高中集合知识中数学思想方法的教学研究.pdf

投稿邮箱院数学教学通讯2023 年 7 月（下旬）教研在线41投稿邮箱院数学教学通讯 2023 年 7 月（下旬）学中的一些动态问题.渊2冤数形结合思想方法.在高中数学中袁数学研究对象通常分为野数冶与野形冶两部分袁两者间存在一定的联系.因此袁借助野数冶来阐明野形冶的特性袁或者利用野形冶来表达野数冶的关系袁就是数形结合思想方法的应用.掌握数形结合思想方法袁学生可以有效提高抽象思维能力和形象思维能力袁提升数学素养.渊3冤分类与整合思想方法.分类指的是当问题包含多种情况不能统一研究时袁需要按照一定的划分标准对问题进行分类研究.而整合指的是对问题进行分类讨论后袁需要综合并检验所得结论袁从而得到解决问题的最终结果.掌握分类与整合思想方法袁有利于学生以更全面的眼光看待事物咱1暂.渊4冤化归与转化思想方法.化归与转化思想方法指的是在解决较难的问题时没有思路袁通过对问题的观察尧分析袁运用适当的原则和方法将较难的问题转变为较熟悉或简单的问题进行解决的思想方法.掌握化归与转化思想方法袁学生可以不断突破尧不断发展袁以已有的知识和经验解决未知问题.渊5冤特殊与一般思想方法.特殊与一般思想方法指的是当面对一些较抽象或难以解答的问题时袁通过取特殊值或用特殊方法去解决袁或者根据特殊问题推导出一般结论的思想方法.学生一旦掌握特殊与一般思想方法袁就可以利用规律解决新问题袁也可以通过个例推导出一般规律袁从而有效提高解题效率.渊6冤有限与无限思想方法.有限与无限思想方法指的是把问题中的无限情况转化成有限情况来解决袁或将有限情况转化为无限情况来解决的思想方法.学生一旦掌握有限与无限思想方法袁就可以加深知识理解袁扩大知识面.渊7冤或然与必然思想方法.或然与必然思想方法指的是在概率事件中袁利用偶然规律寻找必然袁或者利用必然事件解决偶然事件的思想方法.掌握或然与必然思想方法袁学生可以运用或然与必然的辩证关系解决实际问题.2.数学思想方法的研究情况古希腊几何学家欧几里得在亚里士多德三段论的基础上创作了叶几何原本曳袁系统描述了公理化方法.德谟克利特在古希腊唯物主义哲学家留基伯的研究基础上发明了野无穷小分析法冶袁 阿基米德在古希腊诡辩论者安提丰发明的野穷竭法冶的影响下发明了定积分.这些方法和结论都蕴含着一个非常重要的数学思想方法要要要极限思想方法.古希腊的数学家将数学和哲学融为一体袁以哲学理论推动着数学的发展袁并由此发现了一系列数学思想方法.美国数学家M窑克莱因编写了叶古今数学思想曳袁阐述了数学思想方法发展的历史曰日本数学家米山国藏的著作叶数学的精神尧思想和方法曳则系统论述了贯穿数学的思想方法.此外袁国外还有许多学者对数学思想方法进行了细致研究袁这些研究成果对我国的数学发展产生了重要影响.我国东汉初年编订的数学经典著作叶九章算术曳确定了我国古代数学的框架袁它的出现标志我国古代数学形成了完整的体系袁在算术尧几何和代数等方面均有涉及.徐利治教授编写的叶数学方法论选讲曳叶数学方法论教程曳等著作袁强调数学思想方法在我国中学数学中的重要性曰郑毓信教授发表的叶数学方法论曳叶数学方法论入门曳等著作则从不同维度对数学方法的教育进行了阐述.此外袁国内还有非常多优秀的学者对数学思想方法进行了研究袁并运用到了中学数学教学中袁为我国的数学教育做出了非常大的贡献.高中集合知识的研究情况1.集合知识的教材分析以人教A版数学必修第一册教材渊2019年版冤渊下文简称教材冤为例袁集合知识集中于第一章袁主要包含集合的概念尧集合间的基本关系和集合的基本运算三部分.集合是高中数学引入的第一个概念袁是贯穿整个高中数学的语言袁与后续学习的不等式尧函数尧几何等高中数学知识有着密切联系.学好集合能够帮助学生在生活中运用数学语言解决问题袁也能够为之后的高中数学学习打下良好的基础.2.集合知识蕴含的数学思想方法单纯的集合知识不难理解袁但是集合知识与其他数学知识相结合的综合题常常令学生手足无措.只有将数学思想方法融于所学的数学知识中袁让学生发现知识间的内在联系袁才能帮助学生更好地理解知识袁提升学生的数学素养袁促进学生全面发展.渊1冤分类与整合思想方法.在与集合有关的知识中袁蕴含着分类与整合思想方法.例1 集合A=喳x x2-6x+8=0札袁B=喳x x2-4kx+4k2=0札袁若A疑B=B袁B不为空集袁求实数k.分析 由题目得知袁集合A是可求的袁即求出方程x2-6x+8=0的解袁得到集合A=喳2袁4札.通过对集合B的分析可以发现集合B=喳2k札.因为A疑B=B袁说明B在A的范围教研在线42投稿邮箱院数学教学通讯2023 年 7 月（下旬）教研在线内曰又B不为空集袁所以需要对集合B进行分类讨论.当2k=2时袁集合B=喳2札符合条件袁此时k=1.当2k=4时袁集合B=喳4札符合条件袁此时k=2.通过检验发现上述两种情况都符合条件袁因此实数k的值为1或2.渊2冤函数与方程思想方法.在集合综合题中袁通常包含一些含有未知数的代数式袁因此就需要学生运用函数与方程思想方法袁通过建立方程求解.例2 已知集合A=喳3袁2袁a2+4a札袁集合B=喳4袁a+1袁a2+2a+2袁a2-9札袁且A疑B=喳2袁5札袁求A胰B.分析 因为A疑B=喳2袁5札袁所以5沂A曰而集合A中已有2和3袁因此可以推出集合A中含未知数的式子等于5袁即a2+4a=5袁求得a=-5或1.当a=-5时袁可以求得集合B=喳4袁-4袁17袁16札袁此时A疑B=袁不符合题目条件.当a=1时袁可以求得集合B=喳4袁2袁5袁-8札袁此时A疑B=喳2袁5札袁符合题目条件.通过检验舍去第一种情况袁因此a=1.最后求得A胰B=喳-8袁2袁3袁4袁5札.渊3冤数形结合思想方法.若与集合相关的题目过于抽象袁则可以结合图形进行求解.例3 设U=喳1袁2袁4袁5袁6札袁A袁B为U的子集袁若A疑B=喳2札袁渊CUA冤疑B=喳4札袁渊CUA冤疑渊CUB冤=喳1袁5札袁 则下列结论正确的是_.A.6埸A袁6埸BB.6埸A袁6沂B C.6沂A袁6埸BD.6沂A袁6沂B分析 由于题目条件较多袁且较抽象袁无法直接得出结论袁因此可以借助韦恩图进行解答.由图1可知袁当6既不属于A又不属 于B时 袁则6在 两 圆 之 外 袁此 时渊CUA冤疑渊CUB冤=喳1袁5袁6札袁不符合题目条件.当6属于A也属于B时袁则6在两圆的交叉处袁此时A疑B=喳2袁6札袁也不符合题目条件.当6不属于A属于B时袁则6在B中且不在两圆交叉处袁此时渊CUA冤疑B=喳4袁6札袁同样不符合题目条件.当6属于A不属于B时袁6在A中且不在两圆交叉处袁符合题目条件.因此答案为C.1袁5A24B图1关于例3的韦恩图渊4冤转化与化归思想方法.在解答较难的集合综合题时袁可以转换角度袁以较熟悉的方式解决问题咱2暂.例4 已知集合A=喳x x2+4x-5=0札袁集合B=喳x mx-5=0札袁且A胰B=A袁求m的值.分析 由题目可知袁A胰B=A等价于B哿A袁即集合B是集合A的子集袁因此可以先从集合A入手.求集合A的元素即求方程x2+4x-5=0的解袁可得集合A=喳-5袁1札.接下来进行分类讨论.当B为时袁m=0袁满足题意.当B不为时袁又分以下两种情况院当B=喳-5札时袁-5m-5=0袁求得m=-1曰当B=喳1札时袁m-5=0袁求得m=5.综上所述袁m=5或-1或0.集合知识的教学现状和学习现状1.集合知识的教学现状笔者通过对某地区部分高中数学教师的访谈袁发现其在集合知识的教学中存在一些问题袁之后对这些问题进行了整理归纳.结合对文献资料的整理袁与上述结论进行了比对袁归纳出以下几个方面.渊1冤忽视了集合内容的重要性.在访谈和文献查阅中发现袁部分教师认为集合知识比较简单袁讲解得较快袁且在之后的章节中也没有格外强调集合语言的重要性咱3暂.这导致学生无法充分理解集合知识袁也无法发挥主观能动性袁同时把集合知识与其他数学知识割裂开来袁使学生解答集合综合题时比较茫然袁不知道如何下笔.渊2冤集合教学为应试服务.部分教师在集合知识讲解中特别关注与考试相关的题目袁更注重考试题型和解题技巧袁同时只从成绩上考查学生理解集合知识的情况.这使得学生盲目关注解题袁而忽略了集合语言的真正内涵.渊3冤集合知识的讲解过于单调.集合知识是高中数学的第一个概念袁有着非常重要的意义.且集合是一门数学语言袁学习并理解集合对学生的数学思想方法的发展有着非常大的帮助.但是部分教师讲解集合知识时既没有注重导入环节袁又比较单调袁例题的设置与现实生活缺乏联系袁这样的教学方式很难让学生提起对集合知识的兴趣袁自然无法激发学生的学习动力.渊4冤对教材的研究不够透彻.新课标提到袁高中数学要以发展学生的数学学科素养为导向袁创设合适的教学情境.但当前的教育环境下袁一些教师对教材的研究还不够透彻袁掌握不到可以有效促进学生理解数学知识尧发展学生数学学科素养的方法袁因此也就无法有效展开集合知识的教学.43投稿邮箱院数学教学通讯 2023 年 7 月（下旬）2.集合知识的学习现状通过对某地区部分高中生的访谈和问卷调查袁以及对高中生集合习题完成情况的研究袁发现其在集合知识学习中存在一些问题袁之后对这些问题进行了整理归纳.渊1冤对集合知识理解困难.学生对集合概念不清楚袁理解困难袁具体表现在院淤子集和真子集的概念曰于常见数集的分类及字母表示曰盂属于关系和包含关系的概念曰榆集合的基本运算曰虞空集与含野0冶元素集合的概念区别曰愚补集的概念.渊2冤对集合知识应用困难.部分学生虽然对集合概念有了一定的了解袁但是无法用合适的集合知识解决问题袁具体表现在院淤知道交集尧并集尧补集的概念袁但是混合运算存在困难曰于对有关集合的综合题无从下手曰盂求解子集问题时容易忽略空集的存在.渊3冤对集合要素把握不深.学生对集合要素把握不深袁特别是集合的互异性.当提到集合三要素时袁学生容易回忆起野确定性尧无序性和互异性冶袁但求解一些含代数式的集合时袁部分学生通常会得到含相同元素的集合作为最终答案袁这说明他们对集合三要素并没有完全理解.渗透数学思想方法的集合教学策略1.深入研究教材袁更新教学理念集合知识在教材的第一章袁内容比较基础袁但如何让学生从中掌握集合语言袁运用集合语言对数学内容进行描述是一项艰巨的任务咱4暂.教师要重视集合知识的重要性袁在进行集合教学前要深入理解教材的编排意义袁对集合知识有一个整体把握袁这样才能在课堂教学中有条不紊地将知识传递给每一位学生.通过近几年的高考试题研究袁可以发现高考题目的设置不再着重考虑学生的解题技巧和机械运算袁而是更关注学生对试题的理解能力.因此袁教师需要持续更新教学理念袁在进行集合知识教学时要重视数学思想方法与集合知识的结合.比如袁在传递数形结合思想时袁教师可以利用多媒体技术展示相关图形的制作袁让学生直观感受数形结合的作用.又比如袁 在传递化归与转化思想方法时袁教师可以组织学生就集合综合题展开讨论袁让每一位学生根据题目谈谈自己想到的知识袁这样可以有效提高学生思考问题的灵活性.2.创设学习情境袁融入数学史如果教师讲授集合知识时过于单调袁只是一味地讲解概念袁那么学生学习数学的热情就会大大降低袁数学思想方法也就无法顺利地传递给学生.这就决定教师在教学时要根据知识不断创设学习情境袁渗透数学思想方法袁将集合知识与生活实际相结合袁加深学生对集合知识的理解.在后续如不等式尧函数等知识的教学中袁也可以创设用集合语言进行表述的问题袁 促使学生复习集合知识袁对集合知识有更加深刻的了解.数学史是数学的一部分袁在教学中融入数学史可以帮助学生了解数学发展的过程.教材的编排是符合逻辑结构和学习要求的袁但它舍弃了许多数学知识和方法形成的背景和过程袁 若学生只学习教材上的内容袁则难以了解数学全貌.这就需要教师在教学中融入数学史袁让学生体会数学发展的脉络袁了解数学知识产生的背景袁增加学习动力.3.课后及时总结袁归纳数学方法上完一节数学课后袁如果教师没有带领学生进行总结归纳袁那么学生脑海中的知识就显得杂乱无章.作为引导学生理解知识的主导者袁教师应在每节课结束后带领学生进行总结归纳袁 引导学生将知识串联起来袁从而加深学生对知识的记忆和理解.数学思想方法的掌握同样离不开总结归纳袁因此教师上完一节数学课后袁应带领学生对所学知识所蕴含的数学思想方法进行总结归纳.比如讲授完集合知识后袁可以将数学思想方法与对应的集合题相结合袁由此促进学生记忆袁之后教师再对集合知识所蕴含的数学思想方法进行罗列与归纳袁使学生在后续的解题过程中更加深刻地理解数学思想方法.结论新时代呼唤创新型人才袁而创新型人才的培养离不开数学思想方法的帮助.教师只有不断钻研教材袁改善教学方法袁以学生为主体袁从学生的思维角度出发袁才能有效帮助学生理解数学思想方法并学会在各领域中应用.参考文献院1杜红全.晒晒集合中常用的数学思想 J.数理化解题研究，2021（22）：2-3.2黄伟军，张勇平.数学思想方法在集合问题中的应用 J.广东教育（高中版），2011（09）：20-22.3张丽萍.高中数学集合的教学现状及对策研究 D.曲阜师范大学，2020.4陈丽华.从数学知识到数学思想的实现途径以“集合”知识的教学为例 J.数学大世界（上旬），2016（12）：11.教研在线44