带Neumann边界条件的Helmholtz方程柯西问题的一种新的正则化方法.pdf

第49 卷第4期2023年8 月文章编号：16 7 3-519 6(2 0 2 3)0 4-0 151-0 6带 Neumann 边界条件的 Helmholtz 方程柯西问题的一种新的正则化方法余亚辉*1，李振平1.2（1.洛阳理工学院数学与物理教学部，河南洛阳47 10 2 3；2.西北师范大学数学与统计学院，甘肃兰州7 30 0 7 0）摘要：考虑矩形域上带Neumann边界条件的Helmholtz方程的柯西问题，该问题是一类严重不适定的偏微分方程反问题，即它的解不连续依赖于输入数据.基于经典的Tikhonov正则化方法利用自设计过滤化子修改核函数的思想，提出一种新的正则化求解方法，给出该问题基于分离变量的近似解，对正则化参数的先验和后验两种选取规则下精确解与近似解进行误差分析，得到满足收敛性和稳定性的Holder型误差估计.关键词：Helmholtz方程柯西问题；Neumann边界条件；不适定问题；正则化；后验参数选取中图分类号：0 17 5A new regularization method for the Cauchy problem of the Helmholtz(1.Department of Mathematics and Physics,Luoyang Institute of Science and Technology,Luoyang 471023,China;2.College of Mathe-matics and Statistics,Northwest Normal University,Lanzhou 730070,China)Abstract:A Cauchy problem for the Helmholtz equation with Neumann boundary conditions in a rectan-gle domain is discussed in this paper.This problem is a serious ill-posed inverse problem of partial differ-ential equations,that is,the solution does not depend continuously on the input data.Based on the classi-cal Tikhonov regularization method using the idea of modifying the kernel function by self-designed filterssubsets,a new regularization method is presented for approximating the solution to this problem based onthe method of separating variables.After performing error analysis on the exact and approximate solutionsunder both a priori and a posteriori selection rules of the regularization parameters,the Holder-type errorestimates satisfying convergence and stability are obtained.Key words:Cauchy problem for Helmholtz equation;Neumann boundary condition;ill-posed problem;regularization;a posteriori parameter choice rule本文考虑矩形域上带Neumann边界条件的Helmholtz方程的柯西问题1u(,y)+ku(,y)=00a元,0 y0表示波数，=/a/a是La-place算子.这里已知y=0的数据u（，0）=f（）),求满足式(1)的解u（，y)(0 y 1).实际问题中，数据通常是测量得到的带有误差，这里假设精确数据f（）和带噪数据f（）都属于L（O，元),且满足：f(.)-f(.)0 表示噪声水平.即这里已知f（）,求满足问题(1,2)的解。Helmholtz方程被广泛应用于散射，波的传播、结构的振动、电磁场等众多实际领域2-3.目前关于Helmholtz方程的正问题已经得到了广泛的研究.(2)152然而,Helmholtz方程的柯西问题是一类严重不适定的反问题4，即解不连续依赖于给定的柯西数据，给定数据中的任何小的扰动可能导致解的巨大的误差因此通常的数值方法难以求解，为了恢复解的稳定性，需要一些正则化方法.目前人们已经提出了许多正则化方法来求解Helmholtz方程柯西问题如采用Fourier截断方法1.5、拟逆方法6、Tikhonov型正则化方法1.7、软化方法s-9、分数次Tikhonov方法10、映射正则化方法11等.虽然已有大量文献采用各种正则化方法求解Helmholtz方程柯西问题，但很多文献是针对无限区域进行研究的,有界区域上的研究大多是考虑的Dirichlet边界条件，并且已有结果主要集中于正则化参数的先验选取，而正则化参数的先验选取必须事先知道精确解的先验界信息，这在实际问题中往往是难以估计的.本文研究矩形域上带Neumann边界条件的Helmholtz方程的柯西问题,基于经典的Tikhonov正则化利用自设计过滤化子修改核函数的思想，提出一种新的正则化方法求解问题（1，2)，给出形式更为简洁的近似解的表达式，对正则化参数的先验和后验两种选取规则下精确解与近似解进行误差分析,得到满足收敛性和稳定性的Holder 型误差估计.1问题的解及正则化方法利用分离变量法可求得问题(1)的解为u(,y)=Zc,cos(nc)cos(y Vk-n)+n=0.c.cos(na)cosh(y/n-k)8n=kJ+1式中Co元2元Cnf()cos(n)dx，(n 1)元J0也可表示为u(,y)=(f,Z,)Z,cosh(yVn?-k)n=0(Z，)%=。是L（0,元）中的标准正交基，（，）表示L（O,元）中的内积.注意到,这里当整数nk时，兰州理工大学学报cosh(y/n-k）=c o s(y/k n），k 表示实数k的整数部分.从解的表达式可以看出，对固定的y，由于当noo时,因式cosh(yn一k）呈指数增长，输人数据f（）的微小扰动将可能引起解的巨大误差，所以该问题是严重不适定的通常的数值方法难以解决，必须采用一些特殊的方法，比如正则化方法本文基于 Tikhonov正则化方法给出一种新的正则化方法.定义算子K（):L(0,元)L(0,元),问题(1)可写成算子方程的形式K(y)u(,y)=f(),0y0cosh(y/n?-k)改为一1+cosh(y/n-k2)(3)作用.Qin等1通过修改过滤化子把核函数修改为cosh(y/n?-k),提出一种修正的Tikhonovf()d.c1+cosh(/n?-k)(4)正则化方法，并得到正则化参数先验选取的收敛性误差估计.考虑到核函数是指数增长，本文用更为简洁的1过滤化子1+exp(2/n?-k)2化子，过滤掉不适定的高频部分，得到一种新的正则cos(nc)(n1),元第49 卷，从而起到正则化的代替Tikhonov正则化方法，即带有噪声数据的正则化近似解定义为u(,y)=b,cos(ns)cos(y/k-n)+n=0第4期2.b.cos(na)n=KJ+1式中一元下面分别在正则化参数先验和后验两种选取规则下对精确解与近似解进行误差分析.2先验参数选取及误差估计对于不适定问题，常常需要在精确解上给出一些先验假设，否则正则化近似解的收敛速度可能任意的慢.这里作先验假设为Ilu(.,1)I0为固定的常数.引 理 11371)如果0 s1,0,0w1则有余亚辉等：带Neumann边界条件的Helmholtz方程柯西问题的一种新的正则化方法cosh(y Vn?-k)1+exp(2/n-k)()d.元J0f()cos(nc)dc，(n 1)1535BI2k0+s?2）如果0 s1,0,1w2则有(5)定理1设u(,y)和u(,y)分别是问题(1)的精确解和正则化近似解，假设噪声水平(2)和先验条件(6)成立，若取正则化参数=（/E）,则有如下误差估计式成立：u(.,y)-u(.,y)3E-(1+o(1),0证明记式(5)中=0 时带有精确数据的正则解为u。(,y),即u.(,y)=Zccos(nc)cos(y/k-n)+n=0(6)8c,cos(n)n=kj+11+exp(2n-k)(9)由于(7)1(8)cosh(y Vn?-k)c.cos(na)cosh(y Vn-k)(1Ilu(.,y)-ua(.,y)=n=k+1C,cos(nc)cosh(Vn-k)cosh(y Vn-k)n=kJ+1+exp(2Vnk)EsPa+exp(-2-r)exp(y-1)Vn-k)1(1-1+exp(2/n-k)cosh(n?-k)cosh(yVn?-k)cosh(/n?-k)令s=exp(一Vn-k）,则0 s+1+exp(2Vn?-k)1+exp(2/n-k)cosh(y Vn?-k2)1+exp(2/n?-k)cosh(y Vn?-k).154由引理1可得Ilu(.,y)-u(,y)+o利用三角不等式及式（10,11)，可得Iu(.,y)-u(.,y)Ilu(,y)-ua(.,y)l+Iua(.,y)一u(.,y)l1Y2Ec+将=(/E)代人式(12),结论得证.3后验参数选取及误差估计正则化参数的先验选取需要事先知道精确解的先验信息，这在实际问题中往往是难以获得的下面通过Morozov偏差原理选取后验正则化参数。令满足如下方程：9(a):=fa(.)-u(.,0)=z-Ls+1+exp(-2 Vn-k)(cn-bn)cos(n)8n=L+1+exp(-2/n?-k)(cn-bn)cos(n),-Ls+i+exp(2 Vn-k)c,cos(n)cosh(Vn?-k)In-+1 cosh(/n-k)+exp(-2Vn-k)2s+Esup,1是常数，是正则化参数,并且(11)()=I f(.)-u(.,0)=b,cos(n),=s+1+exp(2Vn?k)引理2函数有如下性质：1)()为连续函数；2)lim p()=ll fl;(12)3)lim()=0;4)()为严格递增函数.注1根据引理2 可知，当0 f时方程(13)存在唯一解.引理3如果是方程(13)的解，则有(t-1)(13)证明由三角不等式和式（2,6)及引理1,可得b,cos(n)C,cos(n)n=Lj+1+exp(2Vn?-k)十b,exp(-2n?-k)(cosh(/n?-k2)+exp(2Vn?-k)b,exp(2 Vn-k)+exp(-2Vn?-kb.cos(na)cosh(n?-k)n=k+1+exp(-2Vn?-k)+exp(2Vn?-k)E+V第49 卷(14)2E(15)(16)(17)exp(-2 n k)+exp(-2n-k)(18)第4期引理5如果是方程(13)的解，则式(19)成立：-k+1证明由三角不等式和式(2,13)可得b,exp(-2n-k)+1+exp(-2 Vn?-k)8Cncos(nc)-2n=kJ+1n=kJ+11(c,-b.)cos(na)ln=kJ+18+t0(t+1)0定理2假设u(,y)是问题(1)的精确解，u（，y)是其正则化近似解，噪声水平（2)和先验界（6)成立，如果正则化参数通过偏差原理由式(13)给出，则有如下误差估计：Ilu(.,y)-u(.,y)lCEl-(1+o(1)，0其中:C=2(t+1)(t-1)-证明由Holder不等式及引理4、引理5,可得Ilu(.,y)-u(.,y)l=8cos(nc)cosh(y Vn?-k)(c一1n=kJ+11+exp(2/n?-k2)(cn-b,)cos(nc)cos(y Vk-n)+n=0cos(n)cosh(y Vn-k)n=kJ+18+n=KJ+1而Xcos(na)cosh(yn?-kn=K+1cosh(yVn?n=k+1exp(2y/nn=kJ+180exp(/n?-k?n=k+1b,exp(2Vn?-k2)+exp(-2/n?-k)exp(n-k2)n=k+1b,exp(-2Vn-k)8-k+1余亚辉等：带Neumann边界条件的Helmholtz方程柯西问题的一种新的正则化方法+exp(-2Vn?-k)(cn-b,)cos(nx)cos(yVk?-n)+n-01+exp(2/n-kbncos(n)cosh(y Vn?=1+exp(2/n-k2)bn1+exp(2/n?-k2b,exp(-2/n-k2)2+exp(一2 Vn-k)b,exp(-2/n?-k2+exp(-2Vn-kb,exp(-2 Vn?-+exp(2/n?-k2(1-y)-12b,exp(-2Vn-k)+exp(-2/n?-12+exp(-2Vn-k)155b,exp(-2 Vn-k)-121+exp(-2Vn?-k)b,cos(n)exp(2 Vn?-k+exp(-2Vn?-k)Z.b,cos(na)n=kJ+1(t+1)bnb，2y(19)-211156兰州理工大学学报b,exp(-2Vn?-kexp(/n?-k2n=kJ+1b,exp(-2Vn?-k)第49 卷+exp(-2n-k2)2+exp(-2/n-k)b,exp(-2Vn?-k)82cosh(/n-k).(n=k+1b,exp(-2Vn?-k)8Cn=kJ+182cosh(/n?-k2)(n=kJ+1b,exp(-2Vn?-k)XCn+exp(2/n-k)2(-)2+exp(2/n-k)b,exp(-2 Vn-k)+exp(-2 Vn-k)2X2Xn=kJ+12所以，有Il u(.,y)-u(.,y)+2(t+1)(t-1)-E%1-=2(t+1)(1)-E1-(1+o(1)定理 2 得证。4结语本文使用一种新的正则化方法求解了有界区域上带Neumann边界条件的Helmholtz方程的柯西问题，不仅给出正则化参数的先验选取下精确解与正则化近似解之间的Holder型误差估计，还给出了参数后验选取规则及误差分析.该方法也可能适用于其他线性不适定的反问题,有待进一步探究.参考文献：1QIN H H,WEI T.Two regularization methods for the Cauchyproblems of the Helmholtz equation J.Appl Math Model,2010,34:947-967.2CHEN J T,WONG F C.Dual formulation of multiple reciproc-ity method for the acoustic mode of a cavity with a thin parti-tion JI.J Sound Vib,1998,217(1):75-95.3HALL W S,MAO X Q,Boundary element investigation of ir-regular frequencies in electromagnetic scattering JJ.Eng AnalBound Elem,1995,16(3):245-252.4 ISAKOV V.Inverse problems for partial differential equations+exp(-2 Vn-k)(t+1)1-=2(+1)(1)=E-2006,22:975-989.6】XIONG X T.A regularization method for a Cauchy problem ofthe Helmholtz equation JJ.J Comput Appl Math,2010,233:1723-1732.7 FENG X L,FU C L,CHENG H.A regularization method forsolving the Cauchy problem for the Helmholtz equation J.Appl Math Model,2011,35:3301-3315.8LI Z P,XU C,LAN M,et al.A mollification method for aCauchy problem for the Helmholtz equation J.Int J ComputMath,2018,95(11):2256-2268.9HE S,DI C,LI Y.The mollification method based on a modi-fied operator to the ill-posed problem for 3D Helmholtz equa-tion with mixed boundary JJ.Appl Numer Math,2021,160:422-435.10QIAN Z,FENG X L.A fractional Tikhonov method for sol-ving a Cauchy problem of Helmholtz equation JJ.ApplicableAnalysis,2017,96(10):1656-1668.11KAVEH H S,ADIBI H.Mapped Regularization methods forthe Cauchy problem of the Helmholtz and Laplace equationJJ.Iran J Sci Technol Trans Sci,2021,45:669-682.12ANDREAS K.An introduction to the mathematical theory ofinverse problems M.New York:Springer-Verlag,1996.13熊向团，任丽婷.一种修正的Tikhonov方法求解拉普拉斯方程的柯西问题J.西北师范大学学报（自然科学版），2 0 18，54(5):1-4.M.New York:Springer-Verlag,1998.5 REGINSKA T,REGINSKI K.Approximate solution of aCauchy problem for the Helmholtz equation JJ.Inverse Prob,