1、1.7 因动点产生的相切问题 例 1 2013年上海市杨浦区中考模拟第25题如图1，已知O的半径长为3，点A是O上一定点，点P为O上不同于点A的动点（1）当时，求AP的长；（2）如果Q过点P、O，且点Q在直线AP上（如图2），设APx，QPy，求y关于x的函数关系式，并写出函数的定义域；（3）在（2）的条件下，当时（如图3），存在M与O相内切，同时与Q相外切，且OMOQ，试求M的半径的长图1 图2 图3 动感体验请打开几何画板文件名“13杨浦25”，拖动点P在O上运动，可以体验到，等腰三角形QPO与等腰三角形OAP保持相似，y与x成反比例M、O和Q三个圆的圆心距围成一个直角三角形请打开超级画板
2、文件名“13杨浦25”，拖动点P在O上运动，可以体验到， y与x成反比例拖动点P使得，拖动点M使得M的半径约为0.82，M与O相内切，同时与Q相外切拖动点P使得，拖动点M使得M的半径约为9，M与O、Q都内切思路点拨1第（1）题的计算用到垂径定理和勾股定理2第（2）题中有一个典型的图，有公共底角的两个等腰三角形相似3第（3）题先把三个圆心距罗列出来，三个圆心距围成一个直角三角形，根据勾股定理列方程满分解答（1）如图4，过点O作OHAP，那么AP2AH在RtOAH中，OA3，设OHm，AH2m，那么m2(2m)232解得所以（2）如图5，联结OQ、OP，那么QPO、OAP是等腰三角形又因为底角P公
3、用，所以QPOOAP因此，即由此得到定义域是0x6图4 图5（3）如图6，联结OP，作OP的垂直平分线交AP于Q，垂足为D，那么QP、QO是Q的半径在RtQPD中，因此如图7，设M的半径为r由M与O内切，可得圆心距OM3r由M与Q外切，可得圆心距在RtQOM中，OM3r，由勾股定理，得解得图6 图7 图8考点伸展如图8，在第（3）题情景下，如果M与O、Q都内切，那么M的半径是多少？同样的，设M的半径为r由M与O内切，可得圆心距OMr3由M与Q内切，可得圆心距在RtQOM中，由勾股定理，得解得r9例2 2012年河北省中考第25题如图1，A(5,0)，B(3,0)，点C在y轴的正半轴上，CBO4
4、5，CD/AB，CDA90点P从点Q(4,0)出发，沿x轴向左以每秒1个单位长的速度运动，运动时间为t秒（1）求点C的坐标；（2）当BCP15时，求t的值；（3）以点P为圆心，PC为半径的P随点P的运动而变化，当P与四边形ABCD的边（或边所在的直线）相切时，求t的值 图1动感体验请打开几何画板文件名“12河北25”，拖动圆心P在点Q左侧运动，可以体验到，P可以与直线BC、直线DC、直线AD相切，不能与直线AB相切答案 （1）点C的坐标为(0,3)（2）如图2，当P在B的右侧，BCP15时，PCO30，；如图3，当P在B的左侧，BCP15时，CPO30，图2 图3（3）如图4，当P与直线BC相
5、切时，t1；如图5，当P与直线DC相切时，t4；如图6，当P与直线AD相切时，t5.6图4 图5 图6例3 2012年无锡市中考模拟第28题如图1，菱形ABCD的边长为2厘米，DAB60点P从A出发，以每秒厘米的速度沿AC向C作匀速运动；与此同时，点Q也从点A出发，以每秒1厘米的速度沿射线作匀速运动当点P到达点C时，P、Q都停止运动设点P运动的时间为t秒（1）当P异于A、C时，请说明PQ/BC；（2）以P为圆心、PQ长为半径作圆，请问：在整个运动过程中，t为怎样的值时，P与边BC分别有1个公共点和2个公共点？ 图一 动感体验请打开几何画板文件名“12无锡28”，拖动点P由A向C运动，可以体验到
6、，P与线段BC的位置关系依次是相离没有公共点，相切只有1个公共点，相交有2个公共点，相交只有1个公共点，线段在圆的内部没有公共点请打开超级画板文件名“12无锡28”，拖动点P由A向C运动，可以体验到，P与线段BC的位置关系依次是相离没有公共点，相切只有1个公共点，相交有2个公共点，相交只有1个公共点，线段在圆的内部没有公共点答案 （1）因为，所以因此PQ/BC（2）如图2，由PQPH，得解得如图3，由PQPB，得等边三角形PBQ所以Q是AB的中点，t1如图4，由PQPC，得解得如图5，当P、C重合时，t2因此，当或1t或t2时，P与边BC有1个公共点当t1时，P与边BC有2个公共点图2 图3 图4 图5
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