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投影与视图

一、目标与策略

明确学习目标及主要的学习方法是提高学习效率的首要条件，要做到心中有数！

学习目标：
l 以分析实际例子为背景，认识投影和视图的基本概念和基本性质；
l 通过讨论简单立体图形（包括相应的表面展开图）与它的三视图的相互转化，经历画图、识图等过程，分析立体图形和平面图形之间的联系，提高空间相象能力；
l 通过制作立体模型的学习，在实际动手中进一步加深对投影和识图知识的认识，加强在实践活动中动手动脑理论结合实际的能力.
重点难点：
l 重点：理解平行投影和中心投影的特征；从投影的角度加深对三视图概念的理解；会画简单几何体及其组合的三视图.
l 难点：在投影面上画出平面图形的平行投影或中心投影；正确画出各种几何体与组合体的三视图.
学习策略：
l 通过判断经过物体顶端和影子顶端的连线是否相交确定是灯光还是太阳光线，若两线平行则是太阳光，若相交则是灯光.
l 线段a、面P的正投影规律可简记为“平行长不变，倾斜长缩短（面的正投影缩小），垂直成一点（面的正投影成一线）”.
l 三视图中，主视图反映物体的长和高，俯视图反映物体的长和宽，左视图反映物体的高和宽.

二、学习与应用
“凡事预则立，不预则废”。科学地预习才能使我们上课听讲更有目的性和针对性。我们要在预习的基础上，认真听讲，做到眼睛看、耳朵听、心里想、手上记。

知识要点——预习和课堂学习
认真阅读、理解教材，尝试把下列知识要点内容补充完整，带着自己预习的疑惑认真听课学习。若有其它补充可填在右栏空白处。
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知识点一：平行投影
（一）一般地，用光线照射物体，在某个平面（地面或墙壁等）上得到的 ，叫做物体的投影.只要有光线，有被光线照到的物体，就存在影子.太阳光线可看做
的，像这样的光线照射在物体上，所形成的投影叫做平行投影.由此我们可得出这样两个结论：
（1）等高的物体垂直地面放置时，如图1所示，在太阳光下，它们的影子_________长.

（2）等长的物体平行于地面放置时，如图2所示，它们在太阳光下的影子_________长，且影长_________物体本身的长度.
（二）
（1）在不同时刻，同一物体的影子的方向和大小可能_________.不同时刻，物体在太阳光下的影子的大小在_________，方向也在_________，就北半球而言，从早晨到傍晚，物体影子的指向是：西→西北→北→东北→东，影长也是由_________变_________再变_________.
（2）在同一时刻，不同物体的物高与影长成_________.
即：.
利用上面的关系式可以计算高大物体的高度，比如旗杆的高度等.
注意：利用影长计算物高时，要注意的是测量两物体在同一时刻的影长.
要点诠释：
（1）平行投影是物体投影的一种，是在平行光线的照射下产生的.利用平行投影知识解题要分清不同时刻和同一时刻.
（2）物体与影子上的对应点的连线是 的就说明是平行光线.
知识点二：中心投影
若一束光线是从 　 发出的，像这样的光线照射在物体上所形成的投影，叫做中心投影.这个“点”就是中心，相当于物理上学习的“点光源”.生活中能形成中心投影的点光源主要有手电筒、路灯、台灯、投影仪的灯光、放映机的灯光等.相应地，我们会得到两个结论：（1）等高的物体垂直地面放置时，如图1所示，在灯光下，离点光源近的物体它的影子____　__，离点光源远的物体它的影子__　____.

（2）等长的物体平行于地面放置时，如图2所示.一般情况下，离点光源越近，影子越长；离点光源越远，影子越短，但不会比物体本身的长度还短.
在中心投影的情况下，还有这样一个重要结论：点光源、物体边缘上的点以及它在影子上的对应点在同一条______上，根据其中两个点，就可以求出第三个点的位置.
要点诠释：
光源和物体所处的位置及方向影响物体的中心投影，同一物体相对同一光源的距离近时的影子比远时的影子_____；光源或物体的方向改变，则该物体的影子的方向也发生变化，但光源、物体的影子始终分离在物体的_________.
知识点三：中心投影与平行投影的区别与联系
（一）联系：
（1）中心投影、平行投影都是研究物体投影的一种，只不过平行投影是在平行光线下所形成的投影，通常的平行光线有太阳光线、月光等，而中心投影是从一点发出的光线所形成的投影，通常状况下，灯泡的光线、手电筒的光线等都可看成是从某一点发射出来的光线.
（2）在平行投影中，同一时刻改变物体的方向和位置，其投影也跟着发生变化；在中心投影中，同一灯光下，改变物体的位置和方向，其投影也跟着发生变化.在中心投影中，固定物体的位置和方向，改变灯光的位置，物体投影的方向和位置也要发生变化.
（二）区别：
（1）太阳光线是 的，故太阳光下的影子长度都与物体高度 ；灯光是发散的，灯光下的影子与物体高度不一定成比例.
（2）同一时刻，太阳光下影子的方向总是在同一方向，而灯光下的影子可能在同一方向，也可能在不同方向.
要点诠释：
在解决有关投影的问题时必须先判断准确是平行投影还是中心投影，然后再根据它们的具体特点进一步解决问题.
知识点四：正投影
正投影

如图所示，图（1）中的投影线集中于一点，形成中心投影；图（2）（3）中，投影线互相平行，形成平行投影；图（2）中，投影线斜着照射投影面；图（3）中投影线垂直照射投影面（即投影线正对着投影面），我们也称这种情形为投影线垂直于投影面.像图（3）这样，投影线 　　 于投影面产生的投影叫做正投影.
（1）线段的正投影分为三种情况.如图所示.

①线段AB平行于投影面P时，它的正投影是线段A1B1，与线段AB的长　　　　　　　　　；
②线段AB倾斜于投影面P时，它的正投影是线段A2B2，长　　　　线段AB的长；
③线段AB垂直于投影面P时，它的正投影是一个　　　　.
（2）平面图形正投影也分三种情况，如图所示.

①当平面图形平行于投影面Q时，它的正投影与这个平面图形的形状、大小完全相同，即正投影与这个平面图形　　　　；
②当平面图形倾斜于投影面Q时，平面图形的正投影与这个平面图形的形状、大小发生变化，即会缩小，是类似图形但不一定相似.
③当平面图形垂直于投影面Q时，它的正投影是　　　　或　　　　的一部分.
（2）立体图形的正投影.
物体的正投影的形状、大小与物体相对于投影面的位置有关，立体图形的正投影与平行于投影面且过立体图形的最大　　　　全等.
要点诠释：
（1）正投影是特殊的平行投影，它不可能是中心投影.
（2）由线段、平面图形和立体图形的正投影规律，可以识别或画出物体的正投影.
（3）由于正投影的投影线垂直于投影面，一个物体的正投影与我们沿投影线方向观察这个物体看到的图象之间是有联系的.
知识点五：三视图
（一）三视图的概念
（1）视图
从某一角度观察一个物体时，所看到的 　 叫做物体的一个视图.
（2）正面、水平面和侧面
用三个互相垂直的平面作为投影面，其中正对我们的面叫做正面，正面下面的面叫做水平面，右边的面叫做侧面.
（3）三视图
一个物体在三个投影面内同时进行 　 ，在正面内得到的 观察物体的视图，叫做主视图；在水平面内得到的 　 观察物体的视图，叫做俯视图；在侧面内得到的 　 观察物体的视图，叫做左视图.主视图、左视图、俯视图叫做物体的三视图.
（二）三视图之间的关系
（1）位置关系
三视图的位置是有规定的，主视图要在左边，它的下方应是俯视图，左视图在其右边，如图（1）所示.

（2）大小关系
三视图之间的大小是相互联系的，遵循主视图与俯视图的长对　　　　，主视图与左视图的高　　　　，左视图与俯视图的宽　　　　的原则.如图（2）所示.
要点诠释：
物体的三视图的位置是有严格规定的，不能随意乱放.三视图把物体的长、宽、高三个方面反映到各个视图上，具体地说，主视图反映物体的　　　　　　　　；俯视图反映物体的　　　　　　　　，左视图反映物体的　　　　　　　　，抓住这些特征能为画物体的三视图打下坚实的基础.
知识点六：画几何体的三视图
画图方法：
画一个几何体的三视图时，要从三个方面观察几何体，具体画法如下：
（1）确定主视图的位置，画出主视图；
（2）在主视图的正下方画出俯视图，注意与主视图“　　　　　　　　”；
（3）在主视图的正右方画出左视图，注意与主视图“　　　　　　　　”，与俯视图“　　　　　　　　”.
几何体上被其他部分遮挡而看不见的部分的轮廓线应画成虚线.
要点诠释：
画一个几何体的三视图，关键是把从正面、上方、左边三个方向观察时所得的视图画出来，所以，首先要注意观察时视线与观察面垂直，即观察到的平面图是该图的正投影；其二，要注意正确地用虚线表示看不到的轮廓线；其三，要充分发挥想象，多实践，多与同学交流探讨，多总结；最后，按三视图的位置和大小要求从整体上画出几何体的三视图.
知识点七：由三视图想象几何体的形状
由三视图想象几何体的形状，首先应分别根据主视图、俯视图和左视图想象主体图的前面、上面和左侧面，然后综合起来考虑整体图形.
要点诠释：
由物体的三视图想象几何体的形状有一定的难度，可以从如下途径进行分析：
（1）根据主视图、俯视图和左视图想象几何体的前面、上面和左侧面的形状以及几何体的长、宽、高；
（2）根据实线和虚线想象几何体看得见和看不见的轮廓线；
（3）熟记一些简单的几何体的三视图会对复杂几何体的想象有帮助；
（4）利用由三视图画几何体与由几何体画三视图为互逆过程，反复练习，不断总结方法.

经典例题-自主学习
认真分析、解答下列例题，尝试总结提升各类型题目的规律和技巧，然后完成举一反三。若有其它补充可填在右栏空白处。
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类型一：平行投影
例1．有两根木棒AB、CD在同一平面上竖着，其中AB这根木棒在太阳光下的影子BE如图（1）所示，则CD这根木棒的影子DF应如何画?

思路点拨：要画CD的影子，必须知道太阳光线，故连结AE知太阳光线，从而画出CD的影子.
解：

总结升华：

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　．
例2．如图所示，某居民小区内A、B两楼之间的距离MN=30米，两楼的高都是20米，A楼在B楼正南，B楼窗户朝南.B楼内一楼住户的窗台离小区地面的距离DN=2米，窗户高CD=1.8米.当正午时刻太阳光线与地面成30°角时，A楼的影子是否影响B楼的一楼住户采光？若影响，挡住该住户窗户多高？若不影响，请说明理由.（参考数据：≈1.414，≈1.732，≈2.236）

思路点拨：本题可通过计算A楼影子在B楼的长度来说明是否影响采光.
解：

举一反三
【变式1】如图所示，在一天的某一时刻，李明同学站在旗杆附近某一位置，其头部的影子正好落在旗杆脚处，那么你能在图中画出此时的太阳光线及旗杆的影子吗？

解：

总结升华：

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　．
【变式2】已知，如图所示，AB和DE是直立在地面上的两根立柱，AB=5m，某一时刻AB在阳光下的投影BC=3m.
（1）请你在图中画出此时DE在阳光下的投影.
（2）在测量AB的投影时，同时测量出DE在阳光下时投影长为6m.请你计算DE的长.

思路点拨：阳光下的投影是平行投影，根据平行投影的规律，即可完成DE的投影；计算DE的长度，可根据相似三角形的性质来求解.
解：

总结升华：

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　．
类型二：中心投影
例3．如图所示，小明在广场上乘凉，图中线段AB表示站在广场上的小明，线段PO表示直立在广场上的灯杆，点P表示照明灯.

（1）请你在图中画出小明在照明灯P照射下的影子.
（2）如果灯杆高PO=12m，小明身高AB=1.6m，小明与灯杆的距离BO=13m，请求出小明影子的长度.
思路点拨：知道光源P，连结PA并延长与地面相交，交点到小明的线段即为其影子，求小明的身体的影长可利用相似三角形的性质来解.
解：

总结升华：

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　．
举一反三：
【变式1】身高相同的甲、乙两人分别在距同一路灯2米、3米处，路灯亮时，甲的影子比乙的影子________（填“长”或“短” ）.
解析：

例4．如图所示，两棵树的影子是在灯光下形成的，还是在太阳光下形成的？说明理由，画出同一时刻小明的影子. （用线段表示）

思路点拨：太阳光线下的物高与影长在同一时刻成正比，并且光线平行；灯光光线是相交的，要画小明的影子应先找出光源，可由两棵树及其影子找到光源.
解：

总结升华：

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　举一反三：
【变式1】如图所示的甲、乙分别是两棵树及其影子的情形.

（1）哪个反映了阳光下的情形？哪个反映了路灯下的情形？
（2）你是用什么方法判别的？
（3）请分别画出图中表示小丽影长的线段.
思路点拨：阳光下的情形属于平行投影，路灯下的情形属于中心投影，弄清平行投影与中心投影的特点即可求解.
解：

总结升华：

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　．
【变式2】试判断图（1）和（2）中，哪一幅是太阳光下的竹竿及影子，哪一幅是灯光下的竹竿及影子，说说你的理由.

解：

类型三：几何体的三视图
例5．小明从正面观察如图所示的两个物体，看到的是（ ）

解析：

总结升华：

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　．
举一反三：
【变式1】下图是由七个小立方体堆成的几何体；则图中的（1）、（2）、（3）分别是三视图中的哪种视图.

思路点拨：正方体从一个面看到的是正方形，由多个正方体组成的几何体的视图则是由多个正方形组成的，具体组合方式因观察方位的不同而不同.
解：

总结升华：

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　．
例6．画出如图所示的正三棱柱的三种视图.

思路点拨：画正三棱柱的三种视图，关键是确定出从正面、侧面、上面三个方向上看到的平面图形.在画图时，各条线段相互之间的关系即线段的长短要分清楚.
解：

举一反三：
【变式1】画出图中物体的三种视图.

思路点拨：（1）是一个圆柱体，中间挖去了一个四棱柱，因此，从上向下看可以看到一个圆，并且圆中间有一个正方形，而不论从左面，还是从正面看，都看不到正方形.
（2）是一个圆台，从正面和左面看都是一个等腰梯形，从上往下看是一个大圆，大圆中有一个小圆.
解：

类型四：由几何体的三视图确定原物体形状
例7．图中是某几何体的三视图，请指出几何体的名称.

思路点拨：从俯视图可以看出几何体的上下两面是一个六边形，主视图和左视图反映的侧面都是长方形，因此，该几何体一定是棱柱.
解：

总结升华：

　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　．
举一反三
【变式1】如图所示的三视图所对应的直观图是（ ）

解析：

例8．图中是由一些相同的小正方体构成的几何体的三视图，这些相同的小正方体的个数是（ ）

A．4个 B．5个 C．6个 D．7个
解析：

总结升华：

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　．
举一反三
【变式1】用小立方块搭一个几何体，使得它的主视图和俯视图如图所示.

这样的几何体只有一种吗？它最少需要多少个小立方块？最多需要多少个小立方块？
思路点拨：当一几何体只有两种视图时，它的形状是不能确定的.
解：

总结升华：

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　．
三、总结与测评
要想学习成绩好，总结测评少不了！课后复习是学习不可或缺的环节，它可以帮助我们巩固学习效果，弥补知识缺漏，提高学习能力。
总结规律和方法——强化所学
认真回顾总结本部分内容的规律和方法，熟练掌握技能技巧。
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（一）画几何体的三视图
画三视图时应注意三视图的位置要准确，看得见部分的轮廓线通常画成　　　　　　　　，看不见部分的轮廓线通常画成　　　　　　　　，主、俯视图　　　　　　　　，主、左视图　　　　　　　　，俯、左视图　　　　　　　　.
（二）由三视图想象物体的形状
根据三视图想象物体的形状，一般由俯视图确定物体在平面上的形状，由左视图、主视图想象它空间的形状，从而确定物体的形状.

成果测评
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知识点：投影、视图
测评系统分数： 模拟考试系统分数：
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对本知识的学案导学的使用率：
□ 好（基本按照学案导学的资源、例题进行复习、预习和进行课堂笔记等，使用率达到80%以上）
□ 中（使用本学案导学提供的资源、例题和笔记，使用率在50%-80%左右）
□ 弱（仅作一般参考，使用率在50%以下）

学生：_______________ 家长：______________ 指导教师：_________________

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