动点产生的相切问题.doc

1.7 因动点产生的相切问题
例 1 2013年上海市杨浦区中考模拟第25题
如图1，已知⊙O的半径长为3，点A是⊙O上一定点，点P为⊙O上不同于点A的动点．
（1）当时，求AP的长；
（2）如果⊙Q过点P、O，且点Q在直线AP上（如图2），设AP＝x，QP＝y，求y关于x的函数关系式，并写出函数的定义域；
（3）在（2）的条件下，当时（如图3），存在⊙M与⊙O相内切，同时与⊙Q相外切，且OM⊥OQ，试求⊙M的半径的长．

图1 图2 图3
动感体验
请打开几何画板文件名“13杨浦25”，拖动点P在⊙O上运动，可以体验到，等腰三角形QPO与等腰三角形OAP保持相似，y与x成反比例．⊙M、⊙O和⊙Q三个圆的圆心距围成一个直角三角形．
请打开超级画板文件名“13杨浦25”，拖动点P在⊙O上运动，可以体验到， y与x成反比例．拖动点P使得，拖动点M使得⊙M的半径约为0.82，⊙M与⊙O相内切，同时与⊙Q相外切．拖动点P使得，拖动点M使得⊙M的半径约为9，⊙M与⊙O、⊙Q都内切．
思路点拨
1．第（1）题的计算用到垂径定理和勾股定理．
2．第（2）题中有一个典型的图，有公共底角的两个等腰三角形相似．
3．第（3）题先把三个圆心距罗列出来，三个圆心距围成一个直角三角形，根据勾股定理列方程．
满分解答
（1）如图4，过点O作OH⊥AP，那么AP＝2AH．
在Rt△OAH中，OA＝3，，设OH＝m，AH＝2m，那么m2＋(2m)2＝32．
解得．所以．
（2）如图5，联结OQ、OP，那么△QPO、△OAP是等腰三角形．
又因为底角∠P公用，所以△QPO∽△OAP．
因此，即．
由此得到．定义域是0＜x≤6．

图4 图5
（3）如图6，联结OP，作OP的垂直平分线交AP于Q，垂足为D，那么QP、QO是⊙Q的半径．
在Rt△QPD中，，，因此．
如图7，设⊙M的半径为r．
由⊙M与⊙O内切，，可得圆心距OM＝3－r．
由⊙M与⊙Q外切，，可得圆心距．
在Rt△QOM中，，OM＝3－r，，由勾股定理，得
．解得．

图6 图7 图8
考点伸展
如图8，在第（3）题情景下，如果⊙M与⊙O、⊙Q都内切，那么⊙M的半径是多少？
同样的，设⊙M的半径为r．
由⊙M与⊙O内切，，可得圆心距OM＝r－3．
由⊙M与⊙Q内切，，可得圆心距．
在Rt△QOM中，由勾股定理，得．解得r＝9．

例2 2012年河北省中考第25题
如图1，A(－5,0)，B(－3,0)，点C在y轴的正半轴上，∠CBO＝45°，CD//AB，∠CDA＝90°．点P从点Q(4,0)出发，沿x轴向左以每秒1个单位长的速度运动，运动时间为t秒．
（1）求点C的坐标；
（2）当∠BCP＝15°时，求t的值；
（3）以点P为圆心，PC为半径的⊙P随点P的运动而变化，当⊙P与四边形ABCD的边（或边所在的直线）相切时，求t的值．
图1
动感体验
请打开几何画板文件名“12河北25”，拖动圆心P在点Q左侧运动，可以体验到，⊙P可以与直线BC、直线DC、直线AD相切，不能与直线AB相切．
答案 （1）点C的坐标为(0,3)．
（2）如图2，当P在B的右侧，∠BCP＝15°时，∠PCO＝30°，；
如图3，当P在B的左侧，∠BCP＝15°时，∠CPO＝30°，．

图2 图3
（3）如图4，当⊙P与直线BC相切时，t＝1；
如图5，当⊙P与直线DC相切时，t＝4；
如图6，当⊙P与直线AD相切时，t＝5.6．

图4 图5 图6
例3 2012年无锡市中考模拟第28题
如图1，菱形ABCD的边长为2厘米，∠DAB＝60°．点P从A出发，以每秒厘米的速度沿AC向C作匀速运动；与此同时，点Q也从点A出发，以每秒1厘米的速度沿射线作匀速运动．当点P到达点C时，P、Q都停止运动．设点P运动的时间为t秒．
（1）当P异于A、C时，请说明PQ//BC；
（2）以P为圆心、PQ长为半径作圆，请问：在整个运动过程中，t为怎样的值时，⊙P与边BC分别有1个公共点和2个公共点？ 图一
动感体验
请打开几何画板文件名“12无锡28”，拖动点P由A向C运动，可以体验到，⊙P与线段BC的位置关系依次是相离没有公共点，相切只有1个公共点，相交有2个公共点，相交只有1个公共点，线段在圆的内部没有公共点．
请打开超级画板文件名“12无锡28”，拖动点P由A向C运动，可以体验到，⊙P与线段BC的位置关系依次是相离没有公共点，相切只有1个公共点，相交有2个公共点，相交只有1个公共点，线段在圆的内部没有公共点．
答案 （1）因为，，所以．因此PQ//BC．
（2）如图2，由PQ＝PH＝，得．解得．
如图3，由PQ＝PB，得等边三角形PBQ．所以Q是AB的中点，t＝1．
如图4，由PQ＝PC，得．解得．
如图5，当P、C重合时，t＝2．
因此，当或1＜t≤或t＝2时，⊙P与边BC有1个公共点．
当＜t≤1时，⊙P与边BC有2个公共点．

图2 图3 图4 图5