关于用留数计算实有理分式函数积分的一点注记.pdf

第2 6 卷第3期2023年5月doi:10.3969/j.issn.1008-1399.2023.03.016高等数学研究STUDIES IN COLLEGE MATHEMATICSVol.26,No.3May,2023关于用留数计算实有理分式函数积分的一点注记张攀1，周俊东（1.安徽大学数学科学学院，安徽合肥2 30 0 39；2.阜阳师范大学数学与统计学院，安徽阜阳2 36 0 37)摘要本文介绍了用留数求解实有理分式函数积分的两种方法，并且对不同类型的实积分进行了总结.关键词留数；实积分；有理函数；围道积分中图分类号0172文献标识码A文章编号1008-1399(2023)03-0044-03On Calculating Integrals Rational Functions by ResiduesZHANG Pan and ZHOU Jundong?(1.School of Mathematical Sciences,Anhui University,Hefei 230601,China;2.School of Mathematics and Statistics,Fuyang Normal University,Fuyang 236037,China)Abstract In this paper,we introduce two methods for solving integrals of real rational functions by resi-dues,and sum up the different types of integrals.Keywords residue,integral,rational function,contour integralQ(z)=bo+biz-1+b(bo0)1引言为互质的多项式，且满足：（1)n一m2；（2）在实复变函数的解法为求解一些不定积分提供了新的思路，见文献1在计算一些反常积分时，复变函数中的留数理论和方法是求解一类实有理分式函数积分的一种有效的方法，见文献2 文献2 的第六章第2 节探讨了用留数计算实积分，其中有如下的定理：定理12 设F()=Q()P(z)=Coz+Ciz-1+.+cm(co0)与收稿日期：2 0 2 1-11-30基金项目：安徽省教育厅省级质量工程项目线上线下混合式课程（2 0 2 2 x s x x 0 18）；安徽省教育厅省级质量工程项目课程思政示范课程（2 0 2 1kcszsfkc020）.作者简介：张攀（1991一），男，安庆宿松，博士，讲师，从事微分几何研究，Email:.轴上Q(）0.于是有f()da=2元iFIma:0其中i为虚数单位，Res=f（）表示复函数f(z）在奇点=处的留数，Im表示的虚部.对于（一8 0，十8）上的一些实有理分式函数的P()积分，可利用定理1的方法求解。对于0，十）上为有理分式，其中的非偶函数的实积分的计算问题，定理1就不适用对于这类实积分的计算问题，我们可以利用如下的定理：修改日期：2 0 2 2-0 2-2 8定理2 3设（之）：Q()P(z)=Coz+C1-1+.+Cm(co 0)与Q(z)=bo+bi-1+bn(bo0)Res=af(),P()为有理分式，其中第2 6 卷第3期为互质的多项式，且满足(1)n一m2;(2）当0时Q()0.于是有d=-P()(log(z)P(z)Res:=akQ()Q(ak)=0文献3仅仅给出了上述定理2 的证明梗概为了读者和本科教学的方便，同时基于文献3的思路，我们在本文的第2 部分补齐定理2 详细的证明.随后，我们在第3部分列举了一些使用定理2的例题.2定理2 的证明考虑围道积分J=Je.R=Je.R其中e,R由下图给出.Y3我们假设为沿着|=R的圆弧，为从|=R连接=e的直线，为沿着=e的圆弧，为从|=连接|=R的直线，此外我们规定逆时针方向为正则有J=P()log(2de+J1Q()P()log()13Q()P()log()?1Q()张攀，周俊东：关于用留数计算实有理分式函数积分的一点注记P(Reio)Q(Reio)Q()所以P()log(之)limR+ooJY1limR+0Q(Re0)=0.又因为P(）和Q(z)在=0 处连续,Q(0）0 并且 limelog(e)=0,所以0P(z)log(z)limd之=lim0JY3Q()P(z)log()d之，Q()241=8IzI=RP(log()dJY2Q(之)P()log()dzQ()P(log(adeJY3Q(之)45因为n一m2，所以存在常数C使得CR2P(z)log()d:limd之Q()R+oJ12/=R?2元P(Reio)log(R)+io)RieiodoP(z)log()d之J12=P(eei=limQ(ee)eie(log(e)+i0)do0.综上，我们有lim_lim J=-2元ie0 R+o另外，由柯西留数定理知，当e充分小，R充分大时，我们有J=2元iQ(a:)=0因此P()0Q()3例题在使用定理1或定理2 计算积分时，我们需要利用如下计算留数的引理：引理 12 1设为 f(2)=g()之)(z)及(z)在点=解析，且p()0,()=0,4()0),则Q()Q(之)P()Q()Res=log(z)P()Q()log(z)P(z)ReS:=kQ(之)Q(k)=0的一阶极点（只要Y2P()1og(/+2元i)Q()P(z)log(/dzY4Q()P(z)log()1Q()P(z)+2元iQ()dzP(e)log()deY3Q(&)Ress=af(z)=文献2 利用定理1和引理1计算了下述的实积分，下面我们利用定理2 计算.例 12 设0，求实积分解作依定理2，并且结合引理1，我们有()4+a.d.46C+804+a40下面我们看一个更熟悉的反常积分，同样可以使用定理2 来计算d.c例2J。?+1下面的例题不适用于利用定理1，但是可以利用定理2.例3求实积分2-+1d解若一+1=0,则=1;VE.2理2 得*+8010?-+1log(1+i/322.1+iV324/3元9下面的例题来自于文献4的习题5.4，不仅可以对被积函数裂项后求积分值，而且可以使用定理2计算.例 4.4求实积分(1+)(1+2)高等数学研究dog()Res+-0log(aeti)4ei3a5元(aeTi元log(aet)2元aa33e42元4a3d.2023年5月解依定理2，并且结合引理1，我们有+a3T1log(aetiee4log(i)log(-i)2i211由定分式函数积分时，比通常的数学分析方法更加复杂，例如本文的例2 但是当被积函数的原函数不容易1og(之)Res22-+1a:+1=01og1-iV3212d+8(1+)(1+)JRes(1+)(1+)(1+:)(1+dz)=0=k1og(-1)3(-1)2+2(-1)+1log(-i)3(-i)+2(i)+13元i元元222i一2元24小结定理2 在计算Q()有一般性，但是通常适用于利用定理1的过程比定理2 更简洁定理2 在处理一些简单情形的实有理求解时，定理2 为计算这类积分提供了新的思路，例如本文的例3和例4.-iV3参考文献21郭国安，宋洪雪一类不定积分的复变函数解法.高等数学研究，2 0 17，2 0（3）：51-54.2钟玉泉复变函数论M.4版.北京：高等教育出版社，2 0 12.3DAngelo JP.An introduction to complex analysis andgeometry M.American Mathematical Sociecty,2010.4同济大学数学教研室.高等数学：上册M.7版.北京：高等教育出版社，2 0 14.dP()dz型积分比定理1更具log()3i2+2i+12元2i一2log(i)4(上接第2 7 页）利用sinadc可以得到上式积分结果为5=1评注解法二巧妙利用球面面积微元转化为三角函数的积分，快速得到结果，计算过程简洁明了.该解法需要对微元概念理解透彻，才能灵活应用.以上针对2 0 2 1年全国大学生数学竞赛第一型(n-1)!曲面积分问题，从不同角度运用知识技巧给出三种n为奇数n！cosad(n-1)!n！4元ai.解法.启发我们在高等数学复习课程及拔高课程的教学中，注意多角度的分析问题，找准突破口，以提高学生解决问题的能力及创新能力.参考文献1同济大学数学系.高等数学（下册）M.7版.北京：高等教育出版社，2 0 14.