为2，且，. 1分的最小正周期为，得. 3分. 4分（2）解法1：， 5分， 6分. 7分. 10分12分解法2：， 5分， 6分. 8分. 10分.12分16解：（1）由得：，即， .可得（2）由（1）可猜想，下面用数学归纳法证明：(i) 当时，,猜想成立(ii)假设当时，成立，则当时，故当时，猜想成立. 由（i）(ii)可得，对一切正整数都成立. 关于的表达式为.17解: （I）设容器的容积为，由题意知，又，故，由于，因此所以建造费用 （II）由（I）得由于，所以，令，得 （1）当即时，所以是函数的极小值点，也是最小值点 （2）当即时，函数单调递减，所以是函数的最小值点，综上所述，当时，建造费用最小时；当时，建造费用最小时18解：（）证明：设AC与BD相交于点O，连结FO.因为四边形ABCD为菱形，所以，且O为AC中点.又FA=FC，所以. 2分因为，所以. 3分（）证明：因为四边形与均为菱形，所以因为所以又，所以平面又所以. 6分（）解：因为四边形BDEF为菱形，且，所以为等边三角形因为为中点，所以由（）知，故 . 由两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系. 设AB=2因为四边形ABCD为菱形，则BD=2，所以OB=1，. 所以.8分 所以. 设平面BFC的法向量为则有 所以取，得. 12分易知平面的法向量为. 由二面角A-FC-B是锐角，得. 所以二面角A-FC-B的余弦值为.14分19(1)解法1：设椭圆的方程为,依题意: 解得: 2分 椭圆的方程为. 3分解法2：设椭圆的方程为，根据椭圆的定义得，即， 1分， . 2分 椭圆的方程为. 3分(2)解法1：设点,，则，三点共线, . 4分, 化简得：. 5分由,即得. 6分抛物线在点处的切线的方程为，即. 同理，抛物线在点处的切线的方程为 . 8分 设点，由得：，而，则 . 9分代入得 ， 10分则，代入 得 ，即点的轨迹方程为. 11分若 ，则点在椭圆上，而点又在直线上，12分直线经过椭圆内一点, 直线与椭圆交于两点. 13分满足条件 的点有两个. 14分解法2：设点,，由,即得. 4分抛物线在点处的切线的方程为，即.5分， .点在切线上, . 6分同理， . 7分综合、得，点的坐标都满足方程. 8分经过的直线是唯一的， 直线的方程为，9分点在直线上， . 10分点的轨迹方程为. 11分若 ，则点在椭圆上，又在直线上，12分直线经过椭圆内一点, 直线与椭圆交于两点. 13分满足条件 的点有两个. 14分解法3：显然直线的斜率存在，设直线的方程为， 由消去，得. 4分设,则. 5分由,即得. 6分抛物线在点处的切线的方程为，即.7分， . 同理,得抛物线在点处的切线的方程为. 8分由解得 . 10分,点在椭圆上. 11分.化简得.(*) 12分由, 13分可得方程(*)有两个不等的实数根. 满足条件的点有两个. 14分20.解：（1）由得，要使不等式恒成立，必须恒成立 设，当时，则是增函数，是增函数，因此，实数的取值范围是 5分（2）当时，在上是增函数，在上的最大值为要对内的任意个实数都有成立，必须使得不等式左边的最大值小于或等于右边的最小值，当时不等式左边取得最大值，时不等式右边取得最小值，解得因此，的最大值为 9分（3）证明（法一）：当时，根据（1）的推导有，时，即 10分令，得， 化简得， 13分14分（法二）数学归纳法：当时，左边=，右边=，根据（1）的推导有，时，即令，得，即 因此，时不等式成立 10分（另解：，即）假设当时不等式成立，即，则当时,，要证时命题成立，即证，即证 在不等式中，令，得 时命题也成立 13分根据数学归纳法，可得不等式对一切成立 14分17