电磁暂态仿真程序中高斯噪声的注入方法研究.pdf

2023 年 2 月第 19 卷 第 1 期系统仿真技术System Simulation TechnologyFeb.，2023Vol.19，No.1电磁暂态仿真程序中高斯噪声的注入方法研究周博英，唐可翾，沈沉*（清华大学 电机工程与应用电子技术系，北京 100084）摘要：“双高”电力系统的随机性使得对系统随机响应的仿真分析越发重要。电力系统随机扰动多为高斯型噪声，电磁暂态仿真程序中缺乏相应的仿真工具。因此，亟需找到电磁暂态仿真中正确注入高斯型随机噪声的方法。本文针对基础的电阻-电感（RL）电路研究如何在电磁暂态仿真中从系统微分方程注入高斯白噪声，并对噪声注入后系统的随机响应统计特征进行分析验证。针对微分代数（DAE）方程组，为保证复杂系统的噪声响应性质不随电磁暂态仿真步长的变化而变化，提出基于阶梯插值和线性插值的有色噪声注入方法，通过方差、自相关函数等统计特征对所提注入方法进行了正确性验证。关键词:高斯白噪声；随机响应；高斯有色噪声；插值；电磁暂态程序Research on Injection Method of Gaussian Noise in EMTPZHOU Boying，TANG Kexuan，SHEN Chen（Department of Electrical Engineering，Tsinghua University，Beijing 100084，China）Abstract：The randomness of“Double High”power system makes the simulation analysis of system random response more important.Most power system random disturbances are Gaussian noise，and the Electro-Magnetic transient program（EMTP）lacks corresponding simulation tools.It is urgent to find a correct method to inject Gaussian random noise into electromagnetic transient simulation.This paper studies how to inject Gaussian white noise into basic RL circuit s state variable in EMTP from system differential equation，and the statistical characteristics of random response of the system after noise injection are analyzed and verified.For DAE systems，to ensure the noise response properties of complex systems do not change with the simulation step of EMTP，a colored noise injection method with step interpolation and linear interpolation is proposed.The correctness of this method is verified by statistical characteristics，such as variance and autocorrelation function.Key words：Gaussian white noise；random response；Gaussian colored noise；interpolation；EMTP含高比例可再生能源发电和高比例电力电子设备（“双高”）正成为电力系统发展的重要趋势和关键特征。“双高”电力系统的动态特性中，随机性和非线性特性进一步凸显，其中随机性越来越成为影响电力系统安全和稳定运行的重要因素。传统电力系统稳定性往往使用确定性的时域仿真法对系统的微分方程进行数值分析，并基于概率论采用蒙特卡洛等分析方法对系统状态进行重复模拟及统计分析。这种基于给定的系统模型和数据的方法很难全面刻画系统中的随机因素。随机响应分析侧重于研究系统受动态时变随机干扰的情况，通过注入随机噪声并对系统随机响应统计特征进行分析，可在电磁暂态仿真中实现电力系统随机稳定性动态分析。电力系统随机因素大多满足维纳基金项目：国家自然科学基金联合基金集成项目(U2166601)通信作者：沈沉，E-mail:中图分类号:TM 711 文献标识码:A DOI:10.16812/31-1945.2023.01.004系统仿真技术第 19 卷 第 1 期过程（布朗运动），可通过高斯型噪声进行建模。现有的研究很少关注如何在电磁暂态仿真中随仿真步长变化生成随机噪声，且缺少对噪声注入后随机响应仿真结果正确性的验证。本文拟在电磁暂态仿真中实现对高斯型随机噪声的正确仿真，为电力系统基于随机响应的动态分析提供支撑。本文使用的电磁暂态仿真平台为 CloudPSS 平台1，由清华大学和清华四川能源互联网研究院共同研发，是一套面向新型电力系统、多时间尺度建模的高性能电磁暂态仿真云平台。1 电力系统高斯白噪声建模 在电力系统研究中，通常假设随机过程为高斯分布的白噪声。对于受到随机噪声干扰的系统，如果注入的随机噪声干扰满足维纳过程，则在动力学分析时可以通过高斯白噪声模型进行模拟2。白噪声是一种最简单的随机过程，是由一系列不相关的随机变量组成的理想化随机过程。电力系统的随机因素大多满足维纳过程，连续随机扰动因素大部分可以用高斯白噪声随机扰动进行描述3，例如系统谐波的处理、负荷的随机波动、风电功率的随机变化、机械功率的随机扭振等，均可视为高斯白噪声扰动4。高斯白噪声的标准矢量随机微分方程如式（1）所示5：dX(t)=f X(t)，tdt+G X(t)，tdW(t)（1）其中，X(t)为n维矢量随机变量，W(t)表示n维维纳过程，W(t)的形式导数定义为W(t)/dt=(t)，为高斯过程。本文高斯白噪声统一用符号表示。线性系统高斯白噪声随机扰动可视作系统输入，向系统的状态方程和输出方程进行注入。注入扰动后线性系统的随机微分方程如式（2）所示：x?=ax+bxy=cx+dy（2）其中，x为状态变量，y为输出变量，为服从标准正态分布的高斯白噪声，a，b，c，d为对应参数。噪声注入在状态变量的导数x?（微分方程）中，即x项，则状态变量x的分布呈正态形式。输出变量y的响应是状态变量x的线性组合；噪声注入在输出方程中，即y项，则输出变量y的响应特征分析将较为复杂。此外，随机扰动还可以存在于系数矩阵或初始状态中。电力系统通常由高维非线性微分代数方程组描述，注入噪声后的微分代数方程如式（3）所示：|x?=f(x，y)+xx0=g(x，y)+yy（3）发电侧的高斯型随机扰动主要指原动机随机变化导致的发电机输入机械功率的随机波动6。以单机无穷大系统为例7，加入随机扰动项后的系统方程如式（4）所示：Md2dt2+Dddt=Pm-Pe+（4）用电侧负荷也具有较强的不确定性和波动性。在研究随机扰动对电力系统电压稳定的影响时，需要研究电力系统无功负荷的随机波动。在无功负荷中添加高斯白噪声后，其定义如式（5）所示8：QL=QL0+Q（5）此项无功负荷的波动会反映到系统电压幅值和相角的方程中，导致系统电压出现随机波动。电力系统在日常运行过程中，母线电压、相角和线路功率等信号均存在类似噪声的微小幅值波动。这类信号定义为类噪声信号。若将负载变化看做完全随机的过程，则类噪声信号可看做白噪声信号激励电力系统产生的响应。通过对类噪声信号进行随机系统建模分析，有望估计出系统的动态模型9。2 含高斯白噪声微分方程一般求解 为探究电磁暂态仿真过程中高斯白噪声的注入方法及其正确性，首先向只含一个状态变量的一阶RL电路中注入高斯白噪声随机扰动。含噪声的系统微分方程如式（6）所示：diab()t=L-1vab()t dt+dW()t（6）在电磁暂态仿真中，动态元件经过诺顿等效可视为诺顿等效电导与诺顿等效历史电流源并联形式10，电路方程如式（7）所示：iab(t)=Geffvab(t)+Ihistory(t-t)+(Wt-Wt-t)（7）其中，诺顿等效电导Geff=0.5tL-1，诺顿等效历史电流源Ihistory()t-t=iab()t-t+Geffvab()t-t。根据随机微分方程求解法则，当积分步长t较小时，(Wt-Wt-t)可 以 用 半 阶 无 穷 小 的 高 斯 过 程t N(0，1)来代替。(Wt-Wt-t)为独立变量，且与当前时刻电路状态无关。得到递推公式如式（8）所示：iab()t=Geffvab()t+IHistory()t-t+t N()0，1（8）其中，t N(0，1)为添加的随机扰动项。为了最小程度地改变仿真拓扑，随机扰动项可以视作电流源iweff并联于原电感元件，即可以将含有随机2周博英，等：电磁暂态仿真程序中高斯噪声的注入方法研究扰动的电流源拆分成2个元件，得到含高斯白噪声的RL电路诺顿等效电路图如图1所示。该电路的约束方程如式（9）所示：|iL0()t=Geffvab()t+iL0()t-t+Geffvab()t-tiweff()t=iweff(t-t)+t N()0，1iL()t=iL0()t+iweff()t（9）原本的电感支路iL0(t)记录了原电感元件暂态电流，而iweff(t)记录了每一时刻高斯白噪声注入后随机扰动等效电流源对系统的电流贡献。按照该等效电路图的思路，在CloudPSS平台上对含高斯白噪声的RL电路进行建模与仿真，仿真电路拓扑结构如图2所示。根据随机分析的数学知识，一阶RL简单电路的随机微分方程解析解如式（10）所示：iL()t=ER-1()1-e-RL-1t+e-RL-1t0teRL-1sdW(s)（10）一阶随机微分方程的状态变量中注入高斯白噪声，iL(t)解析解也为高斯过程，服从正态分布，即iL()t NER-1()1-e-RL-1t，2L(2R)-1()1-e-2RL-1t（11）计算该高斯过程的方差及自协方差函数理论值，得到一阶RL电路系统统计特征解析解如式（12）所示：|Var iL(t)=2L(2R)-1()1-e-2RL-1tiL(t)，iL(t+t)=2L(2R)-1()1-e-2RL-1te-RLt（12）将仿真结果的方差和自协方差函数与理论值进行对比，结果如图3所示，验证了该仿真方法在对含高斯白噪声的RL电路进行仿真时的正确性。3 高斯白噪声注入微分代数方程所引发的问题 沿用上节中的处理方法，在单机单负荷系统的负荷侧有功功率中注入高斯白噪声，即在这个电路中将高斯白噪声注入代数变量中进行仿真。在图 4 所采用的单机单负荷电路中，E=30 kV，R+jX=(0.1+1.6 10-6j)，负 荷 数 据 为Pset=65 MW，Qset=20 MVar。在电力系统由微分代数方程描述的情况下，同样用式（8）的半阶无穷小方法对高斯白噪声进行处理，对代数变量中注入随机扰动后的系统随机响应进行仿真。仿真预期的正确结果为变量的方差不随仿真步长的变化而变化，但在CloudPSS仿真平台上测试后发现（仿真结果如图5所示），无论是否进行半阶无穷小处理，系统无功功率的方差均会随着仿真步长的变化而变化。仿真步长变化导致噪声响应的性质发生变化是不符合物理规律的。这一现象说明，第2节中针对随机微分方程的求解方法并不适用于随机微分代数方程的求解。实际上，当系统由微分代数方程描述时，无论是否采用式（8）的半阶无穷小处理方法，均会出现噪声响应统计特征随步长变化而变化的问题。因此，必须研究新的噪声处理方法以求解微分方程与代数方程共同约束的系统。图1含高斯白噪声的RL电路诺顿等效电路图Fig.1Norton equivalent circuit diagram of RL circuit with Gaussian white noise图2CloudPSS平台仿真含高斯白噪声的RL电路Fig.2CloudPSS simulation of RL circuit with Gaussian white noise3系统仿真技术第 19 卷 第 1 期4 高斯有色噪声的构造 为了解决含高斯白噪声的微分代数方程求解问题，尝试将注入的高斯白噪声替换为高斯有色噪声。事实上，现实中白噪声过程并不能很好地描述自然界的各种扰动11，理想的白噪声在物理上是很难实现的，并且实际工程中测量的数据所包含的噪声往往是有色噪声。使用 PMU（Phase Measurement Unit）对实际电力系统进行数据采集时，会在理想高斯白噪声的基础上混杂一部分高斯有色噪声12，这部分高斯有色噪声是 PMU防混叠滤波器产生的13。同时，高斯白噪声经过低通滤波处理也将形成高度相关的高斯有色噪声14。高斯白噪声的功率谱密度呈全频域均匀分布，其自相关函数为冲激函数，方差为无穷大。而高斯有色噪声的功率谱密度和自相关函数则如图6所示15，其方差为有限值。不同于高斯白噪声，有色噪声序列中不同时刻的数据具有相关性。有色噪声可视为白噪声序列经过线性环节的输出，是理想白噪声的一种近似。考虑到电磁暂态仿真计算过程的单向递推特性，高斯有色噪声的构造采取由高斯白噪声插值的方法。图7展示了如何利用插值方法由高斯白噪声构造高斯有色噪声。(dT)-1为高斯白噪声注入的频率，为保证噪声的性质相同，dT是不随仿真步长变化而变化的，即在不同的仿真步长下，高斯白噪声注入频率相同。dt为实际仿真步长，则(dT/dt-1)即为构造有色噪声图3RL电路统计特征仿真值与理论值对比Fig.3Comparison between simulation value and theoretical value of RL circuit statistical characteristics图4含高斯白噪声的单机单负荷电路拓扑图Fig.4Single machine single load circuit topology with Gaussian white noise图5无功功率方差随仿真步长变化图Fig.5Reactive power variance changes with simulation step图6高斯白噪声与有色噪声的功率谱密度及自相关函数Fig.6Curves of power spectral density and autocorrelation function of Gaussian white noise and colored noise4周博英，等：电磁暂态仿真程序中高斯噪声的注入方法研究时每个dT时段中插值点的数量。随着仿真步长的减小，插入数据的密度增加。由这种方法构造出的有色噪声序列相关性与白噪声略有差异，不同dT时段的数据之间没有相关性，但每段dT中插入的数据点之间具有相关性。为了方便在电磁暂态仿真中实现，选取阶梯插值与分段线性插值2种插值方法。经插值后产生的高斯有色噪声序列如图8所示。图8中，高斯白噪声的注入频率为5 105Hz，2个相邻的白噪声数据中插值199个数据点，即生成的高斯有色噪声序列频率为1108Hz。对不同插值方法产生的序列方差进行理论分析。由于阶梯插值所插入的数据点均与原白噪声相同，因此所产生的有色噪声均值和方差应当均与原白噪声相同。而对于线性插值产生的有色噪声，首先考虑随机变量X与Y相互独立且均服从正态分布N（0，1）时，随机变量aX+(1-a)Y的方差为2k=a2+(1-a)2。类似的，在服从正态分布N（0，1）的高斯白噪声序列中的两点(xi，yi)与(xi+1，yi+1)之间进行线性插值时，两端的数据点可视为相互独立的随机变量，中间的插值数据点kyi+()1-k yi+1，k(0，1)服从正态分布，其均值为0，方差为2k=k2+(1-k)2。因此，当插值点数为 m 时，每 段dT中 的 全 部 数 据 点 为j(m+1)-1yi+(m+1-j)(m+1)-1yi+1，j=0，1，2，3，m。经过必要的近似处理（如忽略样本方差与整体方差的差别及忽略首末端数据的影响等）之后，可以计算出线性插值有色噪声序列的方差如式（13）所示：2t1m+1k2k=1m+1j=0m|2()jm+12-2jm+1+1=1m+1|m()2m+13()m+1-m+()m+1=2m2+4m+33m2+6m+323(m +)（13）计算结果表明，对于线性插值后的有色噪声，当插值点数较大时，有色噪声序列方差比原高斯白噪声序列方差有所减小，并随插值点数的增加趋近于固定值的2/3。为验证噪声插值后统计特征的变化规律，在Matlab中对不同仿真步长（插值点数）下的有色噪声统计特征进行数值验证，结果如图9-10所示。在数值实验中，为避免插值前噪声序列的偶然随机性对方差结果产生持续的影响，在不同的插值点数下需要重新生成正态分布的随机噪声序列。Matlab实验结果表明，插值前后噪声序列的统计特征变化符合预期，这为进一步在电磁暂态仿真中将有色噪声作为系统输入提供了正确性保证。对于阶梯插值，同一噪声序列插值所得到的新序列与原白噪声序列的自相关函数趋势及方差大小均基本相同，且不随插值点数量的变化而变化。对于线性插值，在插值点数较大（20）时，插值后序列的统计特征基本不随插值点数的变化而变化，且方差大致稳定在原序列方差的 2/3；在插值点数较小（20）时，插值点数的变化对于插值后序列的方差及自相关函数的峰值有着较大的影响，插值后序列的方差可由式（13）进行定量计算。在实际仿真中使用线性插值方法得到有色噪声序列时，若想要保持插值后序列的统计特征稳定（不随仿真步长变化而变化），则仿真频率应比噪声频率高20倍以上；若想要保持插值后序列的方差大小与原白噪声序列基本相同，则可以基于式（13）的定量计算结果通过其他方式补偿。5 高斯有色噪声的注入 使用 2 种插值方法分别构造有色噪声，并在CloudPSS 平台上分别作为随机干扰注入到图 4所示的单机单负荷系统的负荷有功功率中。电路参数与上文相同，随机数据的注入频率为1 104Hz。采用图7插值构造高斯有色噪声示意图Fig.7Diagram of Gaussian colored noise construction by interpolation图8不同插值方法产生的高斯有色噪声Fig.8Gauss colored noise produced by different interpolation methods5系统仿真技术第 19 卷 第 1 期不同仿真步长（插值点数）进行仿真，每次仿真均重新生成高斯白噪声序列，插值后输入系统的有色噪声序列和系统响应（负荷无功功率）的统计特征如图11-13所示。图9不同插值点数的噪声序列自相关函数Fig.9Autocorrelation function of noise sequence with different interpolation points图10不同插值点数的噪声序列方差Fig.10Variance of noise sequence with different interpolation points图11不同仿真步长下输入噪声的自相关函数Fig.11Autocorrelation function of input noise sequence with different simulation steps6周博英，等：电磁暂态仿真程序中高斯噪声的注入方法研究由图 11-13可见，仿真结果的理论计算结果和数值实验结果基本相符。对于阶梯插值，插值点数（仿真步长）不同时，插值后噪声序列的自相关函数形态及方差大小基本不变，系统无功功率响应的方差在不同的插值点数下也基本保持不变。对于线性插值，在插值点数较大时，所得到的有色噪声方差趋近于原高斯白噪声方差的2/3，噪声的性质以及注入噪声后系统响应的统计特征在不同的仿真步长下均基本保持不变；在插值点数较小时，仿真步长的变化对噪声序列及系统响应的统计特征则有较大影响。仿真结果验证了通过插值方法生成高斯有色噪声并注入电磁暂态仿真的可行性与合理性。6 结 论 电力系统中的随机扰动多为高斯型噪声。在电磁暂态仿真中注入高斯型噪声随机扰动，需要保证系统的随机响应统计特征不随仿真步长变化而变化。在 RL 基础电路中可以将高斯白噪声随机扰动等效为并联半阶无穷小电流源的形式加入系统，噪声注入系统后的随机响应统计特征与理论值相符。但该方法无法应用于求解含高斯白噪声的微分-代数系统。采用阶梯插值以及插值点数较大的线性插值方法所产生的有色噪声统计特征在一定程度上与插值前的白噪声相似，通过将注入的白噪声替换为经插值产生的有色噪声，能够规避随机微分代数方程求解中所遇到的问题。在电磁暂态仿真中，通过向系统的微分代数方程组中注入本文方法所产生的随机有色噪声，可以实现对系统随机响应统计特征的正确分析。参考文献：1陈颖，高仕林，宋炎侃，等.面向新型电力系统的高性图12不同插值点数的输入噪声方差Fig.12Variance of input noise sequence with different interpolation points图13不同插值点数的系统无功功率响应方差Fig.13Variance of systemreactive power response with different interpolation points7系统仿真技术第 19 卷 第 1 期能电磁暂态云仿真技术 J.中国电机工程学报，2022，42（8）：2854-2864.CHEN Ying，GAO Shilin，SONG Yankan，et al.High-performance electromagnetic transient simulation for new-type power system based on cloud computing J.Proceedings of the CSEE，2022，42（8）：2854-2864.2SCHUSS Z.Theory and applications of stochastic differential equations M.New York：Wiley Johns，1980.3彭云建，邓飞其.电力系统随机稳定性分析与控制问题综述 J.电工电能新技术，2007，26（3）：52-58.PENG Yunjian，DENG Feiqi.A survey on power system stochastic stability analysis and controlJ.Advanced Technology of Electrical 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