广义S-α1型块对角占优矩阵的判定及其谱分析.pdf

Advances in Applied Mathematics 应用数学进展应用数学进展,2023,12(8),3619-3630 Published Online August 2023 in Hans.https:/www.hanspub.org/journal/aam https:/doi.org/10.12677/aam.2023.128360 文章引用文章引用:朱开心,庹清,黄琦.广义 S-1型块对角占优矩阵的判定及其谱分析J.应用数学进展,2023,12(8):3619-3630.DOI:10.12677/aam.2023.128360 广义广义S-1型块对角占优矩阵的判定及其谱分析型块对角占优矩阵的判定及其谱分析 朱开心朱开心，庹庹 清清*，黄，黄 琦琦 吉首大学数学与统计学院，湖南 吉首 收稿日期：2023年7月18日；录用日期：2023年8月8日；发布日期：2023年8月17日 摘摘 要要 利用利用G-函数的性质研究了一类新的广义块对角占优矩阵及其判定方法函数的性质研究了一类新的广义块对角占优矩阵及其判定方法。同时同时，利用该判定方法给出了分利用该判定方法给出了分块矩阵特征值新的包含域块矩阵特征值新的包含域。最后最后，用数值算例说明了该判定方法的优越性用数值算例说明了该判定方法的优越性。关键词关键词 块块H-矩阵，矩阵，G-函数函数，特征值，广义，特征值，广义S-1型块对角占优矩阵型块对角占优矩阵 The Determination and Spectrum of Generalized S-1 Block Diagonally Dominant Matrices Kaixin Zhu,Qing Tuo*,Qi Hung College of Mathematics and Statistics,Jishou University,Jishou Hunan Received:Jul.18th,2023;accepted:Aug.8th,2023;published:Aug.17th,2023 Abstract A new class of generalized block diagonally dominant matrix and its determination method are studied by using the properties of G-function.At the same time,a new bound for eigenvalues of block matrices was given and some examples are given to show the advantages of this new result.Keywords Block H-Matrix,G-Function,Eigenvalue,Generalized S-1 Block Diagonally Dominant Matrix *通讯作者。朱开心 等 DOI:10.12677/aam.2023.128360 3620 应用数学进展 Copyright 2023 by author(s)and Hans Publishers Inc.This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License(CC BY 4.0).http:/creativecommons.org/licenses/by/4.0/1.引言引言 在矩阵理论的研究中，矩阵分块技术有着广泛的应用。1962 年，Feingold 和 Varga 1首次提出了分块矩阵的对角占优性，吸引众多学者对此进行了颇有价值的推广与改进。文献2-9，主要利用了 G-函数的性质研究了 I-型块对角占优矩阵和 II-型块对角占优矩阵的对角占优性，并对块 H-矩阵的特征值包含域进行了分析，说明了分块矩阵与原矩阵之间联系密切，通过矩阵分块对原矩阵进行降阶处理，降低计算的难度。文献10-14，研究了块 H-矩阵的多种等价条件，对块 H-矩阵的判定作了更进一步的改进和推广。其中文献10 11 12，给出了严格-型块对角占优矩阵的等价条件，文献13和14更是给出了严格-双块对角占优矩阵的等价条件，从而得到了块 H-矩阵新的判据。文献2改进了文献3的主要结论，并给出了 S-型块对角占优矩阵的特征值包含域。通过数值算例说明了 S-型块对角占优矩阵比双块对角占优矩阵的特征值包含域更小。文献6叙述了多种 H-矩阵与其等价的特征值包集合的等价关系，并且说明了 H-矩阵的判定范围越广，与其等价的特征值包含范围越小。同样，这种关系也普遍存在于块 H-矩阵与其特征值包含域之间。本文在文献2的基础上，结合文献6和15中描述的等价关系，讨论了一类块 H-矩阵新的判定方法以及等价的特征值包含域。最后，通过数值算例说明了新判定条件的有效性和广泛性。2.记号与相关定理定义记号与相关定理定义 为叙述方便，引入记号：设()()ijnAaMC=，且分块如下 111212122212mmmmmmAAAAAAAAAA=.(1)其中()iijnAMC且非奇异，1miinn=，1,2,iMm=。对,i jM给出定义()iijjiiRARA=和()iijjiiCACA=，记()A为矩阵 A 的谱，为任意的矩阵诱导范数。定义分块矩阵 A 的块比较矩阵()()m mijm mtATR=，其中 11,iiijijAijti jMAij=.故可定义其范数矩阵为 111111221212121211mmmmmmAAAAAAAAAA=.Open AccessOpen Access朱开心 等 DOI:10.12677/aam.2023.128360 3621 应用数学进展 记 S 是 M 的任意非空子集，S是 M 中 S 的补集，即,S SM，SS=，SSM=。对iS，设(),SSiit S titiAARR=，()SSiit SitAARR=，(),SSiit S ttiiAACC=，()SSiit StiAACC=，故有SSiiiRRR=+，SSiiiCCC=+。另设(),Siitt S t iAra=，()Siitt SraA=，(),Sitit S t iAca=，()Sitit ScaA=，同样有()()()SSiiiAArArr=+，()()()SSiiiAAcAcc=+。定义 1 1设()()ijnAaMC=且分块如式(1)，若有()11iiiAR,则称 A 为(严格)块对角占优矩阵，记为()ABD BSD。如果存在一个 m 阶正对角矩阵 X 使得AXBSD，即若存在()12,mXdiag x xx=，iM，0ix 使得 11,ijjiiijjMAiAxx,则称 A 为块 H-矩阵，记为ABH。定义 2 5记()12,nffff=为 n 维实函数集，其中()():infAMCR+(其中R+为非负实数集)且仅依赖于矩阵 A 的非对角元的模。若任意满足()iiiaAf，1,2,in=的()nAMC非奇异，则称 f 是一个 G-函数，记为nfg。显然，若()ifA为下列之一，则()12,nnffffg=：()iijj ifaA=;()jiijj iixfaxA=,12,0nx xx;()()1iijjij iijfaaA=+,0,1;()1iijjij iijfaAa=,0,1.定义 3 7设()()ijnAaMC=且分块如式(1)，若存在nfg，使得()()11,iiiAf TiAM,则称ABGD；若存在nfg，使得()()()()1111,iijjijfAAAATfTi jM,则称ABLGD。定义 4 8设()()ijnAaMC=且分块如式(1)，若存在0,1，使得()11,1iiiiRCAiM+,则称 A 为严格1型块对角占优矩阵，记为1-ABSD。定义 5 8设()()ijnAaMC=且分块如式(1)，若存在0,1，使得()()()111,iiiiARCiM,朱开心 等 DOI:10.12677/aam.2023.128360 3622 应用数学进展 则称 A 为严格2型块对角占优矩阵，记为2-ABSD。引理 1 8设()()ijnAaMC=且分块如式(1)，若矩阵 A 满足1-ABSD或2-ABSD，则 A 是一个块 H-矩阵。引理 2 2设()()ijnAaMC=且分块如式(1)，若,S SM，SS=，SSM=，iS 有11SiiiAR成立(或jS，有11jSjjAR成立)，使得 1111,SSSSiiijjjijARARR RiSjS 则称矩阵 A 为严格 S-型块对角占优矩阵，记为-AS BSD。引理 3 2设()()ijnAaMC=且分块如式(1)，若矩阵 A 为满足-AS BSD，则 A 是一个块 H-矩阵。引理 4 2设()()ijnAaMC=且分块如式(1)，若,S SM，SS=，SSM=，则 A 的所有特征值均位于如下区域之中：()()31miiSSSSiGGGAG=,其中()11iSSiinii SGzCzIAR=,()11jSjjnjSj SGzCzIAR=,()()1111,ijSSSSiinijjnjijSSi S j SGzCzIRzIARR RA=.引理 3 至引理 5 为文献2的主要结果，本文在此基础上，利用不等式的放缩技巧使得块 H-矩阵的可判定范围进一步扩大，相反的，与其对应的矩阵特征值所在区域会更加精确。从而对文献2的主要结果进行了推广和改进。3.主要结果主要结果 3.1.定理定理 1 设()()ijnAaMC=且分块如式(1)，若存在,S SM，SS=，SSM=。iS，有11SiiiRA(或jS，有11SjjjAR)且0,1，对iS，jS 有()()1111+11SSSSSSiiijijjjjiRRARCRCA+,(2)则称矩阵 A 为严格1-S型块对角占优矩阵，记为1-ASBSD，且ABH。证明证明 当1=时，显然有 1111SSSSiiijjjijARARR R,即为引理 3。朱开心 等 DOI:10.12677/aam.2023.128360 3623 应用数学进展 当1时，假设定理成立，即存在0iS有 0 0011Si iiAR,则对jS，由式(2)不难得出()()0 00001111+10,1SSi iijjjSSSSijjiRRRCRCAA+即有 110,SjjjRjAS (3)则对iS，jS，有()()1111+011,SSiiijjjSSSSijjiRRRCACAR+由式(2)可知，以下结论成立 110,.SiiiRiAS (4)同理，若存在0jS 有0 0011Sj jjAR，同样可证得式(3)和式(4)成立。取 d 满足()()1111minmax01+1SSSiiijiSSi Sj SSijjjjRRCQdRCRAA+,(5)故d +，构造12,mDdiag d dd=，其中 1,iiSddiS=且由式(3)(5)可知 D 为正对角矩阵，则令()()ijm mBT A Db=。当iS 时，有()()()()()()()11+1+1,+01SSiiiiiiSSijSSijSSijbrRBAAdBBdRCdRCrc=对于矩阵 B 满足对iS，且()SiiibBr有()()()()1SSSiiiijbrrBBBc+.(6)朱开心 等 DOI:10.12677/aam.2023.128360 3624 应用数学进展 假设矩阵 B 是奇异矩阵，即存在非零向量mxC，使得 0Bx=或满足/,iiiittt Mib xb xiM=,显然SM，有 max,itxxiStM ,即有,iiiittijjt S t ij SbxbxbxiSjS+,对iS，可变形为()Siiiiiijjj SbxrB xbx+,()()Siiiiijjj SbrxbxB,利用 Holder 不等式，可以得到()()()()111111111.Siiiiijijjj Sijijjj Sj SSiijjj SbrxbbxbbxBrxBb=(7)(i)假设iS，使得()0SirB=，则式(7)恒有()()0SiiiiBbrx,成立，这与式(6)相矛盾。故在此情况下，矩阵 B 是非奇异的。(ii)对iS，()0SirB，均有()()()()111SiiiiijjSj SibrxbxrBB,等价地有()()()()1111111Siiiiijjj SSibrxbxrBB,不等式两边对所有的iS求和，得到()()()()()111111111SiiiSiijjjji Si S j Sj SSibrxbcxrBBBx=,因此，至少存在一个0iS使得 朱开心 等 DOI:10.12677/aam.2023.128360 3625 应用数学进展 ()()()()()0 000111Si iiSjSiBbcrBBr,成立。再由 Young 不等式可以得出()()()()()()()()()0 000011SSSSSi iiijijBBBbrrcrBcB+,但这与式(6)相矛盾，因此矩阵 B 是非奇异的。为了证明矩阵 B 为 H-矩阵，设11BDB=，其中11122,mmdbDiag bb=，现只需证()1111D B。不妨设矩阵111D B存在一个特征值，满足1，那么矩阵()111111DBIDDB=将满足式(6)，因此B 为非奇异矩阵。但是这与 是矩阵111D B的一个特征值相矛盾。由()1111D B=+同理可证得对jS，矩阵 B 是非奇异 H-矩阵。综上，()BTDA=为广义1-S型对角占优矩阵，且为非奇异 H-矩阵，故存在一个正对角矩阵12,mDdiag d dd=，使得BD为严格对角占优矩阵。令12,mrrrIIdiaIgI=，121122,mrrmmrDDD Idiag d dd dd dIII=，则AD为严格块对角占优矩阵，从而ABH。3.2.定理定理 2 设()()ijnAaMC=且分块如式(1)，若存在,S SM，SS=，SSM=。满足1-ASBSD，则矩阵 A 中所有特征值包含域可以用以下集合表示()()011miiSMSiGAGGAG=,其中()()11iSiini SSiGzCAzIRA=,()()11jjjnSj SSjGzCAzIRA=,()()()()()()1111,+11.ijSSMiinijjnji S j SSSSSijjiGzCAzIRAAzIRARCRC=+朱开心 等 DOI:10.12677/aam.2023.128360 3626 应用数学进展 证明证明 假设 A 的特征值()G A，则iS，jS，有()11iSiiniRAI,()11jSjjnjRAI,且有()()()()11111.+1ijSSiinijjnjSSSSijjiAAIRIRRCRC+由定理 1 知nAIBH，又由文献1的引理 1 可知nAI是非奇异的，即 不是 A 的特征值，与假设矛盾。故定理 2 成立。4.数值算例数值算例 4.1.算例算例 1 考虑矩阵 A 15111211123214114211521120512111111719411232511225312111234923211111214317123212213219141221111525813112341221A=.将矩阵 A 作如下分块，并得其范数矩阵 11121314152122232531323334352441424444551525455353AAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAA=,111111222411331141213141521232531323435435142444511351525455AAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAA=.即将矩阵 A 划分成每个子块均为2 2阶的分块矩阵。令()()()1SSSiiijf TRRCA+=，,1,2,3,4,5i jM=。令1,2,4S=，3,5S=，取范数为矩阵的 2-范数。通过计算可以得 朱开心 等 DOI:10.12677/aam.2023.128360 3627 应用数学进展 ()1116,13A=,()2225.4372,13.5628A=,()3329.2915,18.7085A=,()4416.2679,19.7321A=,()5527.4721,18.5279A=.111112.9275A=,121.4142A=,134.7016A=,141.4142A=,156.2361A=;211.4142A=,112213.5048A=,234.1623A=,242.6180A=,253.6180A=;315.3028A=,325.4650A=,113315.9586A=,342.2361A=,351.4142A=;412.3028A=,423.5616A=,435.7016A=,114416.2042A=,455.3983A=;513.6180A=,523.4142A=,533.8643A=,545.1098A=,115517.8097A=.由此可得，矩阵 A 满足引理 2，且在0.3,1的区间内任取一个 都满足定理 1 为非奇异块 H-矩阵。通过引理 4 与定理 2 分别计算其特征值包含域可得：当1=时，矩阵 A 同时满足引理 2 和定理 1，通过引理 4 和定理 2 可求得()()()()()()()31111111,2,43,511111,2,45jjiimiiSSSSiSSiinjjnjiijSSSSnjjnjjiiiiiiiiGGGGzCzIRzCzIRzCzIRzIAAAR RARAA=;3,5j=()()()()()111111,2,43,511111,2,4;3,553.8643144.34205.8644jiijiiiinjjniijSSnjjnijiiijzCzIzCAAAAzIzCzIRzIRA=,为引理 4 中的结果，而对于定理 2，当1=时，可求得其与引理 4 中结果相同，即有()()31miiSMSiGGGGGA=.当0.3=时，矩阵 A 仅满足定理 1，故结合定理 2 有()()()()()()1111111,2,43,5111153.86431385.8.0049644jjiimiiSSSSiiinjjniijSSnjjiiniijiGGGGzCzIzCzIzCzAAAAAAIRzIR=1,2,4;3,5.ij=朱开心 等 DOI:10.12677/aam.2023.128360 3628 应用数学进展 当0=时，矩阵 A 对引理 2 和定理 1 均不成立，故不考虑。()()011miiSMSiGAGGAG=,即在可考虑的 的范围内，取交集。故有()()3GGAGG=.4.2.算例算例 2 考虑矩阵 A 120 1200.020.050.030.010.020.010.060.020.040.020.050.014.30.030.010.024.3IOOOOIOOIOOOOIOOOEEEEEEEAEEEEEIEEEIOO=,20 20100010001I=,20 201 111 11 1 11E=,20 20000000.000O=将矩阵 A 再作如下分块，并得其范数矩阵 111213212223313233AAAAAAAAAA=,112131212313131111322213AAAAAAAAAA=.即将矩阵 A 划分成每个子块均为4040阶的分块矩阵。令()()()1SSSiiijf TRRCA+=，,1,2,3i jM=。令1,2S=，3S=，取范数为矩阵的 2-范数。通过计算可以得出()111A=,()221A=,()334.3A=.1111A=,120.6A=,131.0797A=;210.4A=,11221A=,231.2806A=;310.6A=,321.0606A=,11334.3A=.当1i=，3j=时，有0,0.2使得()()()()()()1 0.64.31.079711.07971.28060.6 1.060610.6.+当2i=，3j=时，有0,1使得()()()()()()1 0.44.31.280611.07971.28060.6 1.060611.0606.+朱开心 等 DOI:10.12677/aam.2023.128360 3629 应用数学进展 可得当取0,0.2之间的数时，才能使以上不等式全部成立。取0.2=，由定理 1 中式(5)可得1,1,0.2790Ddiag=，再令 0.73,0.69,1Ddiag=。此时4040400.73,0.69,0.2790DdiagIII=，其中40I为4040阶单位矩阵。经计算范数矩阵A DD 0.73000.41400.30120.29200.69000.35730.43800.73181.1997A DD=,为严格块对角占优矩阵，故ABH。综上，在判定矩阵 A 是否为非奇异块 H-矩阵时，由 的可取范围为0,0.2，取不到1=，故引理3 的条件无法判定，即文献2的结果无法判定，而由定理 1 可以直接判定矩阵 A 为非奇异块 H-矩阵。同时，矩阵AD：0.70.1380.0140.70.02070.00280.00560.0070.690.01670.0140.690.01120.0140.03450.0691.19970.0210.0690.01381.1997IOOEOEOIEOEEOEIOEOADEOOIEOEOEEIOOEEEOI=,为对角占优矩阵。5.总结总结 本文证明了严格1-S型块对角占优矩阵为非奇异块 H-矩阵并提供了一种新的判定方法，并通过数值算例验证了结果的优越性。从数值算例 1 中可以看出与其等价的特征值包含域包含于文献2中给出的特征值包含域，从数值算例 2 可以看出其判定范围相比于文献2中的结果是更加广泛的。因此，本文结果在 S 类的块 H-矩阵中可判定范围更加广泛，特征值包含域也更加精确，其部分线性可加模型，拓展了研究的思路。致致 谢谢 感谢庹清老师对本项目的悉心指导和帮助，在此对老师表示由衷的感谢！基金项目基金项目 国家自然科学基金项目(11461027)；湖南省研究生科研创新项目(CX20231071)。参考文献参考文献 1 Feingold,D.and Varga,R.(1962)Block Diagonally Dominant Matrices and Generalizations of the Gerschgorin Circle Theorem.Pacific Journal of Mathematics,12,1241-1250.https:/doi.org/10.2140/pjm.1962.12.1241 2 Liu,J.Z.and Huang,Z.J.(2008)A Note on“Block H-Matrices and Spectrum of Block Matrices”.Applied Mathemat-ics and Mechanics,29,953-960.https:/doi.org/10.1007/s10483-008-0714-y 3 黄廷祝,黎稳.块 H-矩阵与块矩阵的谱J.应用数学和力学,2002,23(2):217-220.4 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