带形状参数的双三次Bezier三角曲面的光滑拼接.pdf

第4 9卷 第2期2 0 2 3年6月延 边 大 学 学 报(自然科学版)J o u r n a l o f Y a n b i a n U n i v e r s i t y(N a t u r a l S c i e n c e E d i t i o n)V o l.4 9 N o.2J u n.2 0 2 3收稿日期:2 0 2 2 1 2 0 6基金项目:福建省中青年教师教育科研项目(J A T 2 0 0 7 6 1)作者简介:孙明灿(1 9 8 3),男,硕士,讲师,研究方向为计算机辅助几何设计.文章编号:1 0 0 4-4 3 5 3(2 0 2 3)0 2-0 1 4 0-1 0带形状参数的双三次B e z i e r三角曲面的光滑拼接孙明灿,师晶(闽南理工学院 信息管理学院,福建 石狮 3 6 2 7 0 0)摘要:为提高B e z i e r曲线曲面在计算机辅助几何设计中的造型能力,给出了一类带形状参数的双三次B e z i e r三角曲面的定义,并利用基函数性质、曲线性质和曲面性质得到了曲面间不同方向的G1拼接条件及拼接算法.实例计算表明,该算法可有效提高曲面形状的可控性.关键词:双三次B e z i e r三角曲面;形状参数;曲面拼接;曲面造型中图分类号:T P 3 9 1 文献标识码:AS m o o t h s t i t c h i n g o f b i c u b i c B e z i e r t r i a n g u l a r s u r f a c e w i t h s h a p e p a r a m e t e r sS UN M i n g c a n,S H I J i n g(C o l l e g e o f I n f o r m a t i o n M a n a g e m e n t,M i n n a n U n i v e r s i t y o f S c i e n c e a n d T e c h n o l o g y,S h i s h i 3 6 2 7 0 0,C h i n a)A b s t r a c t:I n o r d e r t o i m p r o v e t h e m o d e l i n g a b i l i t y o f B e z i e r s u r f a c e s i n c o m p u t e r a i d e d g e o m e t r i c d e s i g n,t h e b i c u b i c B e z i e r t r i a n g u l a r s u r f a c e w i t h s h a p e p a r a m e t e r s w a s d e f i n e d.T h e G1 s p l i c i n g c o n d i t i o n s i n d i f f e r e n t d i r e c t i o n s a n d t h e s p l i c i n g a l g o r i t h m b e t w e e n s u r f a c e s w e r e o b t a i n e d b y u s i n g t h e p r o p e r t i e s o f b a s i s f u n c t i o n,c u r v e a n d s u r f a c e.T h e e x a m p l e s s h o w t h a t t h e a l g o r i t h m c a n e f f e c t i v e l y i m p r o v e t h e c o n t r o l l a b i l i t y o f s u r f a c e s h a p e.K e y w o r d s:b i c u b i c B e z i e r t r i a n g u l a r s u r f a c e;s h a p e p a r a m e t e r s;s u r f a c e s p l i c i n g;s u r f a c e m o d e l i n g0 引言在计算机辅助几何设计(C AG D)中,B e z i e r曲线曲面由于具有图像直观、易于理解和计算高效等优点被广泛应用于动画制作、电子信息、生物技术及工业制造等领域中1.但B e z i e r曲线曲面在曲面造型中也存在一些不足,如图形会随着控制顶点的改变而发生变化,且它还无法精确表示一些二次曲线曲面的形状.为解决B e z i e r曲线曲面在曲面造型中存在的这些问题,一些学者对其性质进行了研究,并取得了一些良好成果.例如:文献2 的作者提出了一种能够保持参数连续性的多曲面变形技术,该变形技术不仅误差可控,而且还可使边界处的节点矢量在不必相同的条件下即可实现曲面的光滑拼接.文献3的作者给出了一种利用曲面边界线构建拼接曲面的方法,该方法不仅可用函数精确地表示三次规则曲面和自由曲面,而且还具有独立的跨界导矢和约束条件.文献4 的作者在文献3 的基础上,利用C o o n s曲面的设计原理构造了一个可满足C1连续的C N S B S曲面,研究表明该曲面不仅具有独立的跨界导矢和约束条件,而且还具有B样条曲面的性质.文献5 的作者基于最小二乘法和参数优化方法提 第2期孙明灿,等:带形状参数的双三次B e z i e r三角曲面的光滑拼接出了一种样条曲面光滑拼接的方法,该方法不仅可有效避免曲面错位,而且还可最小化控制顶点的数量.文献6 的作者讨论了一类广义B e z i e r曲线离散造型的细分算法,该算法构造的广义B e z i e r曲线具有直观性、可调性,因此可推广到相应的张量积曲面造型中.文献7 的作者讨论了一种基于几何约束的代数曲线,研究表明该曲线不仅保留了样条曲线的几何性质,而且具有良好的逼近性和局部形状可调性.文献8 的作者给出了一类四次三角B e z i e r曲线的性质和应用,研究显示该曲线不须改变控制多边形即可生成非对称的图形.基于上述研究,本文定义了一种带形状参数的双三次B e z i e r三角曲面,并给出了该曲面基函数和曲面的性质以及曲面间G1光滑拼接的定理及拼接算法.实例计算表明,本文算法不仅在不同方向上可实现参数的连续性,而且还可有效提高曲面形状的可控性.1 带形状参数的双三次B e z i e r三角曲面 定义1 设(0,2,t0,2,称关于t的多项式 X0(t)=1-s i nt+(-1)s i n2t,X1(t)=s i nt-s i n2t,X2(t)=-+c o st+s i n2t,X3(t)=-c o st+(1-)s i n2t (1)图1 基函数的图形为带形状参数的三次B e z i e r三角基函数.式(1)中的4个基函数满足以下性质:非负性,即Xi(t)0,t0,2,i=0,1,2,3;规范性,即3i=0Xi(t)=1,t0,2;端点性质,即X0(0)=X3(2)=1,X1(0)=X2(0)=X3(0)=0,X0(2)=X1(2)=X2(2)=0;单峰性,即Xi(t)(i=0,1,2,3)在区间 0,2上有一个最大值.当=1时,式(1)中的4个基函数的图形如图1所示.定义2 在R3空间中给定4个控制顶点Pi(i=0,1,2,3),定义带形状参数的三次B e z i e r三角曲线为p(t)=3i=0Xi(t)Pi,其中t0,2.带形状参数的三次B e z i e r三角曲线p(t)具有如下性质:1)端点性质,即p(0)=P0,p(2)=P3,p(0)=(P1-P0),p(2)=(P3-P2).曲线p(t)插值于首末两端点P0和P3,且在P0和P3处的切线分别是直线P0P1和P2P3.证明 由式(1)和定义2可得:p(t)=3i=0Xi(t)Pi=P01-s i nt+(-1)s i n2t+P1s i nt-s i n2t+P2-+c o st+s i n2t+P3-c o st+(1-)s i n2t.将t=0和t=2分别代入上式可得p(0)=P0和p(2)=P3,由此可知曲线p(t)分别插值于首末两端点P0和P3.又因为141延边大学学报(自然科学版)第4 9卷 p(t)=P0-c o st+2(-1)s i ntc o st+P1c o st-2s i ntc o st+P2-s i nt+2s i ntc o st+P3s i nt+2(1-)s i ntc o st,所以将t=0和t=2分别代入上式后整理可得p(0)=(P1-P0)和p(2)=(P3-P2).由此可知,曲线p(t)与直线P0P1和P2P3相切,且在首末端点的切矢模长分别等于控制多边形首末边边长的倍.2)几何不变性,即曲线p(t)的形状仅与控制顶点Pi(i=0,1,2,3)有关,而与坐标系的选取无关.证明 对控制顶点为Pi(i=0,1,2,3)的曲线p1(t)进行线性变换和平移变换后,得控制顶点为Qi(i=0,1,2,3)的曲线p2(t)为:p2(t)=Mp1(t)+N p1(t)=3i=0(M+N)Xi(t)Pi=3i=0Xi(t)Qi.式中:M为线性变换,N为平移变换.由上式可知,曲线具有几何不变性.3)凸包性,即曲线p(t)落在由控制顶点Pi(i=0,1,2,3)构成的凸包内.证明 因为基函数Xi(t)0,且3i=0Xi(t)=1(0t2;i=0,1,2,3),所以当t0,2时,p(t)是特征多边形各顶点的加权平均,且权因子为基函数,即曲线p(t)是控制顶点Pi(i=0,1,2,3)的凸线性组合;因此,曲线p(t)落在由控制顶点Pi(i=0,1,2,3)构成的凸包内.4)变差缩减性,即曲线p(t)具有变差缩减性.证明 首先证明基函数组X0(t),X1(t),X2(t),X3(t)在(0,2)上满足笛卡尔符号法则,即对任一组常数序列C0,C1,C2,C3有:Z e r o s(0,2)3i=0CiXi(t)S A(C0,C1,C2,C3).(2)其中:Z e r o s(0,2)f(t)表示函数f(t)在区间(0,2)上的根个数,f(t)=3i=0CiXi(t);S A(C0,C1,C2,C3)表示序列的符号改变次数.不妨设C00,则S A(C0,C1,C2,C3)可能的取值为3,2,1,0.i)当S A(C0,C1,C2,C3)=3时,则C30.该结果与C30,使得 Pi3-Pi22+2=Qi1-Qi02+2.证明 若两张双三次B e z i e r三角曲面S1(u,v;1,2)和S2(u,v;1,2)满足u向与u向G1拼接,则它们在u向首先需要满足G0拼接,即两曲面要有公共的边界:S1(u,2;1,2)=S2(u,0;1,2).利用曲线的边界性质对上式进行化简可得:3i=0Xi(u;1)Pi3=3i=0Xi(u;1)Qi0.(4)再由曲面的插值性和凸包性可知,式(4)可化为Pi3=Qi0,1=1(i=0,1,2,3).由于当两张曲面S1(u,v;1,2)和S2(u,v;1,2)满足G1拼接时,它们在公共边界处还应有相同的切平面,即它们在边界处的法矢方向应是连续的,故有:vS1(u,2;1,2)uS1(u,2;1,2)=vS2(u,0;1,2)uS2(u,0;1,2).(5)式(5)中,为曲面在公共边界处的法矢模比例因子(0).根据F a u x法可将式(5)化简为:vS1(u,2;1,2)=vS2(u,0;1,2).(6)541延边大学学报(自然科学版)第4 9卷 又因为 vS1(u,2;1,2)=3i=0(4+22)Xi(u;1)(Pi3-Pi2),vS2(u,0;1,2)=3i=0(4+22)Xi(u;1)(Qi1-Qi0),(7)所以将式(7)代入式(6)进行化简可得Pi3-Pi22+2=Qi1-Qi02+2.由上述可知,条件1)和条件2)是两张双三次B e z i e r三角曲面S1(u,v;1,2)和S2(u,v;1,2)满足u向与u向G1拼接的充要条件.证毕.推论1 1)若两张双三次B e z i e r三角曲面S1(u,v;1,2)和S2(u,v;1,2)在u向与u向上有公共的边界,则仅改变形状参数2和2的值仍能使两张曲面保持G0拼接.2)若两张双三次B e z i e r三角曲面S1(u,v;1,2)和S2(u,v;1,2)满足u向与u向G1拼接,则修改形状参数1、2、1和2可改变拼接曲面的整体形状,修改法矢模比例因子可改变拼接曲面的局部形状.证明 首先证明1).若两张双三次B e z i e r三角曲面S1(u,v;1,2)和S2(u,v;1,2)在u向与u向上有公共的边界,则由定理3中的条件2)可知两张曲面的G0拼接条件仅与1和1有关,而与2和2无关.所以,若仅改变形状参数2和2的值仍能使两张曲面保持G0拼接.因2)的证明过程与1)的证明过程类似,故本文在此省略.定理4两张双三次B e z i e r三角曲面S1(u,v;1,2)和S2(u,v;1,2)满足v向与v向G1拼接的充要条件是:1)P3j=Q0j,2=2(j=0,1,2,3);2)存在实常数0,使得 P3j-P2j2+1=Q1j-Q0j2+1.证明 若两张双三次B e z i e r三角曲面S1(u,v;1,2)和S2(u,v;1,2)满足v向与v向G1拼接,则它们在v向需要先满足G0拼接,即两曲面要有公共的边界:S1(2,v;1,2)=S2(0,v;1,2).利用曲线的边界性质对上式进行化简可得3j=0Xj(v;2)P3j=3j=0Xj(v;2)Q0j.再由曲面的插值性和凸包性可知,上式可化简为P3j=Q0j,2=2(j=0,1,2,3).由于当两曲面S1(u,v;1,2)和S2(u,v;1,2)满足G1拼接时,它们在公共边界处还应有相同的切平面,即它们在边界处的法矢方向应连续,故有:vS1(2,v;1,2)uS1(2,v;1,2)=vS2(0,v;1,2)uS2(0,v;1,2).(8)式(8)中,为曲面在公共边界处的法矢模比例因子(0).根据F a u x法可将式(8)化简为:uS1(2,v;1,2)=uS2(0,v;1,2).(9)又因为 uS1(2,v;1,2)=3j=0(4+21)Xj(v;2)(P3j-P2j),uS2(0,v;1,2)=3i=0(4+21)Xj(v;2)(Q1j-Q0j),(1 0)所以将式(9)代入式(1 0)进行化简可得P3j-P2j2+1=Q1j-Q0j2+1.由上述可知,条件1)和条件2)是两张双三次B e z i e r三角曲面S1(u,v;1,2)和S2(u,v;1,2)满足v向与v向G1拼接的充要条件.证毕.641 第2期孙明灿,等:带形状参数的双三次B e z i e r三角曲面的光滑拼接推论2 1)若两张双三次B e z i e r三角曲面S1(u,v;1,2)和S2(u,v;1,2)在v向与v向上有公共的边界,则仅改变形状参数1和1的值仍能使两张曲面保持G0拼接.2)若两张双三次B e z i e r三角曲面S1(u,v;1,2)和S2(u,v;1,2)满足v向与v向G1拼接,则修改形状参数1、2、1和2可改变拼接曲面的整体形状,修改法矢模比例因子可改变拼接曲面的局部形状.证明 因证明过程与推论1的证明过程类似,故本文在此省略.定理5两张双三次B e z i e r三角曲面S1(u,v;1,2)和S2(u,v;1,2)满足u向与v向G1拼接的充要条件是:1)Pi3=Q0j,1=2(i,j=0,1,2,3);2)存在实常数0,使得 Pi3-Pi22+2=Q1j-Q0j2+1.证明 因证明过程与定理1和定理2的证明过程类似,故本文在此省略.推论3 1)若两张双三次B e z i e r三角曲面S1(u,v;1,2)和S2(u,v;1,2)在u向与v向上有公共的边界,则仅改变形状参数2和1的值仍能使两张曲面保持G0拼接.2)若两张双三次B e z i e r三角曲面S1(u,v;1,2)和S2(u,v;1,2)满足u向与v向G1拼接,则修改形状参数1、2、1和2可改变拼接曲面的整体形状,修改法矢模比例因子可改变拼接曲面的局部形状.证明 因证明过程与推论1的证明过程类似,故本文在此省略.4 曲面拼接算法的实现带形状参数的双三次B e z i e r三角曲面的拼接算法如下:步骤1选定待拼接曲面的1 6个控制顶点Pi j(i,j=0,1,2,3)及形状参数1和2,并根据双三次B e z i e r三角曲面方程计算出第1张待拼接曲面S1(u,v;1,2);步骤2计算出曲面S1(u,v;1,2)公共边界线的4个控制顶点,并根据G1拼接定理确定相邻曲面的其余1 2个控制顶点Qi j(i=0,1,2,3;j=1,2,3)及形状参数1和2,由此得到第2张待拼接曲面S2(u,v;1,2);步骤3如果待拼接曲面数大于2,则转至步骤2,直至生成所有待拼接曲面后再执行下一步;否则,直接执行下一步;步骤4通过修改各拼接曲面片的形状参数及法矢模比例因子调整拼接曲面的形状,以此获得满意的图形.5 计算实例构造碗曲面模型时,因需要多个曲面才能拼接而成,因此本文根据选定的1 6个控制顶点Pi j(i,j=0,1,2,3)首先计算出第1张待拼接曲面S1(u,v;1,2).1 6个控制顶点分别为:P0 0(-2.1 8,2.5 2,0.8 5),P0 1(-4.5 0,-1.0 3,0.9 8),P0 2(-3.9 8,-1.9 2,0.9 5),P0 3(-1.4 7,-3.2 7,0.8 9),P1 0(-3.9 8,0.8 7,0.7 5),P1 1(-2.8 2,0.7 9,0.4 1),P1 2(-3.4 0,-1.5 4,0.6 5),P1 3(-0.7 9,-3.8 2,0.7 5),P2 0(-2.8 8,0.5 5,0.4 0),P2 1(-1.6 5,0.0 6,0.3 6),P2 2(-2.0 1,-1.2 9,0.5 0),P2 3(0.3 4,-2.3 6,0.3 1),P3 0(-0.1 9,0.2 2,0.2 6),P3 1(-0.0 3,0.2 4,0.0 2),P3 2(-0.8 8,-0.2 5,0.1 3),P3 3(0.3 7,0.8 0,0.0 2).然后再根据曲面S1(u,v;1,2)与第2张待拼接曲面S2(u,v;1,2)的公共边界线的4个控制顶点Pi3(i=0,1,2,3)和曲面S2(u,v;1,2)的其余1 2个控制顶点Qi j(i=0,1,2,3;j=1,2,3)计算出第741延边大学学报(自然科学版)第4 9卷 2张待拼接曲面S2(u,v;1,2).曲面S2(u,v;1,2)的其余1 2个控制顶点分别为:Q0 1(-1.5 1,-3.0 1,0.9 5),Q0 2(-0.5 2,-4.1 1,0.9 0),Q0 3(-1.5 1,-3.8 2,0.8 8),Q1 1(-1.4 6,-3.6 8,0.8 3),Q1 2(-0.6 2,-3.4 5,0.7 1),Q1 3(0.1 8,-3.0 9,0.6 5),Q2 1(-0.7 4,-1.8 6,0.4 5),Q2 2(-1.3 4,-2.8 6,0.3 6),Q2 3(0.9 1,-2.5 0,0.4 5),Q3 1(-1.1 3,-1.3 7,0.1 2),Q3 2(-0.9 3,-1.3 7,0.0 2),Q3 3(1.1 5,-0.3 4,0.1 5).图4 碗曲面G0拼接的网格模型重复以上步骤,最终可生成如下4张待拼接曲面:S1(u,v;1,2),S2(u,v;1,2),S3(u,v;1,2),S4(u,v;1,2).由于上述4张曲面的任意2个相邻曲面在u向具有公共的边界线,所以上述4张曲面的任意2个相邻曲面均满足u向与u向的G0拼接条件,且这4张曲面的形状参数满足1=1=1=1,如图4所示.当相邻曲面满足u向与u向的G1拼接时,由定理3可知Pi3-Pi22+2=Qi1-Qi02+2.所以,通过修改法矢模比例因子可改变拼接曲面的局部形状.不同法矢模比例因子下的碗曲面G1拼接的网格模型如图5所示.由定理3和图5可得:法矢模比例因子越大,相邻公共边界线的两排控制顶点越靠近边界线处的控制顶点;法矢模比例因子越小,相邻公共边界线的两排控制顶点越远离边界线处的控制顶点.另外,由曲面的形状可调性和定理1可知,修改形状参数可改变曲面的整体形状,即:当形状参数增大或减小时,曲面从整体上逐渐靠近或远离控制网格.不同形状参数下的碗曲面G1拼接的网格模型如图6所示.(a)1=1,2=0.8,3=0.8,4=0.7 (b)1=0.3,2=0.2,3=0.2,4=0.1图5 不同法矢模比例因子下的碗曲面G1拼接的网格模型(a)2=2=1.3,2=2=1.1,(b)2=2=0.1,2=2=0.2,1=1=1=1=1.2 1=1=1=1=0.1 5图6 不同形状参数下的碗曲面G1拼接的网格模型(下转第1 8 8页)841延边大学学报(自然科学版)第4 9卷 6 C A R ON M,B O J ANOWS K I P,J OU L I N A,e t a l.D e e p c l u s t e r i n g f o r u n s u p e r v i s e d l e a r n i n g o f v i s u a l f e a t u r e sC/P r o c e e d i n g s o f t h e E u r o p e a n C o n f e r e n c e o n C o m p u t e r V i s i o n.M u n i c h:E C C V,2 0 1 8:1 3 2-1 4 9.7 C OA T E S A,N G A Y.L e a r n i n g f e a t u r e r e p r e s e n t a t i o n s w i t h K-m e a n sJ.N e u r a l N e t w o r k s:T r i c k s o f t h e T r a d e,2 0 1 2:5 6 1-5 8 0.8 S HA R I F R A Z AV I AN A,A Z I Z P OUR H,S U L L I VAN J,e t a l.C NN f e a t u r e s o f f-t h e-s h e l f:A n a s t o u n d i n g b a s e l i n e f o r r e c o g n i t i o nC/P r o c e e d i n g s o f t h e I E E E C o n f e r e n c e o n C o m p u t e r V i s i o n a n d P a t t e r n R e c o g n i t i o n W o r k s h o p s.C o l u m b u s:I C C V,2 0 1 4:8 0 6-8 1 3.9 B O J ANOWS K I P,J OU L I N A.U n s u p e r v i s e d l e a r n i n g b y p r e d i c t i n g n o i s eC/I n t e r n a t i o n a l C o n f e r e n c e o n M a c h i n e L e a r n i n g.S y d n e y:PML R,2 0 1 7:5 1 7-5 2 6.1 0 WE N G Y,Z HANG N,YANG X.I m p r o v e d d e n s i t y p e a k c l u s t e r i n g b a s e d o n i n f o r m a t i o n e n t r o p y f o r a n c i e n t c h a r-a c t e r i m a g e sJ.I E E E A c c e s s,2 0 1 9,7:8 1 6 9 1-8 1 7 0 0.1 1 陈扬,王金亮,夏炜,等.基于特征自动提取的足迹图像聚类方法J.计算机科学,2 0 2 1,4 8(S 1):2 5 5-2 5 9.1 2 Z HAO H,CHU H,Z HAN G Y,e t a l.I m p r o v e m e n t o f a n c i e n t s h u i c h a r a c t e r r e c o g n i t i o n m o d e l b a s e d o n c o n v o l u-t i o n a l n e u r a l n e t w o r kJ.I E E E A c c e s s,2 0 2 0,8:3 3 0 8 0-3 3 0 8 7.1 3 WAN G X,GU P T A A.U n s u p e r v i s e d l e a r n i n g o f v i s u a l r e p r e s e n t a t i o n s u s i n g v i d e o sC/P r o c e e d i n g s o f t h e I E E E I n t e r n a t i o n a l C o n f e r e n c e o n C o m p u t e r V i s i o n.S a n t i a g o:I C C V,2 0 1 5:2 7 9 4-2 8 0 2.1 4 魏银华.基于P y t h o n的古汉语文本聚类应用研究D.大连:大连理工大学,2 0 1 8.1 5 李丁园,李晓杰.基于多尺度残差卷积自编码器的图像聚类方法J.吉林大学学报(信息科学版),2 0 2 2,4 0(4):6 8 4-6 8 7.(上接第1 4 8页)6 结束语本文研究了带形状参数的双三次B e z i e r三角曲面的光滑拼接,该曲面不仅保留了传统B e z i e r曲面的一些优良性质(插值性、边界性质、凸包性、几何不变性等),而且在不改变控制顶点的条件下可通过形状参数调节曲面形状.为提高B e z i e r曲面在复杂曲面造型中的构图能力,本文给出了带形状参数的双三次B e z i e r三角曲面的u向与u向、v向与v向、u向与v向间的G1拼接定理及其算法.实例计算显示,曲面的形状参数和法矢模比例因子可分别调整曲面的整体形状和局部形状,并且其几何意义明显.即:在给定范围内,形状参数越大,曲面在整体上越靠近控制网格;法矢模比例因子越大,相邻公共边界线的两排控制顶点越靠近边界线处的控制顶点.本文研究结果有效解决了B e z i e r曲面难以进行局部调节的缺点.在今后的工作中,我们将对高次曲线曲面的光滑拼接进行研究.参考文献:1 施法中.计算机辅助几何设计与非均匀有理B样条M.北京:高等教育出版社,2 0 0 1:3 0 6-4 5 4.2 黄吴戟,王志国.B样条曲面光滑拼接方法J.机械制造与自动化,2 0 2 0,4 9(3):7 1-7 4.3 吴丽娟,李博,A B E Y S I NGHE A R A CHCH I G E S S,等.B样条曲面拼接算法的设计与实现J.沈阳师范大学学报(自然科学版),2 0 1 9,3 7(6):5 4 9-5 5 3.4 吴丽娟,张心慈,任海清,等.C N S B S曲面拼接方法的设计与实现J.沈阳师范大学学报(自然科学版),2 0 2 1,3 9(2):1 7 8-1 8 1.5 王崇.基于近似光滑的样条曲面拼接方法研究D.长春:吉林大学,2 0 2 2.6 杨军,黄倩颖.一类广义B e z i e r曲线及其性质研究J.南昌航空大学学报(自然科学版),2 0 2 0,3 4(4):1 9-2 4.7 师晶.一种基于几何约束的插值曲线的参数连续性J.沈阳大学学报(自然科学版),2 0 1 9,3 1(1):7 8-8 3.8 喻德生,徐迎博,曾接贤.一类双参数类四次三角B z i e r曲线及其扩展J.计算机工程与应用,2 0 1 3,4 9(1 8):1 8 0-1 8 6.9 胡钢,吉晓民,白晓波.广义带多参B z i e r-l i k e曲面及其拼接条件J.计算机集成制造系统,2 0 1 6,2 2(2):5 0 1-5 1 5.881