第二章质点的运动.doc

2015年高三临界生用
第二章 质点的运动
一、基本概念
1．速度——描述运动快慢的物理量，是位移对时间的变化率，
2．加速度——描述速度变化快慢的物理量，是速度对时间的变化率，
3．变化率——表示变化的快慢，不表示变化的大小。
二、匀变速直线运动公式
1．基本公式有以下四个

⑴以上四个公式中共有五个物理量：x、t、a、v0、v，这五个物理量中只有三个是独立的。其中三个物理量确定之后，另外两个就唯一确定了。每个公式中都只含有其中的四个物理量，已知其中三个而要求另一个时，往往选定一个公式就可以了。
⑵以上公式中的五个物理量中，除时间t外，x、v0、v、a均为矢量。一般以v0的方向为正方向，以t=0时刻的位移为零，这样，x、v和a的正负就都有了确定的物理意义。
2．匀变速直线运动中几个常用的推论
⑴Δx=aT 2，即任意相邻相等时间内的位移之差相等。可以推广到xm-xn=(m-n)aT 2；
⑵，某段时间的中间时刻的瞬时速度等于该段时间内的平均速度；
，某段位移的中间位置的瞬时速度公式；（）
3．初速度为零（或末速度为零）的匀变速直线运动
做匀变速直线运动的物体，如果初速度为零（或者末速度为零），那么公式都可简化为：
，，，（各物理量都取绝对值）
由可推导出初速为零的匀变速直线运动：
①前1秒、前2秒、前3秒……内的位移之比为1∶4∶9∶……
②第1秒、第2秒、第3秒……内的位移之比为1∶3∶5∶……
对末速为零的匀变速直线运动，可以相应的运用这些规律。
4．一种典型的运动
a1、x1、t1 a2、x2、t2
vB
A
B
C
物体由静止开始先做匀加速直线运动，紧接着又做匀减速直线运动到静止。用右图描述该过程，可以得出以下结论：
① ②
t1 t2 t3 t4 t5 t6 t7
t1 t2 t3 t4 t5 t6 t7
例1．两木块自左向右运动，用高速摄影机在同一底片上多次曝光，记录下木块每次曝光时的位置，连续两次曝光的时间间隔是相等，则
A．在时刻t2以及时刻t5两木块速度相同
B．在时刻t1两木块速度相同
C．在时刻t3和时刻t4之间某瞬间两木块速度相同
D．在时刻t4和时刻t5之间某瞬时两木块速度相同
解：由图看出：上边那个物体相邻相等时间内的位移之差为恒量，做匀变速直线运动；下边那个物体做匀速运动。由于t2及t5时刻两物体位置相同，说明这段时间内它们的位移相等，其中间时刻的瞬时速度相等，这个中间时刻显然在t3、t4之间，因此本题选C。
本题可以求出各时刻两木块的速度比。
例2．在与x轴平行的匀强电场中，电量q=1.0×10-8C、质量m=2.5×10-3kg的物体在光滑水平面上沿着x轴作直线运动，其位移与时间的关系是x=0.16t-0.02t2，x以m为单位，t以s为单位。从开始运动到5s末，物体所经过的路程为_____ m，克服电场力所做的功为____J。
解：将x＝0.16t－0.02t2和对照，可知该物体的初速度v0=0.16m/s，加速度大小a=0.04m/s2，方向跟速度方向相反。由v0=at可知在4s末物体速度减小到零，然后反向做匀加速运动，末速度大小v5=0.04m/s。前4s内位移大小，第5s内位移大小，因此从开始运动到5s末物体所经过的路程为0.34m，而位移大小为0.30m，克服电场力做的功W=max5=3×10-5J。
例3．玩具小车从水平面上的A点由静止开始做匀加速运动，到达B点后小车立即开始以2.0m/s2的加速度做匀减速运动，减速滑行t=2.0s后停在C点。已知A、C两点间的距离s=5.0m。则小车匀加速运动阶段的位移x1=___m；经历时间t1=___s，加速度a1=___m/s2。
解：画出示意图，将已知条件尽量标在图上，利用此类问题题的规律，由图上做出结论。
a1、x1、t1 a2、x2、t2
vB
A
B
C
本题a2=2.0m/s2，t2=2.0s，由此得x2=4.0m，vB=4.0m/s2，于是x1=x-x2=1.0m，t1=0.5s，a1=8.0m/s2。
这类题解法很多，但作图分析是最简洁的。
例4．物体从A点由静止开始做加速度大小为a1的匀加速直线运动，经时间t到达B点。这时突然改为做加速度大小为a2的匀减速直线运动，又经过时间t回到A点。求a1∶a2。
A B vB
vA
解：先画出示意图如右。以向右为正方向，2t内总位移为零，
O
x
t
t
O
v
，得a1∶a2=1∶3
三、运动图象
1．x-t图象。能读出x、t、v 的信息。
t/s
v/(mŸs-1)
①
②
1 2 3
10
8
6
4
2
O
2．v-t图象。能读出x、t、v、a的信息。v-t图象应用最多，必须熟练掌握。
例5．如图所示的直线①和②分别表示从同一位置出发，沿同一直线运动的两个物体的速度图象。它们的初速度各是多大？哪个物体的加速度大？经过多长时间它们的速度相同？经过多长时间两物体再次相遇？
解：由图象看出初速度v1=2m/s，v2=4m/s；①物体加速度大（a1=4m/s2，a2=2m/s2）；经过1s后速度相同（都是6m/s）；经过2s后两物体再次相遇（位移都是12m）。
例6．某人骑自行车在平直道路上行进，右图中的实线记录了自行车开始一段时间内的v-t图象，某同学为了简化计算，用虚线作近似处理。下列说法正确的是
v
t
O
t1
t2
t3
t4
A．在t1时刻，虚线反映的加速度比实际的大
B．在0-t1时间内，由虚线计算出的平均速度比实际的小
C．在t2-t3时间内，由虚线计算出的位移比实际的大
D．在t3-t4时间内，实线反映的物体做曲线运动
解：图线上某点的切线斜率表示加速度，因此t1时刻，虚线反映的加速度比实际的小；在0-t1时间内，虚线与横轴所围的面积比实线大，因此算出的平均速度比实际的大；在t2-t3时间内，虚线与横轴所围的面积比实线大，因此计算出的位移比实际的大；在t3-t4时间内，实线表示物体的速度大小有变化但速度方向没有改变，物体做的是直线运动。选C。
四、运动的合成与分解
1．运动的性质和轨迹
物体运动的性质由加速度决定（加速度得零时物体静止或做匀速运动；加速度恒定时物体做匀变速运动；加速度变化时物体做变加速运动）。
物体运动的轨迹（直线还是曲线）由物体的速度和加速度的方向关系决定（速度与加速度方向在同一条直线上时物体做直线运动；速度和加速度方向成角度时物体做曲线运动）。
v1 v
a1 a
O v2 a2
两个互成角度的匀变速直线运动的合运动是直线运动还是曲线运动？决定于它们的初速度v0的合速度和合加速度a方向是否共线（如图所示v0和a成角度，因此合运动是曲线运动；若图中恰好有v1∶v2= a1∶a2，则v0和a共线，合运动是直线运动）。
常见的运动类型有：
⑴a=0：匀速直线运动或静止。
⑵a恒定：性质为匀变速运动，分为：① v、a共线，匀变速直线运动；②v、a成角度，匀变速曲线运动（轨迹在v、a之间，和速度v的方向相切，方向逐渐向a的方向接近，但不可能达到。）
v2
v1
⑶a变化：性质为变加速运动。如匀速圆周运动（加速度大小不变但方向时刻改变）；又如简谐运动（加速度大小、方向都随时间变化）。
2．过河问题
如右图所示，若用v1表示水速，v2表示船速，则：
①过河时间仅由v2垂直于岸的分量v2⊥决定，即，与v1无关，当v2⊥岸时，过河所用时间最短，最短时间为。
v1
v2
v
②过河路程由实际运动轨迹的方向决定，当v1＜v2时，最短路程为d ；当v1＞v2时，可用三角形定则证明最短路程程为。
3．连带运动问题（指物拉绳[杆]或绳[杆]拉物问题）
特点：绳是不可伸长的，杆是不可伸长和压缩的，即绳或杆的长度都不会改变；
结论：两物体沿绳（杆）的分速度大小必然相等；
方法：把物体的实际速度分解为垂直于绳（杆）和平行于绳（杆）两个分量，根据沿绳（杆）方向的分速度大小相同求解。
v1
v1
α
甲
乙
v2
例7．如图所示，汽车甲以速度v1拉汽车乙前进，乙的速度为v2，甲、乙都在水平面上运动，求v1∶v2
解：甲、乙沿绳的速度分别为v1和v2cosα，两者应该相等，所以有v1∶v2=cosα∶1
由此可以分析得出：如果甲做匀速运动，则乙做加速运动。
五、平抛运动
物体初速度水平且仅受重力作用时的运动，称为平抛运动。其轨迹为抛物线，性质为匀变速运动。因此平抛物体的运动是匀变速曲线运动。
平抛运动可分解为水平方向的匀速运动和竖直方向的自由落体运动两个分运动。
广义地说，当物体所受的合外力恒定且与初速度垂直时，做类平抛运动。
1
2
1
2
有关方程：ax=0 vx=vo x=v0 t x=v0 t
ay=g vy=gt y= at2 y= vy t
注意：y有两种不同的表达式，可以灵活选用。
1．方格问题
A
B
C
D
E
例8．平抛小球的闪光照片如图。已知方格边长a和闪光照相的频闪间隔T，由这两个数据，求：平抛初速度v0、重力加速度g、小球通过C位置的瞬时速度大小vc。
解：水平方向： 竖直方向：，得；
先求C点的水平分速度vx和竖直分速度vy，再求合速度vC：

讨论：A是开始平抛的时刻吗？若不是，该平抛的开始时刻在A时刻前多少时间？
（由和，得开始平抛到C，经历时间是2.5T，因此该平抛的开始时刻在A时刻前T/2；位置在本图左边线上，比A点高a/8处。）
h
H
s L
v
2．临界问题
例9．已知排球场网高H，半场长L，某次扣球点高h，扣球点离网水平距离s、为了使水平扣出的球既不触网、又不出界，求运动员扣球速度v的取值范围。
解：假设运动员用速度vmax扣球时，球刚好不会出界，用速度vmin扣球时，球刚好不触网，从图中数量关系可得：
；
α
v0
vt
vx
vy
h
s
α
s/
实际扣球速度应满足：
3．一个有用的推论
平抛物体任意时刻瞬时速度方向的反向延长线与初速度延长线的交点到抛出点的距离都等于水平位移的一半。
证明：设时间t内物体的水平位移为s，竖直位移为h，则末速度的水平分量vx=v0=s/t，而竖直分量vy=2h/t， ， 所以有
θ

v0

vt

v0

vy

A
O
B
D
C
例10．从倾角为θ=30º的斜面顶端以初动能E=6J向下坡方向平抛出一个小球，求小球落到斜面上时的动能E´是多大？
解：以抛出点和落地点连线为对角线画出矩形ABCD，末速度vt的反向延长线交AB于中点O，由图中可知AD∶AO=2∶，由相似形可知vt∶v0=∶，因此E´=14J。

h=vyt/2
s=v0 t
h=gt2/2
s=v0t

本题也能用解析法求解。列出竖直分运动和水平分运动的方程，注意到倾角和下落高度和射程的关系，有：
或 同样可求得vt∶v0=∶，E´=14J

v0
A
B
C
D
4．变形题
v0
A
B
C
D
例11．如图所示，内壁光滑的薄壁圆钢管竖直固定在水平地面上。钢管的高为h=5.0m，横截面直径为d=2.0m。一只小球从钢管顶端的A点以初速度v0沿钢管顶面圆的直径方向抛出，运动过程中依次跟钢管内壁的B、C两点相碰（碰撞时间极短可以忽略不计碰撞前后竖直分速度大小不变，水平分速度大小不变方向相反），然后恰好落在底面圆的圆心D处。求：⑴小球从由A点抛出到落在D点所经历的时间t；⑵初速度v0的大小； ⑶A、C两点间的距离L。（取g=10m/s2）
解：⑴该运动相当于由A点平抛直接落地，飞行时间仅由高度决定，；⑵水平位移是5m，因此v0=5m/s；⑶A到C经历的时间是总时间的4/5即0.8s，自由下落3.2m。
5．曲线运动的一般研究方法
研究曲线运动的一般方法就是正交分解。将复杂的曲线运动分解为两个互相垂直方向上的直线运动。一般以初速度或合外力的方向为坐标轴进行分解。
例 12．如图所示，在竖直平面的xOy坐标系内，Oy表示竖直向上方向。该平面内存在沿x轴正向的匀强电场。一个带电小球从坐标原点沿Oy方向竖直向上抛出，初动能为4J，不计空气阻力。它达到的最高点位置如图中M点所示。求：⑴小球在M点时的动能E1；⑵在图上标出小球落回x轴时的位置N；⑶小球到达N点时的动能E2。⑷小球从O到N过程中的最小动能E´。
O
2
4
6
8
10
12
14
16
N
x/m
y/m
M
v1
v0
3
2
1
解：⑴在竖直方向小球只受重力，从O→M速度由v0减小到0；在水平方向小球只受电场力，速度由0增大到v1，由图知这两个分运动平均速度大小之比为2∶3，因此v0∶v1=2∶3，所以小球在M点时的动能E1=9J。
⑵由竖直分运动知，O→M和M→N经历的时间相同，因此水平位移大小之比为1∶3，故N点的横坐标为12。
⑶小球到达N点时的竖直分速度为v0，水平分速度为2v1，由此可得此时动能E2=40J。
v0
F合
α
x
y
O
vx
vy
vx
G
F
F合
α
⑷从O→M过程沿Ox、Oy方向分别有Δv=at∝a∝F，因此重力G与电场力F之比应为G∶F=2∶3，力的合成如图所示。沿合力F合方向和垂直于合力F合方向建立直角坐标系，将初速度v0正交分解，则沿Ox方向vx=v0cosα保持不变，
沿Oy方向vy先减小到零再增大。当vy=0时，小球的速度最小，最小速度是，对应的动能也最小，最小动能是=2.8J
六、匀速圆周运动
1．匀速圆周运动的特点
匀速圆周运动是变速运动（速度方向时刻在变），而且是变加速运动（加速度方向时刻在变）。
2．描述匀速圆周运动的物理量
描述匀速圆周运动的物理量有线速度v、角速度ω、周期T、频率f、转速n、向心加速度a等等。
转速n的单位是r/s（转每秒）或r/min（转每分），注意区分r/s和rad/s。
，它们之间的关系是：
，ω=2πf=2πn
凡是直接用皮带传动（包括链条传动、摩擦传动）的两个轮子，两轮边缘上各点的线速度大小相等；凡是同一个轮轴上（各个轮都绕同一根轴同步转动）的各点角速度相等（轴上的点除外）。
a
b
c
d
例13．如图所示装置中，三个轮的半径分别为r、2r、4r，b点到圆心的距离为r，求图中a、b、c、d各点的线速度之比、角速度之比、加速度之比。
解：va= vC，而vb∶vC∶vd =1∶2∶4，所以va∶ vb∶vC∶vd =2∶1∶2∶4；ωa∶ωb=2∶1，而ωb=ωC=ωd ，所以ωa∶ωb∶ωC∶ωd =2∶1∶1∶1；再利用a=vω，可得aa∶ab∶ac∶ad=4∶1∶2∶4
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