资源描述
2022-2023学年九上数学期末模拟试卷
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题（每题4分，共48分）
1．如图，转盘的红、黄、蓝、紫四个扇形区域的圆心角分别记为，，，．自由转动转盘，则下面说法错误的是（ ）
A．若，则指针落在红色区域的概率大于0.25
B．若，则指针落在红色区域的概率大于0.5
C．若，则指针落在红色或黄色区域的概率和为0.5
D．若，则指针落在红色或黄色区域的概率和为0.5
2．已知的半径为，点的坐标为，点的坐标为，则点与的位置关系是（ ）
A．点在外 B．点在上 C．点在内 D．不能确定
3．某车的刹车距离y（m）与开始刹车时的速度x（m/s）之间满足二次函数（x＞0），若该车某次的刹车距离为5 m，则开始刹车时的速度为（ ）
A．40 m/s B．20 m/s
C．10 m/s D．5 m/s
4．已知△ABC的外接圆⊙O，那么点O是△ABC的（ ）
A．三条中线交点 B．三条高的交点
C．三条边的垂直平分线的交点 D．三条角平分线交点
5．如图，有一块直角三角形余料ABC，∠BAC=90°，D是AC的中点，现从中切出一条矩形纸条DEFG，其中E,F在BC上，点G在AB上，若BF=4.5cm，CE=2cm，则纸条GD的长为（ ）
A．3 cm B．cm C．cm D．cm
6．如图，正六边形内接于圆，圆半径为2，则六边形的边心距的长为（ ）
A．2 B． C．4 D．
7．反比例函数经过点（1，），则的值为（ ）
A．3 B． C． D．
8．抛物线的顶点坐标是（ ）
A． B． C． D．
9．如图，是的内切圆，切点分别是、，连接，若，则的度数是( )
A． B． C． D．
10．如图，若为正整数，则表示的值的点落在（ ）
A．段① B．段② C．段③ D．段④
11．如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝8，E为BC的中点，F为DE上一动点，P为AF中点，连接PC，则PC的最小值是（ ）
A．4 B．8 C．2 D．4
12．为了让市民游客欢度“五一”，泉州市各地推出了许多文化旅游活动和景区优惠，旅游人气持续兴旺．从市文旅局获悉，“五一”假日全市累计接待国内外游客171.18万人次，171.18万这个数用科学记数法应表示为（ ）
A．1.7118×10 B．0.17118×10
C．1.7118×10 D．171.18×10
二、填空题（每题4分，共24分）
13．平面直角坐标系xOy中，若点P在曲线y＝上，连接OP，则OP的最小值为_____．
14．如图，菱形的边长为4，，E为的中点，在对角线上存在一点，使的周长最小，则的周长的最小值为__________．
15．已知正六边形的边长为10，那么它的外接圆的半径为_____．
16．在中，，，在外有一点，且，则的度数是__________．
17．一组数据：3，2，1，2，2，3，则这组数据的众数是_____．
18．使式子有意义的x的取值范围是____.
三、解答题（共78分）
19．（8分）有两个口袋，口袋中装有两个分别标有数字2，3的小球，口袋中装有三个分别标有数字的小球（每个小球质量、大小、材质均相同）．小明先从口袋中随机取出一个小球，用表示所取球上的数字；再从口袋中顺次取出两个小球，用表示所取两个小球上的数字之和．
（1）用树状图法或列表法表示小明所取出的三个小球的所有可能结果；
（2）求的值是整数的概率．
20．（8分）大学生小李和同学一起自主创业开办了一家公司，公司对经营的盈亏情况在每月的最后一天结算一次.在1－12月份中，该公司前x个月累计获得的总利润y（万元）与销售时间x（月）之间满足二次函数关系.
（1）求y与x函数关系式.
（2）该公司从哪个月开始“扭亏为盈”（当月盈利）? 直接写出9月份一个月内所获得的利润.
（3）在前12 个月中，哪个月该公司所获得利润最大？最大利润为多少？
21．（8分）关于的一元二次方程有两个不相等的实数根.
（1）求的取值范围；
（2）若满足，求的值.
22．（10分）如图，在大楼AB的正前方有一斜坡CD，CD=13米，坡比DE:EC=1：，高为DE，在斜坡下的点C处测得楼顶B的仰角为64°，在斜坡上的点D处测得楼顶B的仰角为45°，其中A、C、E在同一直线上．
（1）求斜坡CD的高度DE；
（2）求大楼AB的高度；（参考数据：sin64°≈0.9，tan64°≈2）．
23．（10分）如图，取△ABC的边AB的中点O，以O为圆心AB为半径作⊙O交BC于点D，过点D作⊙O的切线DE，若DE⊥AC，垂足为点E．
（1）求证：△ABC是等腰三角形；
（2）若DE=1，∠BAC=120°，则的长为 ．
24．（10分）计算：（1）；
（2）先化简，再求值．，其中a=2020；
25．（12分）阅读材料：以下是我们教科书中的一段内容，请仔细阅读，并解答有关问题．
公元前3世纪，古希腊学家阿基米德发现：若杠杆上的两物体与支点的距离与其重量成反比，则杠杆平衡，后来人们把它归纳为“杠杆原理”，通俗地说，杠杆原理为：
阻力×阻力臂=动力×动力臂
（问题解决）
若工人师傅欲用撬棍动一块大石头，已知阻力和阻力臂不变，分别为1500N和0.4m．
（1）动力F（N）与动力臂l（m）有怎样的函数关系？当动力臂为1.5m时，撬动石头需要多大的力？
（2）若想使动力F（N）不超过题（1）中所用力的一半，则动力臂至少要加长多少？
（数学思考）
（3）请用数学知识解释：我们使用棍，当阻力与阻力臂一定时，为什么动力臂越长越省力．
26．如图，一次函数y1＝kx＋b(k≠0)和反比例函数y2＝(m≠0)的图象交于点A(－1，6)，B(a，－2)．
（1）求一次函数与反比例函数的解析式;
（2）根据图象直接写出y1>y2 时，x的取值范围．
参考答案
一、选择题（每题4分，共48分）
1、C
【分析】根据概率公式计算即可得到结论．
【详解】解：A、∵α＞90°，
，故A正确；
B、∵α+β+γ+θ=360°，α＞β+γ+θ，
，故B正确；
C、∵α-β=γ-θ，
∴α+θ=β+γ，∵α+β+γ+θ=360°，
∴α+θ=β+γ=180°，
∴指针落在红色或紫色区域的概率和为0.5，故C错误；
D、∵γ+θ=180°，
∴α+β=180°，
∴指针落在红色或黄色区域的概率和为0.5，故D正确；
故选：C．
【点睛】
本题考查了概率公式，熟练掌握概率公式是解题的关键．
2、B
【分析】根据题意先由勾股定理求得点P到圆心O的距离，再根据点与圆心的距离与半径的大小关系，来判断出点P与⊙O的位置关系．
【详解】解：∵点P的坐标为（3，4），点的坐标为，
∴由勾股定理得，点P到圆心O的距离= ，
∴点P在⊙O上.
故选：B．
【点睛】
本题考查点与圆的位置关系，根据题意求出点到圆心的距离是解决本题的关键．
3、C
【解析】当y=5时，则，解之得（负值舍去），故选C
4、C
【分析】根据三角形外接圆圆心的确定方法，结合垂直平分线的性质，即可求得.
【详解】已知⊙O是△ABC的外接圆，那么点O一定是△ABC的三边的垂直平分线的交点，
故选：C．
【点睛】
本题考查三角形外接圆圆心的确定，属基础题.
5、C
【详解】∵四边形DEFG是矩形，
∴GD∥EF,GD=EF,
∵D是AC的中点，
∴GD是△ABC的中位线，
∴,
∴,
解得：GD=.
故选D.
6、D
【分析】连接OB、OC，证明△OBC是等边三角形，得出即可求解．
【详解】解：连接OB、OC，如图所示：
则∠BOC=60°，
∵OB=OC，
∴△OBC是等边三角形，
∴BC=OB=2，
∵OM⊥BC，
∴△OBM为30°、60°、90°的直角三角形，
∴，
故选：D．
【点睛】
本题考查了正多边形和圆、正六边形的性质、垂径定理、勾股定理、等边三角形的判定与性质；熟练掌握正六边形的性质，证明三角形是等边三角形和运用垂径定理求出BM是解决问题的关键．
7、B
【解析】此题只需将点的坐标代入反比例函数解析式即可确定k的值．
【详解】把已知点的坐标代入解析式可得，k=1×（-1）=-1．
故选：B．
【点睛】
本题主要考查了用待定系数法求反比例函数的解析式，．
8、D
【分析】当 时，是抛物线的顶点，代入求出顶点坐标即可．
【详解】由题意得，当 时，是抛物线的顶点
代入到抛物线方程中
∴顶点的坐标为
故答案为：D．
【点睛】
本题考查了抛物线的顶点坐标问题，掌握求二次函数顶点的方法是解题的关键．
9、C
【分析】由已知中∠A＝100°，∠C＝30°，根据三角形内角和定理，可得∠B的大小，结合切线的性质，可得∠DOE的度数，再由圆周角定理即可得到∠DFE的度数．
【详解】解：∠B＝180°−∠A−∠C＝180−100°−30°＝50°
∠BDO＋∠BEO＝180°
∴B、D、O、E四点共圆
∴∠DOE＝180°−∠B＝180°−50°＝130°
又∵∠DFE是圆周角，∠DOE是圆心角
∠DFE＝∠DOE＝65°
故选：C．
【点睛】
本题考查的知识点是圆周角定理，切线的性质，其中根据切线的性质判断出B、D、O、E四点共圆，进而求出∠DOE的度数是解答本题的关键．
10、B
【分析】将所给分式的分母配方化简，再利用分式加减法化简，根据x为正整数，从所给图中可得正确答案．
【详解】解∵1．
又∵x为正整数，∴1，故表示的值的点落在②．
故选B．
【点睛】
本题考查了分式的化简及分式加减运算，同时考查了分式值的估算，总体难度中等．
11、D
【分析】根据中位线定理可得出点点P的运动轨迹是线段P1P2，再根据垂线段最短可得当CP⊥P1P2时，PC取得最小值；由矩形的性质以及已知的数据即可知CP1⊥P1P2，故CP的最小值为CP1的长，由勾股定理求解即可．
【详解】解：如图：
当点F与点D重合时，点P在P1处，AP1＝DP1，
当点F与点E重合时，点P在P2处，EP2＝AP2，
∴P1P2∥DE且P1P2＝DE
当点F在ED上除点D、E的位置处时，有AP＝FP
由中位线定理可知：P1P∥DF且P1P＝DF
∴点P的运动轨迹是线段P1P2，
∴当CP⊥P1P2时，PC取得最小值
∵矩形ABCD中，AB＝4，AD＝8，E为BC的中点，
∴△ABE、△CDE、△DCP1为等腰直角三角形，DP1＝2
∴∠BAE＝∠DAE＝∠DP1C＝45°，∠AED＝90°
∴∠AP2P1＝90°
∴∠AP1P2＝45°
∴∠P2P1C＝90°，即CP1⊥P1P2，
∴CP的最小值为CP1的长
在等腰直角CDP1中，DP1＝CD＝4，
∴CP1＝4
∴PB的最小值是4．
故选：D．
【点睛】
本题考查轨迹问题、矩形的性质等知识，解题的关键是学会利用特殊位置解决问题，有难度．
12、C
【分析】用科学记数法表示较大数的形式是 ，其中，n为正整数，只要确定a,n即可.
【详解】将171.18万用科学记数法表示为：1.7118×1．
故选：C．
【点睛】
本题主要考查科学记数法，掌握科学记数法是解题的关键.
二、填空题（每题4分，共24分）
13、1
【分析】设点P（a，b），根据反比例函数图象上点的坐标特征可得＝18，根据＝，且≥2ab，可求OP的最小值．
【详解】解：设点P（a，b）
∵点P在曲线y＝上，
∴＝18
∵≥0，
∴≥2ab，
∵＝，且≥2ab，
∴≥2ab＝31，
∴OP最小值为1．
【点睛】
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，灵活运用≥2ab是本题的关键．
14、+2
【分析】连接DE，因为BE的长度固定，所以要使△PBE的周长最小，只需要PB+PE的长度最小即可．
【详解】解：连结DE．
∵BE的长度固定，
∴要使△PBE的周长最小只需要PB+PE的长度最小即可，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC与BD互相垂直平分，
∴P′D=P′B，
∴PB+PE的最小长度为DE的长，
∵菱形ABCD的边长为4，E为BC的中点，∠DAB=60°，
∴△BCD是等边三角形，
又∵菱形ABCD的边长为4，
∴BD=4，BE=2，DE=，
∴△PBE的最小周长=DE+BE=，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了菱形的性质、轴对称以及最短路线问题、直角三角形斜边上的中线性质；熟练掌握菱形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．
15、1
【分析】利用正六边形的概念以及正六边形外接圆的性质进而计算．
【详解】边长为1的正六边形可以分成六个边长为1的正三角形，
∴外接圆半径是1，
故答案为：1．
【点睛】
本题考查了正六边形的概念以及正六边形外接圆的性质，掌握正六边形的外接圆的半径等于其边长是解题的关键．
16、、
【分析】由，可知A、C、B、M四点共圆，AB为圆的直径，则是弦AC所对的圆周角，此时需要对M点的位置进行分类讨论，点M分别在直线AC的两侧时，根据同弧所对的圆周角相等和圆内接四边形对角互补可得两种结果．
【详解】解：∵在中，，，
∴∠BAC=∠ACB=45°，
∵点在外，且，
即∠AMB=90°
∵
∴A、C、B、M四点共圆，
①如图，当点M在直线AC的左侧时，
,
∴；
②如图，当点M在直线AC的右侧时，
∵，
∴，
故答案为：135°或45°．
【点睛】
本题考查了圆内接四边形对角互补和同弧所对的角相等，但解题的关键是要先根据题意判断出A、C、B、M四点共圆．
17、1．
【分析】根据众数的定义：一组数据中出现次数最多的数据解答即可．
【详解】在数据：3，1，1，1，1，3中，1出现3次，出现的次数最多，
∴这组数据的众数是1，
故答案为：1．
【点睛】
此题考查的是求一组数据的众数，掌握众数的定义是解决此题的关键．
18、
【分析】根据二次根式有意义的条件：被开方数为非负数求解即可．
【详解】解：由题意得：x-1≥0，x-1≠0，
解得：x≥1，x≠1．
故答案为x≥1且x≠1．
【点睛】
本题考查了二次根式有意义的条件，解答本题的关键是掌握被开方数为非负数、分母不为零．
三、解答题（共78分）
19、（1）答案见解析；（2）．
【分析】（1）共有12种等可能的情况，根据题意画出树状图即可；
（2）根据树状图列出所有可能的值，即可求出的值是整数的概率．
【详解】（1）用树状图法表示小明所取出的三个小球的所有可能结果如下：
共有12种等可能的情况；
（2）由树状图可知，
所有可能的值分别为：
共12种情况，且每种情况出现的可能性相同，
其中的值是整数的情况有6种．
的值是整数的概率．
【点睛】
本题考查了概率统计的问题，掌握树状图的性质以及画法是解题的关键．
20、（1） ；（2）从4月份起扭亏为盈； 9月份一个月利润为11万元 ；（3）12，17万元.
【分析】（1）根据题意此抛物线的顶点坐标为，设出抛物线的顶点式，把代入即可求出的值，把的值代入抛物线的顶点式中即可确定出抛物线的解析式；
（2）由图可解答；求8、9两个月份的总利润的差即为9月的利润；
（3）根据前个月内所获得的利润减去前个月内所获得的利润，即可表示出第个月内所获得的利润，为关于的一次函数，且为增函数，得到取最大为12时，把代入即可求出最多的利润．
【详解】（1）根据题意可设：，
∵点在抛物线上，
∴，
解得：，
∴即 ；
（2）∵，对称轴为直线，
∴当时y随x的增大而增大，
∴从4月份起扭亏为盈；
8月份前的总利润为：万元,
9月份前的总利润为：万元,
∴9月份一个月利润为：万元；
（3）设单月利润为W万元，
依题意得：，
整理得：，
∵，
∴W随增大而增大，
∴当x＝12时，利润最大，最大利润为17万元
【点睛】
本题考查了二次函数的应用，主要考查学生会利用待定系数法求函数的解析式，灵活运用二次函数的图象与性质解决实际问题，认真审题很重要．
21、（1）；（2）a=-1
【分析】（1）方程有两个不相等的实数根，即为方程根的判别式大于0，由此可得关于a的不等式，解不等式即可求出结果；
（2）根据一元二次方程的根与系数的关系可得关于a的方程，解方程即可求出a的值，再结合（1）的结论取舍即可.
【详解】解：（1）∵方程有两个不相等的实数根，∴，解得：，
∴的取值范围为：；
（2）∵是方程的两个根，∴，，
∵，∴，
∴，解得：，
∵，∴.
【点睛】
本题考查了一元二次方程的根的判别式、根与系数的关系和一元二次方程的解法，属于常考题型，熟练掌握上述知识是解题关键.
22、（1）斜坡CD的高度DE是5米；（2）大楼AB的高度是34米．
【解析】试题分析：（1）根据在大楼AB的正前方有一斜坡CD，CD=13米，坡度为1：，高为DE，可以求得DE的高度；
（2）根据锐角三角函数和题目中的数据可以求得大楼AB的高度．
试题解析：（1）∵在大楼AB的正前方有一斜坡CD，CD=13米，坡度为1：，
∴，
设DE=5x米，则EC=12x米，
∴（5x）2+（12x）2=132，
解得：x=1，
∴5x=5，12x=12，
即DE=5米，EC=12米，
故斜坡CD的高度DE是5米；
（2）过点D作AB的垂线，垂足为H，设DH的长为x，
由题意可知∠BDH=45°，
∴BH=DH=x，DE=5，
在直角三角形CDE中，根据勾股定理可求CE=12，AB=x+5，AC=x-12，
∵tan64°=，
∴2=，
解得，x=29，AB=x+5=34，
即大楼AB的高度是34米．
23、（1）证明见解析；（2）
【分析】（1）连接OD，利用等边对等角证得∠1=∠B，利用切线的性质证得OD∥AC，推出∠B=∠C，从而证明△ABC是等腰三角形；
（2）连接AD，利用等腰三角形的性质证得∠B=∠C=30，BD=CD=2，求得直径AB=，利用弧长公式即可求解．
【详解】（1）证明：连结OD．
∵OB=OD，
∴∠1=∠B，
∵DE为⊙O的切线，
∴∠ODE=90°，
∵DE⊥AC，
∴∠ODE=∠DEC=90°，
∴OD∥AC，
∴∠1=∠C．
∴∠B=∠C，
∴AB=AC，即△ABC是等腰三角形；
（2）连接AD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠BDA=90， 即AD⊥BC，
又∵△ABC是等腰三角形，∠BAC=120，
∴∠BAD=∠BAC=60，BD=CD，
∴∠B=∠C=30，
在Rt△CDE中，∠CED=90，DE=1，∠C=30，
∴CD=2DE=2，
∴BD=CD=2，
在Rt△ABD中，
，即，
∴AB=，
∴OA=OD=AB=，
∠AOD=2∠B=60，
∴的长为．
故答案为：．
【点睛】
本题考查了切线的性质，等腰三角形的判定和性质，锐角三角函数，弧长公式等知识点的综合运用．作出常用辅助线是解题的关键．
24、（1）；（2），1．
【分析】（1）把分式方程化为整式方程，即可求解；
（2）根据分式的运算法则进行化简，再代入a即可求解．
【详解】解：（1）去分母得：
解得：
检验：当时，
∴是原分式方程的解；
（2）
=
当时，原式=1．
【点睛】
此题主要考查分式方程与分式化简求值，解题的关键是熟知其运算法则．
25、（1）400N；（2）1.5米；（3）见解析
【分析】(1)根据杠杆定律求得函数的解析式后代入l=1.5求得力的大小即可；
(2)将求得的函数解析式变形后求得动力臂的大小，然后即可求得增加的长度；
(3)利用反比例函数的知识结合杠杆定律进行说明即可．
【详解】试题解析：(1)、根据“杠杆定律”有FL=1500×0.4，
∴函数的解析式为F=，
当L=1.5时，F==400， 因此，撬动石头需要400N的力；
(2)、由(1)知FL=600，
∴函数解析式可以表示为：L=，
当F=400×=200时，L=3，3﹣1.5=1.5（m），
因此若用力不超过400N的一半，则动力臂至少要加长1.5米；
(3)因为撬棍工作原理遵循“杠杆定律”，当阻力与阻力臂一定时，其乘积为常数，设其为k，则动力F与动力臂L的函数关系式为F=，根据反比例函数的性质可知，动力F随动力臂l的增大而减小，所以动力臂越长越省力．
考点：反比例函数的应用
26、（1）y1＝－2x＋4，y2＝－；（2）x<－1或0<x<1．
【分析】（1）把点A坐标代入反比例函数求出k的值，也就求出了反比例函数解析式，再把点B的坐标代入反比例函数解析式求出a的值，得到点B的坐标，然后利用待定系数法即可求出一次函数解析式；
（2）找出直线在一次函数图形的上方的自变量x的取值即可．
【详解】解：（1）把点A（﹣1，6）代入反比例函数（m≠0）得：m=﹣1×6=﹣6，
∴．
将B（a，﹣2）代入得：，a=1，∴B（1，﹣2），将A（﹣1，6），B（1，﹣2）代入一次函数y1=kx+b得：，
∴，
∴；
（2）由函数图象可得：x＜﹣1或0＜x＜1．
【点睛】
本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，利用数形结合思想解题是本题的关键．
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