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应用数学MATHEMATICA APPLICATA2023,36(4):845-858次线性期望空间下精确渐近性的一般定律黄丽桢,吴群英(桂林理工大学理学院,广西 桂林 541004)摘要：假设Xn;n 1是次线性期望空间(,H,E)上的独立同分布随机变量序列.本文在CV(X2)0,(1.1)其中,(x)和f(x)分别称为加权函数和边界函数.1947年,Hsu和Robbins6首次提出了随机变量序列完全收敛的概念.在此基础上,许多学者在(1.1)中讨论某阶矩存在的条件下,不断研究(n)与f(n)之间的关系,证明P(,f,)0.类似的结果,我们可以参考Hsu和Robbins6、Erd os78和Baum以及Katz9等的成果,他们分别研究了(n)=1,f(n)=n和(n)=nr/p2,f(n)=n1/p,其中0 p 2,r p的情况.收稿日期：2022-08-16基金项目：国家自然科学基金(12061028)作者简介：黄丽桢,女,汉族,广西人,研究方向:概率极限理论.通讯作者：吴群英.846应用数学2023进一步,在完全收敛的基础上,学者们继续研究当趋于0时,P(,f,)的收敛速度和极限值,这个方向的研究称为精确渐近性.1975年Heyde10首次证明了独立同分布随机变量序列的精确渐近性,并且得出以下结论:lim02n=1P|Sn|n=EX2成立,当且仅当EX=0,EX2.有关更多精确渐近性的类似结果,我们可以参考1978年CHEN11研究了(n)=nr2,f(n)=nr/t,2 t 2r 2t,的情况;1999年Sp ataru12讨论了(n)=1/n,f(n)=n,n 1,的情况;2000年Gut和Sp ataru13研究了(n)=np/r2,f(n)=n1/r,1 r p 2,的情况等.2012 年MENG14证明了(n)=h(n)h(n),f(n)=nh(n)的两个精确渐近的一般式如下:lim02+2n=n0h(n)h(n)P|Sn|nh(n)=1+1E|N|2+22+2,(1.2)和lim02+2n=n0h(n)h(n)Pmax1kn|Sk|nh(n)=2+1E|N|2+22+2k=0(1)k(2k+1)2+2,(1.3)其中,0 1,N是标准正态随机变量.令=0,h(x)=loglogx,则(1.2)是文15的定理2.令h(x)=logx,则(1.2)是文13的定理3.因此,研究(x)和f(x)之间关系的一般式变得更有意义.综上所述发现,目前在传统概率空间中,精确渐近性的研究有了较丰富的成果.但是在次线性期望空间里,次线性期望和容度没有可加性,这就增加研究次线性期望空间的精确渐近性的难度.目前在次线性期望空间中,ZHANG16研究了(n)=1,f(n)=n,n 1,精确渐近性;XUE17获得了(n)=n(r2p)/p,f(n)=n(2p)/2p,1 p r 0,以及(n)=1/nlognloglogn,f(n)=n(loglogn)d,d 0,的精确渐近性等.但是,目前在次线性期望空间中,还没有加权函数(x)与边界函数f(x)之间关系的一般结果.因此,本文将传统概率空间中的(1.2)式和(1.3)式的结论推广到次线性期望空间,在CV(X2)0,m Z+取决于,使得对任意x,y Rn都有:|(x)(y)|c(1+|x|m+|y|m)|x y|.此时,称H是由随机变量所构成的空间,并记X H.定义2.12E:H R,+称为次线性期望,若E满足下面四个条件:1)单调性：如果X Y,那么E(X)E(Y);2)保持常数不变性:E(c)=c;3)次可加性：E(X+Y)E(X)+E(Y);4)正齐次性：E(X)=E(X),0.称三元组(,H,E)为次线性期望空间,E是次线性期望,定义E的共轭期望 为:(X):=E(X),X H.第 4 期黄丽桢等：次线性期望空间下精确渐近性的一般定律847从定义得出,对于所有的X,Y H,则有:|E(X Y)|E|X Y|,E(X Y)E(X)E(Y).(2.1)定义2.22令G F,一个函数V:G 0,1称为容度,如果下式成立:1)V()=0,V()=1;2)V(A)V(B),A B,A,B G.如果对于所有的A,B G,有V(A B)V(A)+V(B),则称V具有次可加性;如果对An F,有V(n=1An)n=1V(An),则称V具有可数次可加性.在(,H,E)中对上容度和下容度(V,V)的定义如下:V(A):=infE:I(A),H,V(A):=1 V(Ac),A F,其中,Ac为A的补集.根据定义,则有:V(A)V(A),A F.(2.2)如果I(A)H,则有:V(A)=E(I(A),V(A)=(I(A).若f I(A)g,f,g H,则有:Ef V(A)Eg,f V(A)g.(2.3)对于X H,p 0,x 0,有I(|X|x)|X|pxpI(|X|x)|X|pxp,由|X|pxp H以及(2.3)得Markov不等式V(|X|x)E(|X|p)xp(2.4)成立.定义2.32定义Choquet积分为:CV(X)=0V(X t)dt+0(V(X t)1)dt,其中,V 可由上容度V和下容度V替换.定义2.4191.同分布:假设X1和X2为两个n维随机向量,分别定义在次线性期望空间(1,H1,E1)和(2,H2,E2)中,若E1(X1)=E2(X2),Cl,Lip(Rn),则称X1与X2同分布,并记为X1d=X2.若对i 1,有Xid=X1,则称随机变量序列Xn;n 1也是同分布的.2.独立性:在次线性期望空间(,H,E)中,对于每一个 Cl,Lip(Rm Rn),若Y=(Y1,Yn),Yi H和X=(X1,Xm),Xi H满足E(X,Y)=E(E(x,Y)?x=X),其中,对于所有的x,有(x):=E(|(x,Y)|),并且E(|(X)|)0,使得充分大的n,都有an cbn.记ax bx表示 limxax/bx=1.848应用数学2023为证本文的结论,本文需要用到以下引理:引理2.116假设Zn,k;k=1,kn是一个独立随机变量的数组,kn Z+,使得E(Zn,k)0和E(Z2n,k)0有:V(maxmknmk=1Zn,k x)V(maxkknZn,k y)+expxyxy(Bnxy+1)ln(1+xyBn),其中,Bn=knk=1E(Z2n,k).引理2.216假设X,Xn;n 1是次线性期望空间(,H,E)上的独立同分布随机变量序列,满足以下三个条件:(a)limcE(X2 c)存在;(b)x2V(|X|x)0,x ;(c)limcE(X(c)=limcE(X(c)=0.则对任意连续有界的函数有:limnE(Snn)=E(),其中,N(0,2,2),2=limcE(X2 c),2=limc(X2 c).和limnV(|Sn|xn)=F(x),(2.6)其中,F(x):=V(|x),且x是F的连续点.以及limnV(maxkn|Sk|xn)=2G(x),x 0,(2.7)其中,G(x)=k=0(1)kP|N|(2k+1)x.引理2.316假设X,Xn;n 1是次线性期望空间(,H,E)上的独立随机变量序列,为实数,且0 0,k=1,n,则(1 )V(maxkn(|Sk|n,k)x+)V(|Sn|x),x 0,0.引理2.416假设X,Xn;n 1是次线性期望空间(,H,E)上的独立随机变量序列,(Xk)0,存在一个常数c 0,使得x 0,有:V(Sn x)cnk=1E(X2k)x2.3.主要结果及其证明定理3.1假设h(x)是定义在n0,)上单调上升的可微慢变化函数,且xh(x)单调下降.假设X,Xn;n 1是次线性期望空间(,H,E)上独立同分布的随机变量序列,V具有可数次可加性,且满足:CV(X2),limcE(X(c)=limcE(X(c)=0.(3.1)则对任意的0 1有:lim02+2n=n0h(n)h(n)V(|Sn|nh(n)=CV(|2+2)+1,(3.2)其中,N(0,2,2),2=limcE(X2 c),2=limc(X2 c).第 4 期黄丽桢等：次线性期望空间下精确渐近性的一般定律849反之,如果n=n0h(n)h(n)V(|Sn|nh(n)0,(3.3)且当n k时,(Sn Sk)与Snk同分布,以及h(x)h(x)x c(xh(x),则(3.1)成立.定理3.2假设h(x)是定义在n0,)上单调上升的可微慢变化函数,且xh(x)单调下降.假设X,Xn;n 1是次线性期望空间(,H,E)上独立同分布的随机变量序列,V具有可数次可加性,且满足(3.1),则对任意的0 n0,有:lim0I1()=lim02+2ch(x)h(x)V(|h(x)dx=lim0h(c)2y2+1V(|y)dy(令y=h(x)850应用数学2023=02y2+1V(|y)dy=CV(|2+2)+1.再证(3.6).先假设M 64,记AM,:=h1(M2),其中,h1是h的反函数.注意到:|I2()|2+2n0nAM,h(n)h(n)?V(|Sn|nh(n)V(|h(n)?+2+2nAM,h(n)h(n)V(maxkn|Sk|nh(n)+2+2nAM,h(n)h(n)V(|h(n):=I21()+I22()+I23().因此,要证(3.6),只需证:lim0I21()=0,(3.7)和limMI2j()=0,j=2,3,(3.8)关于一致成立.先证(3.7).当M 64 时,有:I21()2+2AM,n0h(x)h(x)?V(?Sx?x h(x)V(|h(x)?dx2+2A,n02h(x)h(x)dx+2+2AM,A,h(x)h(x)supnA,?V(|Sn|n h(x)V(|h(x)?dx2+1+M02y2+1supnA,?V(|Sn|n y)F(y)?dy(令y=h(x).(3.9)由于CV(X2)=0V(X2 x)dx 蕴含着 limcE(X2 c)是存在的和 limxx2V(|X|x)=0,因此,CV(X2)蕴含着引理2.2的(a)和(b),所以(3.1)式蕴含着引理2.2的条件.从(2.6)可知,对于F的所有连续点y,有:lim0supnA,?V(|Sn|n y)F(y)?=0.(3.10)注意到F(y)是单调递减函数,因此它的不连续点是可数的.所以,(3.10)式对除了某个Lebesgue测度为零的集合以外的所有y都成立,再结合y2+1supnA,?V(|Sn|n y)F(y)?2M+1/2,0 y M.根据Lebesgue有界收敛定理,由(3.10)得出:lim0M0y2+1supnA,?V(|Sn|n y)F(y)?dy=0.因此,在(3.9)式中,首先令 0,再令 0,则(3.7)成立.第 4 期黄丽桢等：次线性期望空间下精确渐近性的一般定律851继续,证(3.8)关于j=2成立.对于0 1时,(x)=1,则有:I(|x|1)(x)I(|x|).(3.11)根据(2.3),(3.11)以及X与Xi的同分布,对于x 0,0 AM,h(n)h(n)nV(|X|nh(n)/16)=0(3.15)关于一致成立.先证(3.14).由于0 1,因此 1 0,则有:2+2AM,h(x)h(x)1(2h(x)2dx=22AM,h2(x)h(x)dx852应用数学2023=22M2y2dy(令y=h(x)=11 M1 0,M .(3.16)再证(3.15).由xh(x)是单调下降的,则存在着一个正常数l,使得xh(x)l.V具有可数次可加性.由h(x)是慢变化函数的性质可知:h(2k+1)h(2k).又因为2j AM,=h1(M2),1 AM,h(n)h(n)nV(|X|nh(n)/16)lnAM,h(n)V(|X|cnh(n)=lklog2AM,2kn2k+1h(n)V(|X|cnh(n)lklog2AM,2kh(2k+1)V(|X|c2kh(2k)lklog2AM,2kh(2k)j=kV(c22jh(2j)X2 c22j+1h(2j+1)=ljlog2AM,V(c22jh(2j)X2 c22j+1h(2j+1)log2AM,kj2kh(2k)lkj2kh(2j)jlog2AM,V(X2 c22jh(2j)jlog2AM,2jh(2j)V(X2 22jh(2j)(M2)1jlog2AM,2jh(2j)V(X2 22jh(2j).(3.17)又因为nM2AM,V(X2 2n)jlog2AM,2j1h(2j1)n2jh(2j)V(X2 2n)jlog2AM,2j1h(2j1)n2jh(2j)V(X2 22jh(2j)=jlog2AM,2jh(2j)(1 h(2j1)2h(2j)V(X2 22jh(2j)12jlog2AM,2jh(2j)V(X2 22jh(2j).(3.18)不妨假设2 xh(x)/2)V(maxknSk xh(x)/2)+V(maxkn(Sk)xh(x)/2).(3.20)因此,结合(3.16),(3.19)以及(3.20)可知:(3.8)关于j=2成立.再证,(3.8)关于j=3成立.由 N(0,2,2)以及结合文20中引理4,则CV(2+2)h(x)dx=22h(AM,)y2+1V(|y)dy(令y=h(x)2M/2y2+1V(|y)dy 0,M .(3.21)所以,(3.8)关于j=3成立.因此,分别证明了(3.7)和(3.8),则(3.6)成立.所以,我们完成了定理3.1的证明.必要性的证明先证:(3.3)蕴含着CV(X2).由文20中引理4可知,E|0,q 0和n h1(qE|+1)2,qE|0,定义 Cl,Lip(R),使得I(x qE|+1)(x)I(x qE|),再由(2.3),(2.4)和引理2.2,则有:V(|Sn|nh(n)V(|Sn|(qE|+1)n)E(|Sn|n)E(|)V(|qE|)E|qE|=1q.令q ,则有:V(|Sn|nh(n)0,n ,0.(3.22)因此,存在一个n1,当n n1时,使得V(|Sn|nh(n)0,则有:V(|Sn Sk|2nh(n)E(1/2(|Sn Sk|2nh(n)=E(1/2(|Snk|2nh(n)V(|Snk|(n k)h(n k)1412.此外,令n/2 0,我们得到:V(|Sn Sk|2nh(n)V(|Sn|nh(n)+V(|Sk|nh(n)kh(k)12.854应用数学2023因此,在引理2.3中取n,k=0,=1/2,x=nh(n),对于n 2n1,则有:V(maxkn|Sk|3nh(n)2V(|Sn|nh(n).又因为maxkn|Xk|2maxkn|Sk|,因此,对于n 2n1,我们得到:V(maxkn|Xk|6nh(n)V(2maxkn|Sk|6nh(n)2V(|Sn|nh(n).(3.23)令Zk=6/7(|Xk|7nh(n),由(3.11)得:I(|Xk|7nh(n)Zk I(|Xk|6nh(n),和I(|Xk|6nh(n)1 Zk I(|Xk|7nh(n).又因为I(maxkn|Xk|6nh(n)=1 I(maxkn|Xk|6nh(n)=1 nk=1I(|Xk|0,则有:nV(|X|7nh(n)2V(maxkn|Xk|6nh(n)4V(|Sn|nh(n).(3.24)所以,结合(3.3)和(3.24),令=1/7,则有:n=n0h(n)h(n)nV(|X|nh(n)c+4n=2n1h(n)h(n)V(|Sn|17nh(n).又因为h(x)h(x)x c(xh(x),则有:n0h(x)h(x)xV(|X|xh(x)dx cn0V(|X|2 y)dy(y=xh(x)0V(|X|2 y)dy=CV(X2).第 4 期黄丽桢等：次线性期望空间下精确渐近性的一般定律855因此,我们证出:CV(X2).再证(3.3)蕴含着 limcE(X(c)=limcE(X(c)=0.由于(3.3)蕴含着CV(X2)c2 0,我们得到:?E(X)(c1)E(X)(c2)?E?(X)(c1)(X)(c2)?=E(|X|c1 c2)+E(|X|c1)2c2CV(X2)c21c2.(3.25)因此,(3.25)式蕴含着limc1c2?E(X)(c1)E(X)(c2)?=0,根据柯西极限存在准则,我们知道 limcE(X(c)和 limcE(X(c)是存在的.记 limcE(X(c)=limnE(X(n):=a.因此,对于任意的 0,当n足够大时,?E(X(n)a?,再结合E(X(n)k+EX(n)k)2 4(EX(n)k)24CV(X2),引理2.4和(2.2),我们得到:V(Snn n)nk=1E(X(n)k+EX(n)k)2(n)2+nk=1E(|Xk|n)2n24(EX(n)2n2+CV(|X|n)2nCV(X2)n+CV(X2)n1n 0,n .因此,对于任意的 0,则有:limnV(Snn a 2)=1.若a 0,令 0,则有:limnV(|Sn|n 1)limnV(Snn 1)=1.(3.26)根据(3.22)以及h(x)是慢变化函数可知,limnV(|Sn|n1)limnV(|Sn|1nh(n)=0,这与(3.26)是矛盾的,因此,a=limcE(X(c)0.同理,我们可以证明出b:=limcE(X(c)0.又因为a+b=limc(E(X(c)+E(X(c)limcE(X(c)X(c)=limcE(0)=0.因此,我们得到:0=limcE(X(c)X(c)a+b=limc(E(X(c)+E(X(c)0.所以,我们证明出:a=b=limcE(X(c)=limcE(X(c)=0.856应用数学2023定理3.2的证明注意到:2+2n=n0h(n)h(n)V(max1kn|Sk|nh(n)=2+2n=n0h(n)h(n)2G(h(n)+2+2n=n0h(n)h(n)V(max1kn|Sk|nh(n)2G(h(n):=J1()+J2().因此,要证定理3.2,只需证:lim0J1()=2+1E|N|2+2k=0(1)k(2k+1)2+2,(3.27)和lim0J2()=0.(3.28)先证(3.27).由G(x)=k=0(1)kP|N|(2k+1)x可知:lim02+2n0h(x)h(x)2G(h(x)dx=lim0h(n0)y2+14G(y)dy(令y=h(x)=04y2+1G(y)dy=k=0(1)k04y2+1P|N|(2k+1)ydy=k=0(1)k(2k+1)2+204t2+1P|N|tdt(令t=(2k+1)y)=2+1E|N|2+2k=0(1)k(2k+1)2+2.因此,(3.27)成立.再证(3.28).注意到:|J2()|2+2n0nAM,h(n)h(n)?V(max1kn|Sk|nh(n)2G(h(n)?+2+2nAM,h(n)h(n)V(max1kn|Sk|nh(n)+2+2nAM,sh(n)h(n)2G(h(n):=J21()+I22()+J23().由(3.8)关于j=2成立,因此,要证(3.28),只需证:lim0J21()=0(3.29)第 4 期黄丽桢等：次线性期望空间下精确渐近性的一般定律857和limMJ23()=0(3.30)关于一致成立.先证(3.29).类似于(3.7)的证明过程,在(3.9)中用2G(y)替换F(y),由(2.7),则有:J21()2+1+M02y2+1supnA,?V(max1kn|Sk|k y)2G(y)?dy.(3.31)因此,在(3.31)中,首先令 0,再令 0,则J21()0,(3.29)成立.再证(3.30).类似于(3.8)关于j=3的证明过程,在(3.21)中用2G(y)替换F(y),又因为E|N|2+2,则有:|J23()|4?2h(AM,)y2+1G(y)dy?=4?k=0(1)k2h(AM,)y2+1P|N|(2k+1)ydy?4?k=0(1)k(2k+1)2+2M/2u2+1P|N|udu?(令u=(2k+1)y)cM/2u2+1P|N|udu 0,M .(3.32)所以,(3.30)成立.因此,结合(3.31)和(3.32)可知,(3.28)成立.所以,我们完成了定理3.2的证明.参考文献：1 PENGSG.G-expectation,G-BrownianmotionandrelatedstochasticcalculusofIt o-typeM/Stochastic Analysis and Applications.Berlin,Heidelberg:Springer,2007:541-567.2 PENG S G.Multi-dimensional G-Brownian motion and related stochastic calculus under G-expectationJ.Stochastic Processes and Their Applications,2008,118(12):2223-2253.3 ZHANG L X.Lindebergs central limit theorems for martingale like sequences under sub-linear ex-pectationsJ.Science China Mathematics,2021,64(6):1263-1290.4 HU C.A strong law of large numbers for sub-linear 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