对地观测卫星编队协同容错姿轨耦合控制.pdf

第 45 卷第 1 期 2024 年 1 月宇 航 学 报Journal of AstronauticsNo.12024JanuaryVol.45对地观测卫星编队协同容错姿轨耦合控制李源青，杨浩，倪媛，姜斌（南京航空航天大学自动化学院，南京 211106）摘要：面向对地观测场景下卫星编队的姿轨耦合特性和完全失效故障，提出了基于空间构型重构的协同容错控制方法。首先，根据对地观测的任务需求，分别建立了无故障情况下的卫星编队构型，以及故障发生后将故障卫星移出编队的构型重构方案，包括拓扑网络重构、卫星编号更新和编队构型重构算法；其次，根据上述构型，考虑外部干扰和姿态轨道耦合特性，设计了基于非奇异终端滑模控制的分布式控制律，使得编队在有限时间内稳定，即在故障发生前后卫星编队都可以实现对观测区域的协同覆盖；最后，分别通过数值仿真和实验验证表明了所提方法的有效性。关键词：对地观测卫星；编队控制；姿态与轨道控制；分布式控制；协同容错控制中图分类号：V448.2 文献标识码：A 文章编号：1000-1328（2024）01-0110-13 DOI：10.3873/j.issn.1000-1328.2024.01.012Fault-tolerant Cooperative Control for Earth Observation Satellite Formation with Attitude-orbit CouplingLI Yuanqing，YANG Hao，NI Yuan，JIANG Bin（College of Automation Engineering，Nanjing University of Aeronautics and Astronautics，Nanjing 211106，China）Abstract:Considering the attitude and orbit coupling characteristics and total failure of satellite formation in the Earth observation scenarios，a fault-tolerant cooperative control method based on spatial configuration reconstruction is proposed.Firstly，according to the requirements of the Earth observation，the satellite formation configuration in fault-free case，and the configuration reconstruction scheme including topology reconfiguration，satellite number updating and attitude and orbit reconfiguration algorithm after removing the faulty satellites are established respectively.Secondly，according to the above configuration，considering disturbance and attitude-orbit coupling characteristics，a distributed control law based on nonsingular terminal sliding mode control is designed，which guarantees the finite-time stability of the system，such that the satellite formation can cover the observing area before and after failure.Finally，the effectiveness of the proposed method is demonstrated by numerical simulation and experimental verification.Key words:Earth observation satellite；Formation control；Attitude and orbit control；Distributed control；Fault-tolerant cooperative control0引言随着微小卫星和分布式空间系统等航天技术的发展，卫星编队飞行技术现已成为航天领域的研究热点1。卫星编队飞行将单颗复杂大卫星的任务分配给多颗近距离绕飞的小卫星，通过星间链路实现互相通信、协同合作，完成空间数据的采集和处理。因具有低成本、性能高等优点，卫星编队飞行技术广泛应用于分布式星载微波雷达2、三维立体成像气象卫星3、高分辨率合成孔径雷达4等对地观测任务中。对地观测任务要求编队中的卫星精确地保持收稿日期：2023-05-02；修回日期：2023-09-06基金项目：国家自然科学基金（62073165，62233009，U22B6001）110第 1 期李源青等：对地观测卫星编队协同容错姿轨耦合控制相对位置和对地姿态，其中包含了编队构型设计、轨道和姿态控制等多个问题。空间圆编队构型得益于卫星到虚拟主星距离固定、飞行时消耗的能量较小等优势，成为卫星编队构型设计的首选5，主要被应用于电子侦察、对地三维立体成像以及地面覆盖的合成孔径雷达等场景。为了保持卫星编队的空间圆构型，Yeh等6和Hui等7分别采用滑模控制和终端滑模控制设计了卫星轨道控制器；Lee8将非线性扰动观测器和渐进跟踪控制相结合，使得卫星在受外部干扰影响的情况下仍能与虚拟主星保持空间圆编队构型。此外，在姿态控制方面，现有的研究大多假设卫星始终运动在期望的轨道上，设计控制器实现姿态跟踪9-10。另一方面，由于长期工作在强辐射、超低温的恶劣环境中，卫星部件往往因为老化或其他不可抗力的因素出现各种故障。而任何部件故障都可能导致系统性能的下降，甚至引发卫星编队的不稳定。作为容错控制的基础和前提，卫星编队的故障诊断与可重构性研究现已取得一定的成果，文献11-12 针对卫星编队的部件故障，分别设计了基于模糊规则的分层故障诊断框架和基于广义观测器的故障检测与估计方法，提出了可重构性条件。在故障可重构的前提下，有必要设计容错控制策略，使得整个编队的性能达到可接受的水平。目前，已有许多针对卫星部件故障的容错控制研究13-16。例如，Dong等15考虑卫星的执行器故障，设计了非线性自适应容错反馈控制器，实现了卫星对目标位置和姿态的跟踪。Nasrolahi 等16采用非线性观测器和静态估计器对传感器故障进行诊断，并设计容错控制器实现了卫星姿态的跟踪同步。当存在卫星完全失效故障时，Yang 等17为保持原有的编队构型，提供了用补充卫星替换故障卫星的方案。然而，现有的对地观测卫星编队控制研究存在两大局限性：1）大部分研究将轨道和姿态的控制分开考虑，忽略了卫星编队控制固有的姿态和轨道之间的耦合效应18-20，这限制了模型与控制的精确性。2）对于对地观测卫星编队中出现完全失效卫星的情形，现有的解决方案通常为储备备用卫星或发射新卫星来替换故障卫星，成本高昂且往往接替时间较长。通过以上的分析和讨论，本文针对卫星编队对地观测过程中的完全失效故障问题，提出了基于构型调整的协同容错控制框架。首先，面向对地观测任务要求，提出了卫星编队的构型设计条件，以及故障发生后移除故障卫星的分布式构型调整方案；在此基础上，考虑外部干扰以及轨道和姿态控制的耦合特性，设计了分布式鲁棒控制器，使得故障发生前后卫星编队都可以在有限时间内实现对期望构型的跟踪；最后，通过数值仿真和实验对所提方法的有效性进行了验证。1姿轨耦合控制模型1.1符号定义Im表示m维单位矩阵，0m n表示m行n列的全0矩阵。对于集合S，定义其元素个数为|S|。定义列向量x x1xnT Rn 1和常数 R，sgn()为符号函数，diag()为对角矩阵，本文定义如下表达：1）sig(x)|x1sgn(x1)|xnsgn(xn)T；2）diag(x)diag(x1，xn)；3）|x|x1|xnT；4）1sig(x)1|x1sgn(x1)1|xnsgn(xn)T。定义a为向量a=a1a2a3T R3 1对应的如下形式反对称矩阵：a=0-a3a2a30-a1-a2a101.2卫星网络本文考虑由 1 颗虚拟主星和N(N 3)颗卫星组 成 的 对 地 观 测 卫 星 编 队。定 义 卫 星 集 合Q 1，2，N，并将其划分为P 1簇进行管理，以减少网络管理开销，提高网络容量21，簇的集合记为S 1，2，P，簇p S中的卫星集合记为Qp。为了在卫星之间传递姿轨信息并将观测信息回 传 至 地 面 站，定 义 状 态 信 息 图 为 有 向 图G1V，E1，其中，V S 0，P+1表示节点集合，簇p S对应节点p V，虚拟主星对应节点0，地面站对应节点P+1。E1 V V为由边组成的集合，(w，v)E1表示存在由节点w到节点v的边，即节点v可以从节点w获取状态信息22。定义G1的邻接矩阵为B bvw R(P+2)(P+2)，当(w，v)E1时，bvw=1，否则，bvw=0。111宇航学报第 45 卷为实现编队控制，并减少通信干扰，提出以下连通性假设。假设1.对于任意p V，若v=p+1且v V，则bvp=1，否则bvp=0。为简单起见，将p+1和p-1记为p+和p-。此外，为了感知故障信息并在编队中传递，定义故障传递图为无向图G2 V，E2。其中，E2(w，v)|(w，v)E1或(v，w)E1或w=v，w，v V，定义G2的邻接矩阵为B=bvw R(P+2)(P+2)，当(w，v)E2时，bvw=1，否则，bvw=0。1.3坐标系为了描述卫星和地面观测目标之间的位置和姿态关系，介绍如图1所示3个坐标系。1）CI=OxIOyIOzIT表示惯性坐标系，原点位于地心，OxI轴指向春分点，OzI轴指向北极并平行于地球自转轴，OyI轴在赤道平面内与另外2轴满足右手定则。2）CL=OLxLOLyLOLzLT为主星轨道坐标系，原点位于主星质心。OLxL轴沿地心矢量向外，OLyL轴沿切向速度方向，3轴满足右手定则。3）Ci=OixiOiyiOiziT表示卫星i(i Q)的本体坐标系，原点位于卫星质心，对地观测天线沿Oizi轴安装。1.4姿轨耦合模型在本文中，假设地球是一个半径为Re的球体，虚拟主星运行于椭圆轨道。卫星i Q与虚拟主星的相对轨道动力学为23：i+A1i+A2i=1mi(FiL+Fdi)（1）式中：ixiyiziT R3 1为卫星i在主星轨道坐标系CL中的位置向量；mi为卫星i的质量；FiL R3 1为控制力；Fdi R3 1为太阳光压及三体引力等引起的轨道摄动力；矩阵A1和A2分别为：A1=0-20200000（2）A2=-2-2 R3T-0-2+R3T000 R3T（3）式中：为地球引力常数；为主星真近点角；RT=RT是惯性坐标系CI中虚拟主星位置向量的范数，满足=-2RTRT，RT=RT2-RT2。由于卫星推力器沿本体安装，FiL可以写为：FiL=ALsiFi（4）式中：FiFixFiyFizT R3 1表示在卫星i本体坐标系Ci中的轨道控制力；ALsi为卫星i本体坐标系Ci到主星轨道坐标系CL的旋转矩阵。卫星i的姿态运动学和动力学分别表示为24：qiv=12(qiv+qi0I3)i（5）Ji i+iJii=Ti+i（6）式 中：四 元 数qi为qiqi0qTivT=qi0qi1qi2 qi3T R4 1；i R3 1为卫星i本体坐标系Ci中的旋 转 角 速 度；Ji R3 3为 卫 星i的 转 动 惯 量；Ti R3 1为姿态控制力矩；i R3 1为外部干扰力矩。对式（5）求导并将式（6）代入可得：qiv=fiv+Gi(Ti+i)（7）式中：fiv-14Tiiqiv-12QTivJ-1i(iJii)（8）Gi12QivJ-1i（9）Qivqi0-qi3qi2qi3qi0-qi1-qi2qi1qi0（10）定义xiTiqTivT，UiFTiTTiT，diFTdiTiT，将式（4）代入式（1）并结合式（7），卫星i的姿轨耦合控制模型为：xi=f(xi，xi)+BiUi+Didi（11）式中：xIxLyEyIyLzLOLxEZI/ZExiiyizi卫星i卫星i主星iOOi图1坐标系示意图Fig.1Diagram of coordinates112第 1 期李源青等：对地观测卫星编队协同容错姿轨耦合控制f(xi，xi)-A1i-A2ifiv（12）Bi 1miALsi03 303 3Gi（13）Di 1miI303 303 3Gi（14）对于i Q，由于Qiv和Ji有界，可得Di D*，其中D*为正常数。由式（13）可知，矩阵Bi包含卫星i本体坐标系Ci到主星轨道坐标系CL的旋转矩阵ALsi，ALsi与卫星相对虚拟主星的姿态有关25，表明轨道和姿态的控制问题存在固有的耦合特性。1.5问题描述本文考虑编队中卫星的波束角为，观测目标是以主星星下点为中心，弧长为的球冠区域，其地心角为=(2Re)。对地观测任务（如合成孔径雷达等）要求编队中各卫星的波束均覆盖观测目标，且相邻卫星间维持相同星间距d。如图2所示，平面为主星星下点处的地球切平面，观测目标在平面内的投影是半径为rc=Resin的圆，卫星i波束覆盖区域在平面内的投影为椭圆i。若对任意卫星i Q，椭圆i均包含圆，那么卫星编队实现了对目标的观测。实现以上对地观测任务要求，依赖于对期望构型的设计以及姿态和轨道层面精确的控制。定义每颗卫星的期望状态为：xdi(di)T(qdiv)TT，本文的目标是在故障发生前后，设计满足观测任务的期望构型，并设计控制输入Ui，使得卫星编队可以在有限时间T内实现对期望构型的跟踪，即：limt Txi=xdi2构型设计与重构2.1无故障构型将卫星按照簇从小到大依次编号，卫星i对应的初始编号为ki。为维持相邻卫星间相同星间距d，本文选择空间圆构型，卫星i Q在主星轨道坐标系CL中的期望位置为：di=0.5Rsin(t+2(ki-1)N)Rcos(t+2(ki-1)N)0.5mRsin(t+2(ki-1)N)（15）式中：m=3，R=d()2sin()N为空间圆半径。空间圆在平面上的投影为y2R2+4z23R2=1，则该椭圆上各点到椭圆中心的距离为c=y2+z2，其范围为c 3 R 2，R。为实现对目标的观测，令各卫星波束中心指向主星星下点，即要求卫星i本体坐标系Ci的Oizi轴与卫星i到虚拟主星星下点的向量gi重合。向量gi在卫星i本体坐标系Ci中为：gi=A-1Lsili=A-1Lsi(r1-di)（16）式中：li为主星轨道坐标系CL中卫星i到主星星下点的向量；r1=-(RT-Re)00T为坐标系CL中虚拟主星到星下点的向量；di=xdiydizdiT为坐标系CL卫星i的期望位置向量。根据姿态要求有：i=A-1Lsii=001T（17）式 中：i=gi gi为 向 量gi的 单 位 向 量；i=li li=ixiyizT为向量li的单位向量。根据式（17）和坐标转换关系有：i=ixiyizT=ALsi001T（18）式中：ALsi=CiCi-CiSiSiCiSi+SiSiCiCiCi-SiSiSi-SiCiSiSi-CiSiCiSiCi+CiSiSiCiCi（19）式中：C=cos()，S=sin()；i，i和i分别为卫星i的滚动角，俯仰角和偏航角。由式（18）可解出卫星i滚动角i和俯仰角i的约束：虚拟主星卫星 i rcixL图2对地观测示意图Fig.2Schematic diagram of earth observation113宇航学报第 45 卷 i=arctan(-iyiz)i=arcsin(ix)（20）由式（20）可知偏航角i不唯一，本文假设i=0。则卫星i的期望姿态为：qdi=qdi0(qdiv)TT=cos()i2 cos()i2cos()i2 sin()i2sin()i2 cos()i2sin()i2 sin()i2（21）假设卫星i与虚拟主星的轨道高度之差远小于主星的轨道高度，将卫星i到平面的距离近似为虚拟主星的轨道高度h=RTmin-Re，其中，RTmin为主星轨道高度的最小值。定理1给出了空间圆构型半径R的设计条件。定理1.对于c 3 R 2，R，若满足：max()arctan(c h)min()h2+c2sincos(arctan(c h)-)rc（22）卫星编队可以实现对目标区域的协同观测。证.卫星i的波束投影如图3所示，其中，卫星i记为点A，主星星下点记为点D，BC为椭圆长轴。F为卫星i在平面上的投影，令=DAF=arctan(c h)。在波束投影椭圆上任取一点E，由正弦定理可得：-DE=-ADsin sinAED（23）易知当sinAED取最大值时，-DE最小。当E与C重合时，AED取最大值，由（22）得max()，ACD=2-+为锐角，所以此时sinAED取最大值，可得-DE的最小值为：r(c)=h2+c2sincos(arctan(c h)-)（24）由式（22），若minc 3 R 2，Rr(c)rc，则每颗卫星的波束投影椭圆都能包括观测区域的投影圆，卫星编队实现了对目标的观测。注1.由式（15）可得，空间圆构型半径R与星间距d有关。因此，基于定理1的构型设计条件，选取合适的星间距d能够保证所设计的期望构型满足观测任务要求。2.2构型调整考虑有M(M N-2)颗卫星在ts时刻完全失效，定义节点p V中的故障卫星集合为Qfp，其中Qf0=QfP+=。定义完全失效簇集合为Sfp|Qfp=Qp，p S。本文仅考虑相邻簇的卫星不全部失效的情形，即对于任意p S P，若p Sf，则p+Sf。为了移除故障卫星且保证剩余卫星间状态信息与故障信息仍能传递，需要对卫星网络进行重构，具体地，a）对任意簇p S，更新其卫星集合为Qp；b）调整状态信息图G1和故障传递图G2，将其邻接矩阵分别重构为B和-B，满足：B=B+p SHp（25）-B=B+p SHp（26）式中，Hp=hpvw R(P+2)(P+2)，Hp=hpvw R(P+2)(P+2)。卫星网络重构算法流程如图4所示。上述算法的主要思想为：对任意p S，a）将故障卫星移出簇p；b）若簇p中所有卫星都失效，断开图G1、G2中与节点p相连的边，并在图G1中建立节点p-到p+的有向边，在图G2中建立节点p-与p+间的无向边，恢复卫星网络信息传递。此外，为了保持紧凑构型以节约通信资源，需要调整移除故障卫星后的编队构型。由式（15）可知，卫星的期望位置向量与卫星编号有关，下文将首先更新剩余卫星的编号，再根据新编号计算剩余卫星的期望位置和姿态。定义节点 1 到节点m所有的故障卫星集合为Fmp=1mQfp。对于任意p SSf，集合Fp的构造方法与簇p内剩余卫星编号更新规则如图5所示。该算法首先将簇p中任意剩余卫星i编号ki与集合Fp中卫星编号比较，令ki减去Fp中编号小于kiABC卫星i虚拟主星FEhD图3波束投影图Fig.3Beam projection diagram114第 1 期李源青等：对地观测卫星编队协同容错姿轨耦合控制的卫星数量，得到其新编号ki。其次，更新故障卫星集合并向下一簇传递。由图5所示流程图可得，地面站收到故障卫星集合FP，可计算出编队中完全失效的卫星数量为M=|FP|，剩余卫星集合为Q=QFP。为维持相邻卫星间相同的星间距d，将空间圆构型的半径重构为：r=Rsin()Nsin()(N-M)（27）重构后空间圆在yLOLzL平面上的投影为y2r2+4z23r2=1，则该椭圆上各点到椭圆中心的距离为c=y2+z2，其范围为c 3 r 2，r。定理2.对于c 3 r 2，r，若满足：max()arctan(c h)min()h2+c2sincos(arctan(c h)-)rc（28）卫星编队在新的空间圆构型下能实现对目标的观测。证.为维持观测任务，令编队中剩余卫星的观测天线仍指向虚拟主星星下点。由定理1中式（24）易得，编队重构后，在波束投影椭圆内以主星星下点为圆心的内切圆半径为：r(c)=h2+c2sincos(arctan(c h)-)（29）由式（28），若minc3 r 2，rr(c)rc，则集合Q每颗卫星的波束投影椭圆都能包括观测区域的投影圆，重构后卫星编队仍能实现对目标的协同观测。若新的空间圆构型满足定理2，则计算转移相位角以调整剩余卫星的期望轨道位置。定义卫星i Q需要转移的相位角为i +i-i，其中，为集合Q中编号 1 卫星的目标转移相位角，i=2()ki-1(N-M)为卫星i与编号 1 卫星的相位差，i=2()ki-1N为卫星i的初始构型相位角。为了减小编队卫星转移的相位角，定义如下性能指标：J i Qi2=i Q(+i-i)2（30）为了最小化J，将式（30）展开并对求导，令J=0可得极点，在极点0处，J取得最小值，0表达式为：0=-i Q()i-i(N-M)（31）开始 计算集合 F(p+)+=FpQfp+Qf(p+)+将集合F(p+)+传递给节点(P+)+输出F(p+)+输出FP+输出卫星新编号 ki(iQp)结束否是输入节点p+，集合Fp,Qpf,Qf(p+)+对于节点p中任意卫星i，定义小于其编号的故障卫星集合为 Fi=jkjki,jFp更新卫星i编号为ki=kiFi节点p+是否属于Sf将集合FP+传递给节点p+计算集合 FP+=FpQfp+图5编号更新算法流程图Fig.5Flowchart of satellite number updating algorithm开始令HP=0(P+2)(P+2)，HP=0(P+2)(P+2)计算簇 p 中剩余健康卫星集合Qp=Qp QpfQp是否为空集节点p通过图G2向节点p+传递节点p信息，向节点p传递节点p+信息令hpp+p=1，hpp+p=hppp+=1输出集合Qp，矩阵HP和HP结束YN输入集合Qpf，节点p和p+令hppp=hpp+p=1，hppp=hpp+p=hppp=1图4卫星网络重构算法流程图Fig.4Flowchart of satellite network reconfiguration algorithm115宇航学报第 45 卷地面站由式（27）计算重构轨道的空间圆半径r，由式（31）计算使得J最小的相位角0，并将它们发送给虚拟主星，由虚拟主星沿重构后的图G1传递至各剩余卫星。卫星i Q在主星轨道坐标系CL中的期望位置向量调整为：di=0.5rsin(t+0+i)rcos(t+0+i)0.5mrsin(t+0+i)（32）式（32）仅给出了期望位置向量，而队形发生变化后，为了观测地面目标，期望姿态也要相应调整，卫星i Q的姿轨重构算法流程图如图6所示。注2.上述3个算法流程图，仅通过卫星网络运用相邻节点传递的信息实现对自身信息的更新，均为分布式算法。3容错控制框架设计3.1容错控制框架为了使得卫星编队在有卫星完全失效后可以跟踪上文设计的期望构型，本文设计了如图7所示的协同容错控制框架，考虑式（11）描述的卫星编队，编队控制器的设计步骤如下：1）故障发生前，对任意卫星i Q，根据式（15）和（21）设计初始编队构型，并设计控制器使得卫星编队跟踪期望构型；2）为移除故障卫星，且保证剩余卫星的连通性，采用图4所示流程图对卫星网络进行重构，为维持紧凑构型以节约通信资源，采用图5流程图对剩余卫星编号更新，采用图6流程图对期望姿轨进行重构；3）根据重构后的通信拓扑和期望构型，运用邻居信息对任意卫星i Q设计控制器，使得剩余卫星跟踪新的期望构型，实现对地面目标的观测任务。注3.本节仅提出了卫星编队协同容错控制的框架，具体的控制器设计将在3.2节中给出。3.2滑模控制律设计本节在图7所示协同容错控制框架的基础上，提出了基于非奇异终端滑模控制26的分布式控制律。定义卫星i Q的协同误差为：eij=1Naij(xi-xj-xdij)+ai0(xi-xdi)（33）式中：xdij=xdi-xdj，对于簇v中的卫星i和簇w中的卫星j，若bvw=1，则aij=1。设计卫星i的滑模面为：si=ei+isigpibi(ei)（34）开始结束输入半径 r，相位角 0 ，编号ki 计算卫星i的构型相位角 0+i由式(23)计算卫星i的期望位置向量id将式(23)代入式(8)，计算卫星i的期望姿态qid输出期望位置id，期望姿态qid 图6姿轨重构算法流程图Fig.6Flowchart of attitude and orbit reconfiguration algorithm图7 编队容错控制框架Fig.7 Fault-tolerant control architecture116第 1 期李源青等：对地观测卫星编队协同容错姿轨耦合控制式中：si=si1si6T R6 1为滑模变量；i=diag(i1，i6)R6 6为正定对角矩阵；pi和bi为正奇数，且满足1 pibi 0，0 c 1，则a1，a2，an，c满足以下不等式：(a1+a2+an)c ac1+ac2+acn假设228.对于任意卫星i Q，轨道摄动力Fdi和姿态干扰力矩i有界，即对于扰动矩阵di，存在常数d*R+满足：|din|d*，n=1，6（36）定理3.考虑由式（11）描述的卫星i Q，基于假设1和假设2，选取非奇异终端滑模面（34），在如下控制器的作用下Ui=B-1i(j=1Naij+ai0)-1-j=1Naij(f(xi，xi)-f(xj，xj)-BjUj-xdij)-ai0(f(xi，xi)-xdi)-bipi-1isig2-pibi(ei)-kisigi(si)（37）卫星的状态可以在有限时间内收敛到包含滑模面si=0的邻域s内，其中：s=si|sim()(j=1N2aij+ai0)D*d*kim1i，m=1，6 （38）式（37）中：ki=diag(ki1，ki6)R6 6为正定对角阵；i R为控制器参数，且满足0 i 1。证.选择李雅普诺夫函数为：V=12sTisi（39）对其求导可得：V=sTiei+pibiidiag(|eipibi-1)(j=1Naij+ai0)BiUi+j=1Naij(f(xi，xi)+Didi-f(xj，xj)-BjUj-Djdj-xdij)+ai0(f(xi，xi)+Didi-xdi)（40）将控制律Ui（式（37）代入式（40），可得：V=sTiei-ei-pibiidiag(|eipibi-1)kisigi(si)+pibiidiag(|ei|pibi-1)(j=1Naij+ai0)Didi-j=1NaijDjdj（41）基于假设2，可进一步得到：V sTi -pibiidiag()|eipibi-1 ki-()j=1N2aij+ai0D*d*diag()1sigi()sidiag()|sii-1si（42）当滑模变量满足|sim|()(j=1N2aij+ai0)D*d*kim1i，m=1，6时，式（42）可以写为：V-minm=1，6(pibiim|eim|pibi-1im)m=16|sim|i+1（43）式中：im=kim-(j=1N2aij+ai0)D*d*siim。由引理 1可得：m=16(|sim|2)i+12(m=16|sim|2)i+12（44）将式（44）代入式（43）得：V-2 minm=1，6(pibiim|eim|pibi-1im)Vi+12（45）当 滑 模 变 量 不 在 域s中 时，im 0，可 得V 0，因此，滑模变量可以在有限时间内收敛到邻域（38）内，证毕。注4.由收敛域s的表达式（38）可知，其范围与扰动上界d*有关，增大kim可以减小收敛域s范围。4仿真校验4.1数值仿真本节将通过数值仿真来验证本文所提协同容错姿轨耦合控制框架的性能。假设由1颗虚拟主星和3颗对地观测卫星组成的编队在太空中运行，卫117宇航学报第 45 卷星网络的邻接矩阵为：B=0000100001000010（46）B=1100111001110011（47）其状态信息图如图8所示。仿真参数如表 1所示，其中i0表示卫星i在主星轨道坐标系CL中的初始位置向量，qi0和i0分别代表卫星i的初始四元数和初始角速度。虚拟主星轨道的半长轴a=6 902.9 km，偏心率e=0.007 2，轨道倾角i=1.701 1，升交点赤经=2.530 7，初始真近点角0=0.34，近地点角距=4.712 4。观测目标是以主星星下点为中心，弧长为=10 km的球冠区域，其投影圆半径为rc10 km，卫星的波束角为=0.02 rad。由定理1设计相邻卫星星间距为d=103 km，对于式（15），空间圆半径R=20 km，令m=3。对集合Q中的卫星设计分布式控制器（37），配置控制器参数如下：1=diag（6，7，6.5，5.5，6，5.5），2=diag（8，7，8.5，6.5，6，6.5），3=diag（39.6，40，40.5，6.5，6，8.5），p1=51，b1=31，p2=63，b2=39，p3=51，b3=35，k1=diag（28 260，25 680，28 560，300，350，200），k2=diag（18 260，18 680，18 560，300，350，200），k3=diag（8 360，8 680，8 660，300，350，200），1=0.85，2=0.85，3=0.86。轨道摄动力设置为：Fdi=1.910 6-1.910 6-1.517T 10-5 N（48）姿态干扰力矩设置为：i=A0(3cos(0t)+1)A0(1.5sin(0t)+3cos(0t)A0(3sin(0t)+1)Nm（49）式中：A0=1.5 10-5，0为轨道角速度。考虑到卫星执行机构的限制，设定每颗卫星的最大轨道控制力为10 N，最大姿态控制力矩为4.5 Nm。在仿真图中，Exi，Eyi，Ezi，Eqi1，Eqi2和Eqi3分别代表卫星位置和姿态相对于期望值xdi，ydi，zdi，qdi1，qdi2和qdi3之间的误差。如图9所示，编队中的卫星1在控制器的作用下，轨道误差和姿态误差分别在80秒和5秒内收敛。如图10所示，卫星2的轨道误差和姿态误差分别在100秒和5秒内收敛。如图11所示，卫星3的轨道和姿态收敛时间分别为250秒和10秒。假设在ts=300 s时，对地观测卫星编队中的卫星1发生了故障，剩余卫星间的卫星网络按图4所示算法重构，状态信息图重构为图12所示，卫星网络的邻接矩阵为：B=0000000001000010（50）卫星1卫星2卫星3地面站#1#2#3簇1簇2虚拟主星图8对地观测卫星编队状态信息图Fig.8State information graph of Earth-observing satellite formation表1仿真参数Table 1Simulation parameters参数J1/（kgm2）J2/（kgm2）J3/（kgm2）10/m20/m30/m10/(ms-1)20/(ms-1)30/(ms-1)q10q20q3010/()s-1)20/()s-1)30/()s-1)m1，m2，m3/kgRe/km数值diag（45.21，47.95，50.67）diag（46.41，45.95，51.67）diag（43.23，48.65，49.87）12020 05072 T 8 740-10 09015 100 T-8 450-10 190-14 750 T 12.2-0.2120.1 T-6.5-20.2-9.1 T-6.1521.2-20.1 T 0.996 10.040.050.06 T 0.981 80.1-0.150.06 T 0.991 7-0.040.07-0.1 T-0.020.010.02T-0.030.010.02T-0.020.020.02T606 371118第 1 期李源青等：对地观测卫星编队协同容错姿轨耦合控制B=1000011001110011（51）为了保持紧凑构型，维持卫星之间的距离为103 km。采用图5所示算法对剩余卫星编号进行更新，地面站接收故障卫星集合后，计算重构的空间圆半径r=53 km，由定理2可得，卫星编队重构后可以对目标区域观测。此时最小化编队卫星转移的相位角0=2，剩余卫星根据图6所示流程图可得期望编队构型。调整编队控制器的参数为2=diag（15，16，15.5，6.5，6，6.5），3=diag（35.4，36，40.5，6.5，6，8.5），2=0.65，3=0.68。如图13和图14所示，将卫星1移出编队，卫星2和卫星3可以在600秒内完成对新的期望位置的跟踪，因姿态调整幅度较小，姿态误差收敛时间只有3秒，卫星编队在主星轨道坐标系CL内的整体运行轨迹如图15所示。四元数跟踪误差时间/s0501005010152001502503000.040.030.020.0100.010.060.060.040.0200.070.05(a)卫星1姿态与期望姿态之间的误差位置跟踪误差/m时间/s05010020015025030080604020020120140100(b)卫星1位置与期望位置之间的误差Eq11Eq12Eq13Ex1Ey1Ez1图9故障前卫星1与期望状态之间的误差Fig.9Error between satellite 1 and expected states before failure100500501001500501001502002503000.150.100.0500.050.100510150.20.100.1位置跟踪误差/m四元数跟踪误差时间/s050100150200250300时间/sEq21Eq22Eq23Ex2Ey2Ez2(a)卫星2姿态与期望姿态之间的误差(b)卫星2位置与期望位置之间的误差图10故障前卫星2与期望状态之间的误差Fig.10Error between satellite 2 and expected states before failure0501001502002503000.100.0500.050.100510150.100.120015010050050100150200250位置跟踪误差/m四元数跟踪误差时间/s(a)卫星3姿态与期望姿态之间的误差050100150200250300时间/s(b)卫星3位置与期望位置之间的误差Ex3Ey3Ez3Eq31Eq32Eq33图11故障前卫星3与期望状态之间的误差Fig.11Error between satellite 3 and expected states before failure卫星2卫星3地面站#1#2簇2虚拟主星图12重构后的状态信息图Fig.12State information graph after reconfiguration0510150123450510153005007009001 100 1 300 1 500 1 700 1 90010864202103103时间/s(a)卫星2姿态与期望姿态之间的误差3005007009001 100 1 300 1 500 1 700 1 900时间/s(b)卫星2位置与期望位置之间的误差位置跟踪误差/m四元数跟踪误差Eq21Eq22Eq23Ex2Ey2Ez2图13故障后卫星2与期望状态间的误差Fig.13Error between satellite 2 and expected states after failure119宇航学报第 45 卷4.2实验验证本节通过3自由度气浮台进行实验，验证所提协同容错控制框架。气浮台主要构造如图16所示，陀螺仪用于测量台