(新课标)2013高考数学-三轮必考热点集中营-热点22选修平面几何问题(教师版).doc

（新课标）2013高考数学 三轮必考热点集中营 热点22选修平面几何问题（教师版）
【三年真题重温】
【2011新课标全国理，22】【2011新课标全国文，22】选修4—1：几何证明选讲
如图，，分别为△的边，上的点，且不与△的顶点重合．已知的长为，的长为，，的长是关于的方程的两个根．
(Ⅰ) 证明：，，，四点共圆；
(Ⅱ) 若∠，且，，求，，，
所在圆的半径．

【2010新课标全国理，22】【2010新课标全国文，22】
如图，已经圆上的弧，过C点的圆切线与BA的延长线交于E点，证明：
（Ⅰ）；
（Ⅱ）.

【2012新课标全国理，22】【2012新课标全国文，22】
选修4-1：几何证明选讲
如图，分别为边的中点，直线交
的外接圆于两点，若，证明：
（1）；
（2）
【命题意图猜想】
2011年高考涉及到对证明四点故圆问题，可证对角互补或一外角等于内对角或通过证明其中三点与非这四点中另外两点分别在两个圆上，因这两个圆的由不共线的三个公共点，必重合而得证，求圆的半径注意利用圆的性质．2010年高考主要考查几何选讲中圆、三角形相似等知识，考查分析问题、解决问题的能力，属于基础题.2012年高考主要以圆为几何背景考查线线平行、相等的证明及相似三角形的证明，可以运用平行四边形的知识证平行、相等，运用相似三角形的基本证明方法求证.预测2013年高考很可能考查相交弦定理、圆内接四边形的性质定理与判定定理、切割线定理为工具解决问题的能力.
【最新考纲解读】
1．复习相似三角形的定义与性质，了解平行截割定理，证明直角三角形射影定理．
2．证明圆周角定理、圆的切线的判定定理及性质定理．
3．证明相交弦定理、圆内接四边形的性质定理与判定定理、切割线定理.
【回归课本整合】
一、相似三角形
1．相似三角形
(1)定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形，相似三角形对应边的比值叫做相似比(或相似系数)．
(2)判定
①判定定理1　两角对应相等的两个三角形相似．
判定定理2　三边对应成比例的两个三角形相似．
判定定理3　两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似．
②如果两个直角三角形有一个锐角对应相等，那么它们相似．
如果两个直角三角形的两条直角边对应成比例，那么它们相似．
如果一个直角三角形的斜边与一条直角边和另一个直角三角形的斜边与一条直角边对应成比例，那么这两个三角形相似．
(3)性质
①性质定理1　相似三角形对应边上的高、中线和它们周长的比都等于相似比．
②性质定理2　相似三角形面积的比等于相似比的平方．
相似三角形对应角的平分线的比，外接圆直径的比、周长的比，内切圆直径的比、周长的比都等于相似比．
相似三角形外接圆面积的比，内切圆面积的比都等于相似比的平方．
2．平行截割定理
平行截割定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．
推论：平行于三角形一边的直线截其它两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例．
3．直角三角形的射影定理：
若Rt△ABC斜边AB上的高为CD，则CD2＝AD·BD，BC2＝BD·AB，AC2＝AD·AB.
二、圆幂定理与圆锥截线
1．圆的切线
(1)切线判定定理　经过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
(2)切线性质定理　圆的切线垂直于经过切点的半径．
①经过圆心且垂直于切线的直线必过切点．
②经过切点垂直于切线的直线必经过圆心．
推论1　从圆外一点所引圆的两条切线长相等．
推论2　经过圆外一点和圆心的直线平分从这点向圆所引两条切线的夹角．
(3)内切圆、旁切圆　与一个三角形三边都相切的圆，叫做这个三角形的内切圆；与三角形的一边和其它两边的延长线都相切的圆，叫做三角形的旁切圆．
2．圆心角定理
圆心角的度数等于它所对的弧的度数．
3．圆周角定理
圆周角的度数等于它所对弧的度数的一半．
推论1　直径(或半圆)所对的圆周角都是直角．
推论2　同弧或等弧所对的圆周角相等．
推论3　等于直角的圆周角所对的弦是圆的直径．
4．弦切角定理
弦切角的度数等于它所夹的弧的度数的一半．
推论：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角．
5．圆幂定理
(1)相交弦定理　圆的两条相交弦被交点分成的两条线段长的积相等．
(2)切割线定理　从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆的交点的两条线段长的比例中项．
(3)割线定理　从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等．
圆幂定理　已知⊙(O，r)，通过一定点P，作⊙O的任一条割线交圆于A、B两点，则PA·PB＝定值k.
①当点P在圆外时，k＝PO2－r2，②当点P在圆内时，k＝r2－OP2，③当点P在⊙O上时，k＝0，通常把这里的定值k称作点P对⊙O的幂．
6．圆内接四边形
(1)圆内接四边形性质定理
①对角互补．②外角等于它的内对角
(2)圆内接四边形判定定理
如果一个四边形的一组对角互补，那么这个四边形内接于圆．
推论　如果四边形的一个外角等于它的内对角，那么这个四边形四个顶点共圆．
【方法技巧提炼】
1．辅助线作法：
几何证明题的一个重要问题就是作出恰当的辅助线，相似关系的基础就是平行截割定理，故作辅助线的主要方法就是作平行线，见中点取中点连线利用中位线定理，见比例点取等比的分点构造平行关系，截取等长线段构造全等关系，立体几何中通过作平行线或连结异面直线上的点化异为共等等都是常用的作辅助线方法．
2．比例的性质的应用
相似关系的证明中，经常要应用比例的性质：
若＝，则①＝；②ad＝bc；③＝；④＝；⑤＝；⑥＝.
3．同一法：先作出一个满足命题结论的图形，然后证明图形符合命题已知条件，确定所作图形与题设条件所指的图形相同，从而证明命题成立．
4.证明多点共圆，当两点在一条线段同侧时，可证它们对此线段张角相等，也可以证明它们与某一定点距离相等；如两点在一条线段异侧，则证明它们与线段两端点连成的凸四边形对角互补．
5.与圆有关的比例线段
(1)应用相交弦定理、切割线定理要抓住几个关键内容：如线段成比例与相似三角形、圆的切线及其性质、与圆有关的相似三角形等．
(2)相交弦定理、切割线定理主要是用于与圆有关的比例线段的计算与证明．解决问题时要注意相似三角形知识及圆周角、弦切角、圆的切线等相关知识的综合应用．
【考场经验分享】
1．应用相似三角形的性质时，对应量必须找准(对应边，对应角，对应边上的高、中线，对应的角平分线等等)，牢牢把握对应角对的边是对应边，对应边对的角是对应角．
2．判定两三角形相似时，可以用三边对应成比例，也可以用两角对应相等(只要两角对应相等，第三个角也对应相等)．但两边对应成比例时，必须有夹角相等的条件．
3．等弧对等弦、对等圆心角、对等圆周角、对等弦切角的前提是同圆或等圆．
4．相交弦定理、切割线定理、割线定理、切线长定理统称为圆幂定理：圆的两条弦或其延长线若相交，各弦被交点分成的两条线段长的积相等.当两交点在圆内时为相交弦定理，当两交点在圆外时为割线定理，两交点重合时为切线，一条上两点重合时为切割线定理，两条都重合时为切线长定理，应用此定理一定要分清两条线段是指哪两条．
【新题预测演练】
1.【东北三省三校2013届高三3月第一次联合模拟考试】（本小题满分10分）
选修4 - 1：几何证明选讲
如图，圆O的半径OC垂直于直径AB，弦CD交半径OA于E，过D的切线与BA的延长线交于M。
（1）求证：MD = ME；
（2）设圆O的半径为1，MD = ，求MA及CE的长。

2.【河北省唐山市2012—2013学年度高三年级第一次模拟考试】请考生在第（22)，（23), (24)三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一 题记分.作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑.
(22)(本小题满分10分）选修4-1:几何证明选讲
如图，直线MN交圆O于A，B两点，AC是直径，AD平分M，交圆0于点D, 过D作DE上MN于E.
(I)求证：DE是圆O的切线：
(II)若 DE=6，AE=3,求ΔABC 的面积

3. 【2013年石家庄市高中毕业班复习教学质量检测（二）】选修4-1几何证明选讲
如图，AB是O的直径，BE为圆0的切线，点c为o 上不同于A、B的一点，AD为的平分线，且分别与BC 交于H，与O交于D，与BE交于E，连结BD、CD.
(I )求证:BD平分
（II）求证：AH•BH=AE•HC

4. 【2013届贵州天柱民中、锦屏中学、黎平一中、黄平民中四校联考】
如图，已知PA与圆O相切于点A，经过点O的割线PBC交圆O于点B、C，的平分线分别交AB、AC于点D、E，
（Ⅰ）证明：；
（Ⅱ）若AC=AP，求的值。
5. 【江苏省南通市2013届高三第二次调研测试】选修4－1：几何证明选讲
如图，是⊙的直径，是⊙上的两点，⊥，
过点作⊙的切线FD交的延长线于点．连结交
于点.
求证：.

6. 【宁夏回族自治区石嘴山市2013届高三第一次模拟】
如图，已知⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，过点A作⊙O1的
切线交⊙O2于点C，过点B和两圆的割线，分别交⊙O1、
⊙O2于点D、E，DE与AC相交于点P。
（1）求证：AD∥EC；
（2）若AD是⊙O2的切线，且PA=6，PC=2，BD=9，求AD的长。
7. 【河北省邯郸市2013年高三第一次模拟考试】
如图所示，PA为0的切线,A为切点，PBC是过点O的割线，PA =10,PB =5.(1)求证：;
(2)求AC的值.
8. 【2013年乌鲁木齐地区高三年级第一次诊断性测验试卷】如图，AB是的直径，AC是弦，直线CE和切于点C， AD丄CE，垂足为D.
(I) 求证:AC平分；
(II) 若AB=4AD，求的大小.
9. 【河北省唐山市2012—201 3学年度高三年级期末考试】
如图，⊙O是△ABC的外接圆，D是的中点，BD交AC于点E．
（I）求证：CD2=DE2=AE×EC;
（II）若CD的长等于⊙O的半径，求∠ACD的大小．

10. .【2013年长春市高中毕业班第一次调研测试】
如图，已知⊙O和⊙M相交于A、B两点，AD为⊙M的直径，直线BD交⊙O于点C，点G为中点，连结AG分别交⊙O、BD于点E、F，连结CE．
⑴ 求证：；
⑵ 求证：
11. 【云南师大附中2013届高三适应性月考卷（三）】【选修4—1：几何证明选讲】
如图6，在正△ABC中，点D,E分别在边AC, AB上，且AD=AC， AE= AB，BD，CE相交于点F。
（I）求证：A，E，F，D四点共圆；
（Ⅱ）若正△ABC的边长为2，求，A，E，F，D所在圆的半径．
12. 【河北省唐山市2012-2013学年度高三年级摸底考试】
如图，圆O的圆心O在Rt△ABC的直角边BC上，该圆与直角边AB相切，与斜边
AC交于D，E，AD＝DE＝EC，AB＝。
（I）求BC的长；
（II）求圆O的半径。
解：

（Ⅱ）设圆O与BC的交点为F，圆O的半径为r．
由割线定理，得CF·CB＝CE·CD＝AC·AC＝AB2， …8分
即(7－2r)×7＝14，解得r＝． …10分