第三章 一元函数积分.doc

第三章 一元函数积分不定积分基本积分公式：(1)0dx=C (2)=ln|x|+C(3) (m-1,x0)(4) (a0,a1)(5) (6)cosxdx=sinx+C(7)sinxdx=- cosx+C(8)sec2xdx=tanx+C(9)csc2xdx=- cotx+C(10)secxtanxdx=secx+C (11)cscxcotxdx=- cscx+C (12)=arcsinx+C(13)=arctanx+C(14)tanxdx=- ln|cosx|+C (15)cotxdx=ln|sinx|+C(16)= (a0)(17)= (a0)(18)(a0)(19)=(a0) (20)secxdx=ln|secx+tanx|+C(21)cscxdx=ln|cscx-cotx|+C求解不定积分的方法：1积分运算法则以及运用基本积分公式。2凑微分法（第一类换元法） F (u)=f(u),u=j(x)可导 fj(x)j (x)dx =fj(x)dj(x)=f(u)du=F(u)+C=Fj(x)+C凑微分换元积分再换元j (x)dx=dj(x) u=j(x) 得F(u)+C 得Fj(x)+C3积分换元法（第二类换元法） f(u)du =fj(x)j(x)dx =F(x)+C =Fj-1(u)+C 特点：含有根号的分式，三角代换法。 被积函数含根式换元方法运用的三角公式x=asect sec2t-1=tan2t x=atant tan2t+1=sec2t x=asint1sin2t=cos2t 具体书写步骤：根据被积函数根式设出换元方法。 写出dx关于t的表达式。 求出变量为t的不定积分。 利用三角代换，把t换成x。4分部积分法 分部积分公式常用于被积函数是两种不同类型初等函数之积的情形 公式： udv=uv -vdu 定积分：性质 1：ba1dx=badx=b-a2：baf(x)+g(x)dx=baf(x)dx+bag(x)dx3：f(x)0，则baf(x)dx04：f(x)g(x)，baf(x)dxbag(x)dx5：m、M是f(x)区间a,b上的min和max，则m(b-a)baf(x)dxM(b-a)6：baf(x)dxbaf(x)dx7：baf(x)dx=caf(x)dx+bcf(x)dx8：(积分中值定理)若f(x)在闭区间a,b上连续，至少存一点a,b，使baf(x)dx=f()(b-a) 微积分基本定理：G(x)=xaf(t)dt xX G(x)=f(x)牛顿莱布尼兹公式：设函数f(x)在a,b上连续且F(x)是它在该区间上的一个原函数则baf(x)dx=F(b)-F(a)计算：同不定积分的计算方法基本相同，就是最后把从a到b的具体数带入再Fa-Fb即可。几何应用： 1平面图形的面积（主要是围成曲边梯形的面积）微元法 计算公式：S=-g(x)dx 计算步骤：作图，标明边界线的方程，并求出边界线彼此的交点坐标考察图形是否有对称性，判断出属于X型还是Y型。利用公式算出定积分。2立体体积（旋转体体积） 计算公式：绕X轴旋转： 绕Y轴旋转： 计算步骤：求出关于旋转轴的面积。 然后根据公式求。3平面曲线弧长4旋转体侧面积 反常积分1无穷区间上的反常积分=. 如果此极限存在，则称反常积分收敛，此极限值称为反常积分的值；若极限不存在，则称此反常积分发散由定义可知：反常积分=定积分的极限,c可为任意实数. 2无界函数的反常积分 4