高三数学数列求通项公式的常见题型与解题方法全国通用.doc

数列求通项公式的常见题型与解题方法数列是高中数学的重要内容，又是学习高等数学的基础高考对本章的考查比较全面，等差数列，等比数列的考查每年都不会遗漏有关数列的试题经常是综合题，经常把数列知识和指数函数、对数函数和不等式的知识综合起来，试题也常把等差数列、等比数列，求极限和数学归纳法综合在一起探索性问题是高考的热点，常在数列解答题中出现本章中还蕴含着丰富的数学思想，在主观题中着重考查函数与方程、转化与化归、分类讨论等重要思想，以及配方法、换元法、待定系数法等基本数学方法数列这一章的主要章节结构为：近几年来，高考关于数列方面的命题主要有以下三个方面：（1）数列本身的有关知识，其中有等差数列与等比数列的概念、性质、通项公式及求和公式（2）数列与其它知识的结合，其中有数列与函数、方程、不等式、三角、几何的结合（3）数列的应用问题，其中主要是以增长率问题为主试题的难度有三个层次，小题大都以基础题为主，解答题大都以基础题和中档题为主，只有个别地方用数列与几何的综合与函数、不等式的综合作为最后一题难度较大我仅对数列求通项公式这一部分内容做一个浅显的分析与提炼题型1 已知数列前几项求通项公式在我们的教材中，有这样的题目：1 数列的通项2数列的通项3数列的通项此题主要通过学生观察、试验、合情推理等活动，且在此基础上进一步通过比较、分析、概括、证明去揭示事物的本质，从而培养学生数学思维能力相对于填空题或是选择题只需利用不完全归纳法进行猜想即可；对于解答题，往往还需要我们进一步加以证明例如（2003年全国高考）已知数列满足()求：；()证明：分析：问题（）主要渗透一般化特殊化，利用已知的递推公式求具体问题（）与问题（）紧密相连，可以从特殊入手，归纳论证相结合，求一般当然还可用后面介绍的方法即注意到进行，由特殊化归为等比数列等加以证明本题贯穿特殊化与一般化的思维方法，实质上是归纳中的综合课堂中我们还可以设计如下例题及练习，训练学生这方面的技能例1.写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：例2.观察下面数列的特点，写出每个数列的一个通项公式：练习:写出下面数列的一个通项公式：练习在某报自测健康状况的报道中，自测血压结果与相应年龄的统计数据如下表 观察表中数据的特点，用适当的数填入表中空白（ ）内年龄（岁）30 35 40 45 50 55 60 65收缩压（水银柱 毫米）110 115 120 125 130 135 （140）145舒张压（水银柱 毫米）70 73 75 78 80 83 （ 85）88。练习根据下列5个图形及相应点的个数的变化规律，猜测第个图中有_n2-n+1_个点（1） （2） （3） （4） （5）相关的高考试题有：（2004年全国卷）已知数列an，满足a1=1，an=a1+2a2+3a3+(n1)an1(n2)，则an的通项 分析：由已知，由 生成两式相减得：，即为商型的，用累乘法可得即（2006年广东卷）在德国不来梅举行的第48届世乒赛期间，某商店橱窗里用同样的乒乓球堆成若干堆“正三棱锥”形的展品，其中第1堆只有1层，就一个球；第堆最底层（第一层）分别按图4所示方式固定摆放，从第二层开始，每层的小球自然垒放在下一层之上，第堆第层就放一个乒乓球，以表示第堆的乒乓球总数，则；（答案用表示）. 题型2 由an与Sn的关系求通项公式在我们的教材中，有这样的题目： 已知数列的前项和，则 n 已知数列的前项和，则 这类题目主要注意与之间关系的转化即：= =一般已知条件中含an与Sn的关系的数列题均可考虑用上述公式例如：（04年浙江）设数列an的前项的和Sn=（an-1） (n)()求a1；a2； ()求证数列an为等比数列解: ()由,得 又,即,得. ()当n1时, 得所以是首项,公比为的等比数列课堂中我们还可以设计如下例题及练习，训练学生这方面的技能例3.数列an的前n项和 Sn=32n-3,求数列的通项公式.练习1：设数列an的前n项和为Sn=2n2+3n+2，求通项an的表达式，并指出此数列是否为等差数列. 练习2：已知数列an的前n项和为Sn，a12，且nan+1=Sn+n(n+1)，求an相关的高考试题有：(2004全国卷)已知数列an的前n项和Sn满足：Sn=2an +(-1)n,n1（）写出求数列an的前3项a1,a2,a3；（）求数列an的通项公式；（）证明：对任意的整数m4，有.解：当n=1时,有：S1=a1=2a1+(-1) a1=1；当n=2时,有：S2=a1+a2=2a2+(-1)2a2=0；当n=3时,有：S3=a1+a2+a3=2a3+(-1)3a3=2；综上可知a1=1,a2=0,a3=2；由已知得：化简得：上式可化为：故数列是以为首项, 公比为2的等比数列.故 数列的通项公式为：.由已知得：.故( m4).（2006年湖北卷）已知二次函数的图像经过坐标原点，其导函数为，数列的前n项和为，点均在函数的图像上（）求数列的通项公式；（）设，是数列的前n项和，求使得对所有都成立的最小正整数m点评：本小题考查二次函数、等差数列、数列求和、不等式等基础知识和基本的运算技能，考查分析问题的能力和推理能力解：（）设这二次函数f(x)ax2+bx (a0) ,则 f(x)=2ax+b,由于f(x)=6x2,得a=3 , b=2, 所以 f(x)3x22x.又因为点均在函数的图像上，所以3n22n.当n2时，anSnSn1（3n22n）6n5.当n1时，a1S13122615，所以，an6n5 （）.（2006年安徽卷）数列的前项和为，已知（）写出与的递推关系式，并求关于的表达式；（）设，求数列的前项和解：由得：，即，所以，对成立由，相加得：，又，所以，当时，也成立（）由，得而，题型3 已知数列递推公式求通项公式在我们的教材中，还有这样的类型题：1 已知数列的首项，且，则 3n-2 2已知数列的首项，且，则 3已知数列的，且，则 1 4 已知数列的，且,则 n 这类问题是通过题目中给定的初始值和递推公式，在熟练掌握等差数列、等比数列的通项公式的推导方法的基础上，产生的一系列变式我们应清楚的意识到：1证明数列是等差或等比数列常用定义，即通过证明 或而得2在解决等差数列或等比数列的相关问题时，“基本量法”是常用的方法，但有时灵活地运用性质，可使运算简便，而一般数列的问题常转化为等差、等比数列求解3.等差数列、等比数列求通项公式涉及的迭代、累加、累乘、构造等方法我们具体进行如下分析：一、由等差，等比演化而来的“差型”，“商型”递推关系题组一：数列中，求的通项公式 变式1：数列中，求的通项公式 变式2：数列中，求的通项公式 变式3：已知数列满足，求变式4：数列中，求的通项公式 分析：等差数列：生成：，累加： =由此推广成差型递推关系：累加：= ，于是只要可以求和就行题组二、已知数列的首项，且，则 变式1：已知数列的首项，且，则 变式2：数列中，求的通项公式变式3：数列是首项为1的正项数列，且，求的通项公式分析：等比数列：生成：，累乘：=由此推广成商型递推关系：累乘：为了提高，我们还可以引用下列例题：例1、 若数列满足：求证：； 是偶数 证明：由已知可得：又=而=所以，而为偶数例2、已知数列，且, 其中k=1,2,3,.（I） 求；（II）求 an的通项公式. 解（）（略） (II) 所以 ，为差型 故=所以an的通项公式为：当n为奇数时，；当n为偶数时， 二由差型，商型类比出来的和型，积型：即例如：数列中相邻两项，是方程的两根，已知，求的值 分析：由题意：+生成： +：所以该数列的所有的奇数项成等差，所有的偶数项也成等差其基本思路是，生成，相减；与“差型”的生成，相加的思路刚好相呼应到这里本题的解决就不在话下了特别的，若+，则即该数列的所有的奇数项均相等，所有的偶数项也相等若 则 ：所以该数列的所有的奇数项成等比，所有的偶数项也成等比其基本思路是，生成，相除；与“商型”的生成，相乘的思路刚好相呼应特别地，若，则即该数列的所有的奇数项均相等，所有的偶数项也相等三可以一次变形后转化为差型，商型的1例如：设是常数，且，（）证明：分析：这道题目是证明型的，最简单的方法当然要数数学归纳法，现在我们考虑用推导的方法来处理的三种方法：方法（1）：构造公比为2的等比数列，用待定系数法可知方法（2）：构造差型数列，即两边同时除以 得：，从而可以用累加的方法处理方法（3）：直接用迭代的方法处理：说明：当时，上述三种方法都可以用；当时，若用方法1，构造的等比数列应该是 而用其他两种方法做则都比较难用迭代法关键是找出规律，除含外的其它式子，常常是一个等比数列的求和问题2型例如：已知，首项为，求（2003年江苏卷22题改编）方法1：两端取常用对数，得，令，则，转化如上面类型的特别的，a=1，则转化为一个等比数列方法2：直接用迭代法：四型的利用转化为型，或型即混合型的转化为纯粹型的例如： 已知数列的前n项和Sn满足()写出数列的前3项 ()求数列的通项公式分析：-由得-由得，得-由得，得 -用代得 -：即- -又如：数列的前n项和记为，已知证明：数列是等比数列方法1 整理得 所以 故是以2为公比的等比数列.方法2：事实上，我们也可以转化为，为一个商型的递推关系，由=当然，还有一些转化的方法和技巧，如基本的式的变换，象因式分解，取倒数等还是要求掌握的生成与迭代是递推关系的最重要特征递推关系一般说来，是对任意自然数或大于等于2的自然数总成立的一个等式，自然数n可以取1，2，3n，n+1等等，这样就可以衍生出很多的等式这就是所谓的生成性对于生成出来的等式，我们往往选一些有用的进行处理比如相加，相减，相乘，相除等，但用的最多的还是由后往前一次又一次的代入，直到已知项这种方法就叫迭代上面的很多例题都可以体现这一点这种很朴素的思想，对于相关的其他数列问题也是非常有效的这类的高考试题也比比皆是，如：（2004年全国卷）已知数列an，满足a1=1，an=a1+2a2+3a3+(n1)an1(n2)，则an的通项 分析：由已知，由 生成两式相减得，即为商型的，用累乘法可得即2.已知数列中，是其前项和，并且，()设数列，求证：数列是等比数列；()设数列，求证：数列是等差数列；（）求数列的通项公式及前项和分析：由于b和c中的项都和a中的项有关，a中又有S=4a+2，可由S-S作切入点探索解题的途径解：(1)由S=4a，S=4a+2，两式相减，得S-S=4(a-a)，即a=4a-4a(根据b的构造，如何把该式表示成b与b的关系是证明的关键，注意加强恒等变形能力的训练)a-2a=2(a-2a)，又b=a-2a，所以b=2b 已知S=4a+2，a=1，a+a=4a+2，解得a=5，b=a-2a=3 由和得，数列b是首项为3，公比为2的等比数列，故b=32当n2时，S=4a+2=2(3n-4)+2；当n=1时，S=a=1也适合上式综上可知，所求的求和公式为S=2(3n-4)+2说明：1本例主要复习用等差、等比数列的定义证明一个数列为等差，等比数列，求数列通项与前项和解决本题的关键在于由条件得出递推公式2解综合题要总揽全局，尤其要注意上一问的结论可作为下面论证的已知条件，在后面求解的过程中适时应用3.（04年重庆）设a1=1,a2=,an+2=an+1-an (n=1,2,-),令bn=an+1-an (n=1,2-)()求数列bn的通项公式；()求数列nan的前n项的和解：（I）因故bn是公比为的等比数列，且 （II）由注意到可得记数列的前n项和为Tn，则4.（04年全国）已知数列an中，a1=1，a2k=a2k-1+(-1)K,a2k+1=a2k+3k,其中k=1,2,3，（I）求a3,a5； （II）求an的通项公式解：（I）a2=a1+(1)1=0, a3=a2+31=3.a4=a3+(1)2=4 a5=a4+32=13, 所以，a3=3,a5=13. (II) a2k+1=a2k+3k = a2k1+(1)k+3k, 所以a2k+1a2k1=3k+(1)k, 同理a2k1a2k3=3k1+(1)k1, a3a1=3+(1). 所以(a2k+1a2k1)+(a2k1a2k3)+(a3a1) =(3k+3k1+3)+(1)k+(1)k1+(1), 由此得a2k+1a1=(3k1)+(1)k1, 于是a2k+1=a2k= a2k1+(1)k=(1)k11+(1)k=(1)k=1. an的通项公式为： 当n为奇数时，an= 当n为偶数时，5.（2004年全国）已知数列，且a2k=a2k1+(1)k, a2k+1=a2k+3k, 其中k=1,2,3,.（I）求a3, a5；（II）求 an的通项公式 6.(2004年天津理)已知定义在R上的函数和数列满足下列条件： ，其中a为常数，k为非零常数（I）令，证明数列是等比数列；（）求数列的通项公式；（）当时，求7.(2006年重庆卷)在数列an中，若a1=1,an+1=2an+3 (n1),则该数列的通项an=_解析：在数列中，若， ，即是以为首项，2为公比的等比数列，所以该数列的通项.8.（2006年福建卷）已知数列a满足a=1,a=2a+1(nN)（）求数列a的通项公式；（）若数列bn满足4k1-14k2-14k-1=(an+1)km(nN*),证明:bn是等差数列；（）证明:(nN*)解析：本小题主要考查数列、不等式等基本知识，考查化归的数学思想方法，考查综合解题能力（I）解：是以为首项，2为公比的等比数列即（II）证法一：，得即，得即是等差数列证法二：同证法一，得令得设下面用数学归纳法证明（1）当时，等式成立（2）假设当时，等式成立，那么这就是说，当时，等式也成立根据（1）和（2），可知对任何都成立是等差数列（III）证明：