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第44卷第2期2023年6月淮北师范大学学报（自然科学版）Journal of Huaibei Normal University(Natural Sciences)Vol.44 No.2Jun.2023带调控参数的指数Coons曲面及其应用邹倩（淮北师范大学 数学科学学院，安徽 淮北 235000）摘要：为拓宽双三次Coons曲面的应用，在指数函数空间上构造一组指数混合基函数，这个指数基函数带有一个调控参数，称之为E-Hermite基，E-Hermite基的几条性质会在文中给出。基于E-Hermite基，构造一种新的指数Coons曲面，这种指数Coons曲面带有两个调控参数，并称之为E-Coons曲面，E-Coons曲面保持双三次Coons曲面的良好性质，还可以通过调控参数调控曲面的形状，通过实例说明其形状可调性。最后给出E-Coons曲面精确表示双曲柱面和双曲抛物面的方法，并给出实例。关键词：E-Hermite；E-Coons曲面；双曲柱面；曲面造型中图分类号：TP 391.72文献标识码：A文章编号：2095-0691（2023）02-0001-070引言Coons曲面方法是计算机辅助几何设计中最基础的曲面插值方法之一1。近年来，研究Coons曲面多是在三角混合函数空间2-6和有理混合函数空间7-10构造含调控参数的混合基函数，文献 2 在混合三角函数空间sin(t),cos(t),t,1构造C-Hermite基，并由此生成一类双三次C-Coons曲面。文献 8 构造一组带调控参数的三次有理混合基函数，并将生成的双三次有理Coons曲面用于图像缩放。对于用指数基来构造曲线曲面引起学者们的很大兴趣11-14，文献 11 在混合指数函数空间1,3t2-2t3,(1-t)3e-t,t3et上构造带2个调控参数的-Bernstein基函数和在三角域上构造带3个调控参数的-Bernstein基函数。文献 12 提出5个新的具有2个指数调控参数的三角混合函数，基于这些混合函数，构造具有2个指数调控参数的三角Bzier曲线和具有3个局部调控参数以及1个全局调控参数的三角B样条曲线，其中所构造的三角Bzier曲线还可以精确表示椭圆和抛物线。文献 15 构造一类带多个调控参数的指数均匀B样条曲线。而在指数空间上构造Coons曲面文献却很少，受文献 11 的启发，本文尝试在混合指数函数空间1,u,u2,eu,e-u上构造一组带一个调控参数的混合指数基，并由混合指数基生成带2个调控参数的指数Coons曲面，并通过实例得出调控参数对曲面的调控效果。又因为三角函数和双曲函数均可由指数函数转化而来，故本文尝试用指数Coons曲面精确表示双曲柱面和双曲抛物面。1指数Coons曲面1.1混合指数基定义1对u0,1，设为实数，称下列关于u的函数收稿日期：2022-09-05基金项目：安徽省自然科学研究项目（KJ2020A1201）；安徽省高校优秀青年人才支持计划项目（gxyq2019170）作者简介：邹倩（1984），女，安徽怀远人，硕士，讲师，研究方向为计算机辅助几何设计、数值逼近。淮北师范大学学报（自然科学版）2023年F0(,u)=-(3+2e+2e-e2-2)e2-4e+3+3+e-e+1e-3u+u2+3-e-e+1e2-4e+3eu+e(3+e-e-1)e2-4e+3e-uF1(,u)=-(3+2e+2e-e2-e2-1)e2-4e+3+3-e-e-1e-3u+u2+3+e-e-1e2-4e+3eu+e(3-e-e+1)e2-4e+3e-uG0(,u)=-(3+2e-e2+2)e2-4e+3+3+e-e-1e-3u+u2+3-e-e+2e2-4e+3eu+e(3-e+1)e2-4e+3e-uG1(,u)=-(3-2e+2e-e2+e2-1)e2-4e+3+3+e-e-1e-3u+u2+3-e-1e2-4e+3eu+e(3+e-e-2)e2-4e+3e-u为带调控参数的E-Hermite基，为调控参数。为简化E-Hermite基的表达，可令e-3=a，e-1=b，e+1=c，则E-Hermite基简化如下：F0(,u)=-ac-2bab+-a+cau+u2+-a-babeu+-ea+ebabe-uF1(,u)=ac+b2ab+-a-cau+u2+-a+babeu+-ea-ebabe-uG0(,u)=-ac-2ab+-a+bau+u2+-a-e+2abeu+-ea+eabe-uG1(,u)=-ac-bc+2eab+-a+bau+u2+-a-1abeu+-ae+e2-2eabe-u。下面以F0(,u)为例，给出E-Hermite基的构造方法。令F0(,u)=x1+x2u+x3u2+x4eu+x5e-u，欲使构造的F0(,u)满足Fi(j)=ij=1,i=j0,ij，Fi(j)=0,i,j=0,1，从而可得下面方程组：F0(0)=x1+x4+x5=1F0(1)=x1+x2+x3+ex4+e-1x5=0F0(0)=x2+x4-x5=0F0(1)=x2+2x3+ex4-e-1x5=0。给出自由未知量x3=，解方程组可得：x1=-(3+2e+2e-e2-2)e2-4e+3x2=3+e-e+1e-3x3=x4=3-e-e+1e2-4e+3x5=e(3+e-e-1)e2-4e+3。故F0(,u)=-(3+2e+2e-e2-2)e2-4e+3+3+e-e+1e-3u+u2+3-e-e+1e2-4e+3eu+e(3+e-e-1)e2-4e+3e-u同理可构造出F1(,u)、G0(,u)、G1(,u)。E-Hermite基具有如下性质：性质1当u=0或u=1时，可得下面等式成立，F0(,0)=1,F0(,1)=0,F0(,0)=0,F0(,1)=0，F1(,0)=0,F1(,1)=1,F1(,0)=0,F1(,1)=0。G0(,0)=0,G0(,1)=0,G0(,0)=1,G0(,1)=0，G1(,0)=0,G1(,1)=0,G1(,0)=0,G1(,1)=1。所以E-Hermite基具有类似于Hermite的端点性质：Fi(j)=Gi(j)=ij=1,i=j0,ij，Fi(j)=Gi(j)=0,i,j=0,1。性质2E-Hermite基曲线对调控参数的单调性。对于固定的u0,1，F0(,u)、F1(,u)、G0(,u)、G1(,u)对参数是单调递减的，下面给出具体证明。2第2期邹倩：带调控参数的指数Coons曲面及其应用证明以F0(,u)为例，对于u0,1，可求得F0(,u)关于求导为：F0(,u)=u2-u+e+1e-1-eue-1-e1-ue-1，可令(u)=F0(,u)=u2-u+e+1e-1-eue-1-e1-ue-1，显然(u)是关于u的一元函数，其图形为图1。图1(u)的图形从图1可以观察出，当u0,1时，(u)=F0(,u)0，令1=2=0，将其代入式（3），并计算化简，可得E-Coons曲面的参数方程为：x(u,v)=achv=aev+e-v2y(u,v)=bshv=bev-e-v2z(u,v)=u(0u,v1)，（4）显然，式（4）表示的是部分双曲柱面，图4是a=3,b=2时曲面的图形。5淮北师范大学学报（自然科学版）2023年33.544.55012300.20.40.60.81xx=3 cosh(v),y=2 sinh(v),z=uyz00.5100.20.40.60.8100.20.40.60.81yx=v,y=u,z=u vxz图4部分双曲柱面图5部分双曲抛物面3.2双曲抛物面对于第1节定义的E-Coons曲面，给出边界信息矩阵的坐标分量如下：()0,0,0()1,0,0()1,0,0()1,0,0()0,1,0()1,1,1()1,0,1()1,0,1()0,1,0()0,1,1()0,0,1()0,0,1()0,1,0()0,1,1()0,0,1()0,0,1，令1=2=0，将其代入（3）式，并计算化简，可得E-Coons曲面的参数方程为：x(u,v)=vy(u,v)=uz(u,v)=uv(0u,v1)，（5）参数方程（5）表示的是部分双曲抛物面，图5是E-Coons曲面的图形。4结语本文是对双三次Coons曲面在指数空间上进行含参扩展，在指数空间1,u,u2,eu,e-u上构造一组新的带调控参数的混合指数基，并构造带2个调控参数的指数Coons曲面。本文的优点体现2个方面：一是新的指数Coons曲面不仅保留双三次Coons曲面的优点，还可以很好的调控其形状。二是此指数Coons曲面还可以精确表示双曲柱面和双曲抛物面。参考文献：1朱心雄.自由曲线曲面造型技术 M.北京：科学出版社，2002：57-65.2WANG Yan，TAN Jieqing，LI Zhiming，et al.Bi-cubic C-Coons surface and its applications J.Journal of Information&Computational Science，2012，9（7）：1895-1903.3裴芳，韩旭里，李岩.带形状参数的Coons类曲面的构造与拼接 J.计算机工程与应用，2013，49（10）：163-166.4李杨，汤文成，刘海晨.C-Coons曲面及其性质 J.计算机辅助设计与图形学学报，2003，15（9）：1177-1180.5刘海晨，汤文成.用三角函数构造Coons曲面的控制函数 J.计算机辅助设计与图形学学报，2004，16（4）：459-464.6邹倩，韩旭里.带形状参数的TC-Coons曲面 J.计算机工程与科学，2019，41（7）：1220-1226.7李军成，赵东标，陆永华.带形状参数的Coons型曲面片的几何设计 J.计算机集成制造系统，2012，18（1）：25-30.8李军成，杨炼，李炳君.双三次Coons曲面片的两种扩展 J.计算机应用研究，2011，28（11）：4389-4391.9李军成，赵东标，陆永华.带参数有理Coons曲面插值的图象缩放方法 J.计算机辅助设计与图形学学报，2011，23（11）：1853-1859.10邹倩，韩旭里.带形状参数的R-Coons曲面 J.图学学报，2019，40（2）：387-394.11ZHU Yuanpeng，HAN Xuli.Curves and surfaces construction based on new basis with exponential functionsJ.ActaApplicandae Mathematicae，2014，129（1）：183-203.x=3cosh(v),y=2sinh(v),z=ux=v,y=u,z=uv6第2期邹倩：带调控参数的指数Coons曲面及其应用12 HAN Xuli，ZHU Yuanpeng.Curve construction based on five trigonometric blending functionsJ.BIT NumericalMathematics，2012，52（4）：953-979.13 DELGADO-GONZALO R，THVENAZ P，UNSER M.Exponential splines and minimal-support bases for curverepresentation J.Computer Aided Geometric Design，2012，29（2）：109-128.14 LYCHE T，MAZURE M L.Total positivity and the existence of piecewise exponential B-splinesJ.Advances inComputational Mathematics，2006，25（1）：105-133.15张莉，刘静静，檀结庆.多形状参数的指数均匀B样条曲线曲面 J.图学学报，2013，34（3）：29-35.Exponential Coons Surface with Shape Parameters and Its ApplicationZOU Qian（School of Mathematical Sciences，Huaibei Normal University，235000，Huaibei，Anhui，China）Abstract：In order to broaden the application of bi-cubic Coons surface，a class of exponential blendingfunctions with one parameteris constructed in exponential space，which is named E-Hermite basis.Theproperties of E-Hermite basis are illustrated in this paper.Based on the E-Hermite basis，a class ofexponential Coons surface with two parameters is constructed，which is called E-Coons surface.The E-Coonssurface not only has good properties of bi-cubic Coons surface，but also can control its shape easily.Theshape adjustability is illustrated by two parameters.Finally，this paper gives the method of accuratelyrepresenting hyperbolic cylinder and hyperbolic paraboloid，and gives some examples.Key words：E-Hermite basis；E-Coons patch；hyperbolic cylinder；surface modeling版权声明为适应我国信息化建设需要，扩大作者学术交流渠道，实现知识产权的合理使用，本刊已加入中国期刊网、万方数据库等数据库。如作者不同意将文章编入相关数据库，请在来稿时声明，本刊将做适当处理。如无声明，视为作者在向本刊投稿时已授权本刊。作者著作权使用费与本刊稿酬一次性给付。7