第三章 一元函数积分.doc

第三章 一元函数积分
●不定积分
◎※基本积分公式：
(1)∫0dx=C
(2)=ln|x|+C
(3) (m≠-1,x>0)
(4) (a>0,a≠1)
(5)
(6)∫cosxdx=sinx+C
(7)∫sinxdx=- cosx+C
(8)∫sec2xdx=tanx+C
(9)∫csc2xdx=- cotx+C
(10)∫secxtanxdx=secx+C
(11)∫cscxcotxdx=- cscx+C
(12)=arcsinx+C
(13)=arctanx+C
(14)∫tanxdx=- ln|cosx|+C
(15)∫cotxdxln|sinx|+C
(16)= (a>0)
(17)= (a>0)
(18)(a>0)
(19)=(a>0)
(20)∫secxdx=ln|secx+tanx|+C
(21)∫cscxdx=ln|cscx-cotx|+C
◎求解不定积分的方法：
1积分运算法则以及运用基本积分公式。
2凑微分法（第一类换元法）
F '(u)=f(u),u=j(x)可导
∫f[j(x)]j' (x)dx =∫f[j(x)]dj(x)=∫f(u)du=F(u)+C=F[j(x)]+C
凑微分————→换元————→积分————→再换元
j' (x)dx=dj(x)   u=j(x)      得F(u)+C      得F[j(x)]+C
3积分换元法（第二类换元法）
∫f(u)du =∫f[j(x)]j'(x)dx =F(x)+C =F[j-1(u)]+C
特点：含有根号的分式，三角代换法。

被积函数含根式
换元方法
运用的三角公式

x=asect
sec2t-1=tan2t

x=atant
tan2t+1=sec2t

x=asint
1－sin2t=cos2t
具体书写步骤：①根据被积函数根式设出换元方法。
②写出dx关于t的表达式。
③求出变量为t的不定积分。
④利用三角代换，把t换成x。
4分部积分法
分部积分公式常用于被积函数是两种不同类型初等函数之积的情形
公式： ∫udv=uv -∫vdu
●定积分：
◎性质
1：∫ba1dx=∫badx=b-a
2：∫ba［αf(x)+βg(x)］dx=α∫baf(x)dx+β∫bag(x)dx
3：f(x)≥0，则∫baf(x)dx≥0
4：f(x)≥g(x)，∫baf(x)dx≥∫bag(x)dx
5：m、M是f(x)区间［a,b］上的min和max，则m(b-a)≤∫baf(x)dx≤M(b-a)
6：｜∫baf(x)｜dx≤∫ba｜f(x)｜dx
7：∫baf(x)dx=∫caf(x)dx+∫bcf(x)dx
8：(积分中值定理)若f(x)在闭区间［a,b］上连续，至少存一点ξ∈［a,b］，使∫baf(x)dx=f(ξ)(b-a)
◎微积分基本定理：G(x)=∫xaf(t)dt x∈X G′(x)=f(x)
◎牛顿莱布尼兹公式：设函数f(x)在［a,b］上连续且F(x)是它在该区间上的一个原函数
则∫baf(x)dx=F(b)-F(a)
◎计算：同不定积分的计算方法基本相同，就是最后把从a到b的具体数带入再Fa-Fb即可。
◎几何应用：
1平面图形的面积（主要是围成曲边梯形的面积）微元法
计算公式：S=-g(x)]dx  
※ 计算步骤：①作图，标明边界线的方程，并求出边界线彼此的交点坐标．
②考察图形是否有对称性，判断出属于X型还是Y型。
③利用公式算出定积分。
2立体体积※※（旋转体体积）
计算公式：绕X轴旋转： 绕Y轴旋转：
计算步骤：①求出关于旋转轴的面积。
②然后根据公式求。
3平面曲线弧长
4旋转体侧面积
● 反常积分
1无穷区间上的反常积分
=.
如果此极限存在，则称反常积分收敛，此极限值称为反常积分的值；若极限不存在，则称此反常积分发散．
由定义可知：反常积分=定积分的极限．

,c可为任意实数.
2无界函数的反常积分

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