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量子力学发展及成就

量子力学
量子力学（英语：Quantum Mechanics，或称量子论）是描述微观物质（原子，亚原子粒子）行为的物理学理论，量子力学是我们理解除万有引力之外的所有基本力（强相互作用，电磁相互作用，弱相互作用，引力相互作用）的基础。
量子力学是研究微观粒子的运动规律的物理学分支学科，它主要研究原子、分子、凝聚态物质，以及原子核和基本粒子的结构、性质的基础理论，它与相对论一起构成了现代物理学的理论基础。量子力学不仅是近代物理学的基础理论之一，而且在化学等有关学科和许多近代技术中也得到了广泛的应用。
量子力学是描写微观物质的一个物理学理论，与相对论一起被认为是现代物理学的两大基本支柱。量子力学是许多物理学分支的基础，包括电磁学，粒子物理，凝聚态物理，以及宇宙学的部分内容。量子力学也是化学键理论（因此也是整个化学的基础），结构生物学以及电子学，信息技术，纳米技术等学科的基础。一个世纪以来的实验和实际应用已经充分证明了量子力学的成功和实用价值。

1．关键现象
1.1光与物质的相互作用
1.1.1黑体辐射
主条目：黑体辐射
19世纪末，许多物理学家对黑体辐射非常感兴趣。黑体是一个理想化了的物体，它可以吸收所有照射到它上面的辐射，并将这些辐射转化为热辐射，这个热辐射的光谱特征仅与该黑体的温度有关,但从经典物理学出发，得出的有关二者间关系的公式（维恩公式和瑞利公式）与实验数据不符（被称作“ 紫外灾变”）。1900年10月，马克斯·普朗克通过插值维恩公式和瑞利公式，得出了一个于实验数据完全吻合的黑体辐射的普朗克公式。但是在诠释这个公式时，通过将物体中的原子看作微小的量子谐振子，他不得不假设这些原子谐振子的能量，不是连续的，而是离散的（经典物理学的观点恰好相反）：
En = nhν
这里 n 是一个整数，h 是一个自然常数。（后来证明正确的公式，应该以 n + 1 / 2 来代替 n ，参见零点能量）。1900年，普朗克在描述他的辐射能量子化的时候非常地小心，他仅假设被吸收和放射的辐射能是量子化的。今天这个新的自然常数被称为普朗克常数来纪念普朗克的贡献。其值为 Js 。
1.1.2光电效应
主条目：光电效应
1905年，阿尔伯特·爱因斯坦通过扩展普朗克的量子理论，提出不仅仅物质与电磁辐射之间的相互作用是量子化的，而且量子化是一个基本物理特性的理论。通过这个新理论，他得以解释光电效应。海因里希·鲁道夫·赫兹和菲利普·莱纳德等人的实验，发现通过光照，可以从金属中打出电子来。同时他们可以测量这些电子的动能。不论入射光的强度，只有当光的频率，超过一个临限值后，才会有电子被射出。此后被打出的电子的动能，随光的频率线性升高，而光的强度仅决定射出的电子的数量。爱因斯坦提出了光的量子（光子这个名称后来才出现）的理论，来解释这个现象。光的量子的能量为

在光电效应中这个能量被用来将金属中的电子射出（功函数）Ew和加速电子（动能）：

这里 m 是电子的质量，v 是其速度。假如光的频率太小的话，那么它无法使得电子越过逸出功，不论光强有多大。照射时间有多长，都不会发生光电效应,而入射光的频率高于极限频率时,即使光不够强,当它射到金属表面时也会观察到光电子发射.
1.2原子结构
20世纪初卢瑟福模型是当时被认为正确的原子模型。这个模型假设带负电荷的电子，像行星围绕太阳运转一样，围绕带正电荷的原子核运转。在这个过程中库仑力与离心力必须平衡。但是这个模型有两个问题无法解决。
首先，按照经典电磁学，这个模型不稳定。按照电磁学，电子不断地在它的运转过程中被加速，同时应该通过放射电磁波丧失其能量，这样它很快就会坠入原子核。其次原子的发射光谱，由一系列离散的发射线组成，比如氢原子的发射光谱由一个紫外线系列（莱曼系）、一个可见光系列（巴耳麦系）和其它的红外线系列组成。按照经典理论原子的发射谱应该是连续的。
1913年，尼尔斯·玻尔提出了以他命名的玻尔模型，这个模型为原子结构和光谱线，给出了一个理论原理。玻尔认为电子只能在一定能量En的轨道上运转。假如一个电子，从一个能量比较高的轨道（En），跃到一个能量比较低的轨道（Em）上时，它发射的光的频率为

通过吸收同样频率的光子，可以从低能的轨道，跃到高能的轨道上。
玻尔模型可以解释氢原子，改善的玻尔模型，还可以解释只有一个电子的离子，即 He+, Li2+, Be3+ 等。但无法准确地解释其它原子的物理现象。
1.3物质衍射

外村彰的衍射试验结果
1919年克林顿·戴维森等人，首次成功地使用电子进行了衍射试验，路易·德布罗意由此提出粒子拥有波性，其波长与其动量相关
。
简单起见这里不详细描写戴维森等人的试验，而是描写电子的双缝实验。通过这个试验，可以非常生动地体现出多种不同的量子力学现象。
右图显示了这个试验的结果：
· 打在屏幕上的电子是点状的，这个现象与一般感受到的点状的粒子相同。
· 电子打在屏幕上的位置，有一定的分布概率，随时间可以看出双缝衍射所特有的条纹图像。假如一个光缝被关闭的话，所形成的图像是单缝特有的波的分布概率。
在图中的试验里，电子源的强度非常低（约每秒10颗电子），因此电子之间的衍射可以被排除。显然电子同时通过了两个缝，与自己衍射导致了这个结果。对于经典物理学来说，这个解释非常奇怪。从量子力学的角度来看，电子的分布概率和衍射结果均可以通过 这两个通过两个栅的、叠加在一起的状态，简易地演算出来。这个试验非常明显地显示出了波粒二象性。
这个试验证实了薛定谔开发他的量子力学时所作的假设，即每个粒子也同时可以被一个波函数来描写，而这个波函数是多个不同状态的叠加。

2.经典量子论
量子力学始于对电磁波的谱系分析。我们最熟悉的电磁波就是可见光了。电磁波的频率（或波长）决定了它的能量，紫外线，X射线和伽玛射线具有比光更大的能量，而红外线，微波,无线电波的能量比光小。电磁波在真空中以光速传播。从此以后，粒子通常是指基本粒子或亚原子粒子。
2.1普朗克常数
经典物理有一个关于黑体辐射问题的推论：当频率增大时，黑体辐射将会释放出无限大的能量（瑞利-金斯定律）。这个结论当然是荒谬的，可观测到的实验现象也是让人无法理解：黑体的辐射光谱的能量密度随着频率从零开始递增达到一个峰值（峰值频率和辐射源的温度有关）后再逐渐衰减至零。1900年，马克斯·普朗克给出了一个能够解释黑体光谱实验现象的经验公式（利用数学插值法），但他不能使之和经典物理相协调。 他得出的结论是，和从前大家所普遍相信的不一样，经典物理并不适用于微观世界。
普朗克的公式适用于任意的波长和频率的情况下，同时限制了发散的能量传输。“在经典物理里，...振动的能量仅仅取决于其振幅，而振幅的大小是没有任何限制的。”他的理论导出了一个重要推论，辐射的能量和辐射的频率成正比关系，频率越高，能量越大。为了解释这个推论，他做了这样的假设：宏观的辐射源（如黑体）是由数量巨大的基本谐振子构成的，振子的频率在零到无穷大之间分布（不久以后证实了这种基本谐振子就是原子或分子），于是普朗克做了更进一步的假设：任一振子的能量“E”和它的频率“f”成正比，而且是某种整倍数关系。如下所示：

在此式里，n =1, 2, 3,..。“h”由普朗克首先引入的是基本物理学常数，为了纪念他的功绩，被命名为“普朗克常数”。 h 是一个非常小的量, 大约是 6.6260693 × 10-34 焦耳-秒。
如果我们知道“h”和光子的频率，就能用这个方程计算出光子的能量。 给出一个例子：如果一束光的频率是540× 1012 赫兹。那么这束光的每一个光子的能量就是“h”× （540×1012 hertz）。因此光子的能量就是3.58 × 10-19 焦, 就是大约2.23 电子伏特。
如果用这种方式来描述波所具有的能量，波所携带的能量就成了一份一份的。普朗克将这种“份”命名为“量子” ，就这样，电磁波被重塑成了类似于粒子的物质。电磁波的能量被量子化后，量子力学诞生了。能量的大小和电磁波的频率息息相关。对于可见光来说，能量和颜色相关，因为颜色是由其频率决定的。但应该认识到，我们虽然用了诸如“份”，“波”，“粒子”等来自于宏观世界的概念来描述量子世界，但实际情况比这复杂的多，我们这样做是为了方便理解。
在早期关于光的研究中，存在对光的两种相互竞争的描述方式：作为波在真空中传播，或是作为微小粒子沿直线传播。普朗克表述了光的能量是量子化的，凸显出了它的粒子性。这种表述让我们明白了光是如何以量子化形式传播能量的。但是，光的波动性又是我们理解衍射和干涉之类的现象所必须的。
1905年，爱因斯坦引入普朗克常量来解释光电效应而获得成功，他假设一束光是由大量的光量子（也就是后来的光子）组成的，在这个前提下，一个光子具有的能量是不变的且和其频率成正比关系（不同的光子具有不同的能量）。尽管这个建立在普朗克量子化假设上的理论听起来类似于牛顿的微粒学说，但爱因斯坦的光子同时还具有频率这种性质，其能量还和频率成正比，这是和过去不一样的，但无论如何，光的“粒子说”以一种折中的方式回来了。
粒子和波的概念都源自于我们日常生活中的经验。我们不看“看见”单独的光子（事实上我们的观测就是利用光子来进行的），我们只能间接的观察它们的一些性质。比如我们从表面覆盖着油膜的水坑里看见光反射出各种颜色。把光看做某种波，我们能解释这种现象。而对于其它一些现象，比如照相机中的曝光表的工作原理，我们又习惯把光看做某种和感光屏相撞的粒子。无论是哪种方式，我们都是在用日常生活中由经验得到的一些概念来描述那一个我们永远无法直接看到或者感知到的世界。
当然，无论是波动说或者粒子说都不能让人完全满意。总的来说，任何一种模型都只是对实际情形的近似描述。每一种模型都有它适用的范围，超出这个范围后，该模型也许就不能作出精确的描述了。牛顿力学对于我们的宏观世界来说仍是足够实用的。我们应该认识到波和粒子的概念都是源自于我们的宏观世界的，我们用它们来解释微观世界在一定程度上并不合理。有些物理学家，比如班尼旭·霍夫曼使用了“波粒二象性”来描述这种微观世界的“实在”，而在接下来的讨论中，使用“波”还是“粒子”将取决于我们从哪个方向去研究量子力学的现象。
2.2约化普朗克常数（狄拉克常数）

普朗克常数最初只是连接光的能量和频率的比例因子。波尔在他的理论中推广了这个概念。波尔用原子的行星模型来描述电子的运动，但起初他并不理解为何2π和普朗克常数一起出现在了他推导出的数学表述中。
不久之后，德布罗意假设电子也如同光子那样具有频率，而其此频率必须满足电子在特定轨道稳定存在的驻波条件。这就是说，电子波圆周运动的轨迹必须光滑的衔接起来，波峰和波谷连续分布。中间不能有间断，周长的每一段都是振动的一部分，而且波形不能重叠。很自然的我们可以得出轨道的周长“C”是波长“λ”的正整数倍。我们在知道轨道半径“r”之后就能够计算出周长，在利用周长计算出电子的波长，数学表述如下：

解出λ得:

这个方程用半径“r”表示出了决定频率和波长的轨道周长，就这样，因为半径和周长之间的固有关系，2π再一次出现在了量子力学中。
1925年，当维尔纳·海森堡在完成他的完整量子理论表述过程中（原文可能有问题，写的是波函数，怀疑写错了人），傅里叶级数是计算中经常出现的数学形式，而在傅里叶级数中2π这个因子可以说是无处不在。引入约化普朗克常数（h/2π）后，可以约去表达式中大多数的2π，从而使方程更加简洁。数年之后，约化普朗克常数出现在了狄拉克方程中，它也因此得名“狄拉克常数”。现在，虽然我们已经谈了这么多关于这个常数的发展和历史，却还没有涉及到更深层的意义---为什么在理论运用中它比普朗克常数更简便或是更普适？
如上所述，任何电磁波的能量等于它们的频率乘以普朗克常数，而波长等于频率乘以光速。波是由波峰和波谷组成的。经过一个完整的周期，波上的各点会回到振动的初始位置。例如，某一点开始的时候是波峰，经过一个周期后它将再次回到波峰。一个周期恰好和一个圆周相对应，都是360度，也就是2π弧度。1度是指弧长是圆周长的1/360的圆弧所对应的角度的大小。随着圆的转动，圆周上的一点会画出正弦曲线的轨迹。
现在取一段圆弧，使其长度等于其半径。用直线把圆心和圆弧的两端分别连起来。这两条半径的夹角就是1弧度。圆周和波的周期都是2π弧度。既然一个周期等于2π弧度，“h”除以2π后，这两个2π就相互抵消了，只留下一个以弧度为单位的变量。因此如果把h/2π表示成一个常数，乘以波的频率（周期除以2π）时，一弧度就对应着一焦耳的能量。约化普朗克常数，读作“h一横(h-bar)”，表示为：
.
约化普朗克函数使计算电磁波的能量时使用的单位由周期变成了弧度。h和ħ的作用只是将频率的单位（量纲）转换成能量的单位（量纲）。
之所以在量子力学的数学表述中更多出现的是约化普朗克常数，主要有以下原因：角动量和角频率都是以弧度为单位的，使用ħ可以免去角度和弧度之间的相互转换。在量子力学的方程中使用ħ可以化简很多分式。而在其他一些情况下，比如波尔的原子模型中，表述轨道角动量时自然而然的就出现了ħ（h/2π）。
h 的数值取决于波长以及能量的单位的选取。如果能量使用电子伏特（eV，粒子物理学的常用单位）而波长使用埃（ångström，10-10m）作为单位，那么一个光子的能量大约是eV = 12400/λångström。这种表示方式容易记忆且避免了使用国际单位制中的小值。
2.3玻尔的原子模型

玻尔的原子模型，氢原子的电子正在跃迁至n=1的基态
1887年，J·J·汤姆生领导的一个研究小组发现了一种带着一个单位负电荷且质量极小的基本粒子并把它命名为电子。通过金箔实验，物理学家认识到物质的内部几乎是真空的，原子核只占了原子很小的一部分。这个事实清楚之后，就可以很自然的假设负电子在轨道上环绕着原子核运动，就像太阳系的行星那样。但这种简单的类比的后果就是：根据经典电动力学，电子在运动时会不断向外辐射电磁波，失去能量的电子最终将会坠入原子核中。以此推论，电子大约只能存在百分之一微秒。因此，20世纪初困扰物理学家们最大的问题就是：电子是如何保持稳定轨道的？
1913年，为了解决这个问题，尼尔斯·玻尔假设了电子的轨道是量子化的（不连续）。这就是著名的玻尔原子模型。玻尔的基本假设是：电子只能占据原子核外的特定轨道[28]这些轨道能够在对单一元素的原子的光谱分析后得出。
2.4波粒二象性
玻尔指出了粒子说和波动说都不能独立的说明经实验观测到得光的特性。所有形式的电磁辐射都在一些实验中表现出波动性，却又在别的一些实验中表现出粒子性。以此为根据，玻尔阐明了对应原理，此原理针对一些相对应的概念，如波动性和粒子性，位置和动量等。
1924年，德布罗意从玻尔的发现中发展出了波粒二象性理论用以描述亚原子粒子同时具有的波和粒子性质的特性，并给出了数学表述。德布罗意推广了玻尔模型，一个绕着原子核旋转的电子能够被看作具有一些类似于波的性质。特别的是，只有环绕原子核形成驻波时，电子才能被观测到。“驻波”的波形无法前进，因此无法传播能量。它的一个典型例子是两端固定的一根弦，拨动两端固定张紧的弦使其振动，一开始需使弦的两端的振幅为零，使波经两固定端反射可干涉产生驻波。同时，弦的两固定端必为节点（也就是振幅为零的点）。当弦上产生驻波时，弦长L为半波长的正整数倍。而回到原子模型上，如果要使波动运动轨迹光滑衔接形成一个简单闭合曲线，波必须由波峰和波谷连续构成。而电子的轨道是圆周轨道，每一个电子就必须以它自己的驻波形式来占据特定轨道。

3.现代量子力学的发展
3.1完整的量子论
1932年诺贝尔物理学奖获得者，维尔纳·海森堡在1925年建立起了完整的量子力学理论。
3.2薛定谔波动方程
主条目：薛定谔方程
1925年，基于德布罗意的物质波模型，埃尔温·薛定谔假设电子就是那样环绕原子核的波，然后对电子的行为进行了数学分析。他并没有把电子比作绕行星转动的卫星，而是直接把它们看作在原子核周围的某种波，并且指出描述各个电子的波函数都是互不相同的。而这种波函数所遵守的方程被命名为薛定谔方程，以纪念他为量子力学做出的贡献。薛定谔方程分别从三个性质出发描述了波函数（后来沃尔夫冈·泡利又加入了第四个性质：自旋）：
1. 轨道的名称表明了粒子波的能量高低（离原子核越近能量越低）。
2. 轨道的形状，球形或者其他。
3. 轨道的倾角，决定了电子对z轴的磁矩。
这三种特性被归纳成描述电子量子态的波函数 。量子态代表着电子的这些特性，它适时的描述了电子的状态。电子的量子态由它的波函数给出数学描述，我们用希腊字母ψ 来表示波函数(ψ， 读作"[sai]").
这三个被波函数描述的特性分别被称之为电子的量子数。第一个描述轨道能量的量子数叫作主量子数，这个量子数对应着波尔原子模型里决定原子能级的n。
第二个量子数，角量子数，用用l（小写L）来表示。它描述了轨道的形状，轨道的角动量 决定了轨道的形状。角动量的变化率等于系统所受合外力的力矩。换句话说，角动量反映了旋转物体在外力作用下其速度改变的难易程度。角量子数 "l"代表着电子对原子核的角动量。而每一种轨道形状有不同的符号表示。第一种形状用字母s表示 ("因为球形‘spherical’首字母是S"). 第二种形状用字母p表示哑铃形。另外还有一些复杂的形状（请访问 Atomic Orbitals）分别用字母 d, f以及g来表示。 碳原子的条目详细的描绘了碳原子的轨道。
薛定谔方程的第三个量子数描述了电子的磁矩，此量子数用m或带下标l的m来表示，这是因为磁矩跟第二个量子数l有关。
1926年5月，薛定谔证明了海森堡的矩阵力学和他的波动力学对电子性质和行为的预测结果是相同的；而它们在数学上也是等价的。但他们仍然在对各自理论的物理诠释上无法取得一致的意见。海森堡认为间断的量子跃迁的存在是很自然的，但薛定谔仍寄希望于得到一个连续性的，传统的，如同波动说那样的理论来让（用威廉·韦恩的话来说)"海森堡的愚蠢的量子跃迁"从物理学里彻底消失。[30]
3.3不确定性原理
主条目：不确定性原理
1927年，海森堡利用他的矩阵力学和一些理想实验推导出了一个微观尺度下物质和能量的重要结论。他发现在测量粒子动量和位置的时候会导致h/4π的误差（两者误差相乘）。测量时位置的误差越小，动量的误差就会变得相当大。而h/4π就是这个误差的下限（也就是说两者误差的乘积大于等于h/4π）。这一结论最终被称作不确定性原理。
量子力学严格限制了测量处于运动状态的亚原子粒子时的精确度。观测者可以精确测量粒子的位置或是动量，但无法同时精确测量两者。这个限制意味着对其中一种属性的测量达到极高的精确度时，对另一种属性的测量的误差将会趋于无穷大。
海森堡在早期一个关于不确定原理的演讲里这样提到了玻尔模型：
“你大可以认为，电子的轨道并不是真正的轨道。实际上，在每一时刻电子总有一个属性是我们无法确定的，要么是动量，要么是它的位置，这是不确定关系得出的结论。只有接受了这种理念，我们才可能描述电子的轨道是什么，而它的确是这样的。”
不确定性原理给出的一个重要结论就是在某一时刻，我们不能确定电子在轨道上的确切位置，我们只能给出电子在某一位置出现的可能性。计算出电子可能出现的位置，给出可能出现的相关轨道，我们就可以给出一种和传统图景不同的原子描述——电子在原子核周围形成了电子云,它分布在原子核周围，在靠近原子核的一些区域，电子云拥有最大的密集度，这代表电子在这些区域出现的概率最大，在远离电子的区域，电子云变得稀疏了，电子在这些区域出现的概率较小。数学上我们把这种点状云称为概率分布，这是它的一种较形象的表述方式。波尔的原子模型中每个轨道对应的量子数n就成为了n维球面，被描绘成环绕原子核的概率电子云。
如果一个电子的位置无法被测量出，我们就不能描述它处于哪一个特殊的位置了。我们能做的就是计算出电子在轨道上某些位置出现的机率。 换句话说，量子力学只能给出发生某种可能的结果的机率。海森堡从不确定原理出发，继续思考观测电子的问题，得出的结论居然是微观粒子只在我们观察它的时候才存在！注意他针对的是粒子本身，而不是它们的轨道。尽管他所阐述的理论看上去是荒诞且强烈的违背者我们的直觉的，量子力学仍然只能从概率分布出发来计算给定轨道下电子的位置。
尽管海森堡的矩阵力学允许电子出现在无限多的位置，这并不意味着电子可以出现在空间中的每一个地方。有一些条件限制了电子，使其必须占据某些特定的概率分布描述的位置。波尔模型是通过电子的能级来描述电子行为的，矩阵力学和它是相容的。因此，一个电子所出现的n维球面对应着离原子核某一特定距离，而正是这个距离决定了电子的能量。正是这个条件制约了电子的位置。电子可能存在的位置的数目又被称为相空间中的相格数[32]根据不确定原理，经典相空间不能被无限细分，因此在一个轨道上电子能占据的位置数就是有限的了。电子在原子里的位置取决于它的轨道，而一个轨道终止于原子核，并且离下一个轨道开始的位置很近。
自牛顿以来的经典物理学告诉我们，如果我们知道某一时刻行星和恒星的位置和运动状态，我们就能够预测它们在未来任何时刻运动状态。不确定原理则告诉我们这对于亚原子世界是不适用的。我们不能同时精确测量出微观粒子位置和动量，对于粒子未来的运动状态，我们只能给出一种概率分布，该分布只能告诉我们在未来它处在这种状态的可能性。
源自波粒二象性的不确定性原理的影响只在亚原子尺度时显现出来。尽管这些现象违背了我们的直觉，以不确定原理著称的量子力学仍然不断引领着科学技术的进步，如果没有它，我们也就不会拥有电子计算机，荧光灯以及医学影像设备。
3.4波函数坍缩
对于单个电子而言，薛定谔的波动方程及其独特的波函数和海森堡的量子化的点粒子的概率分布一样在空间中散开，因为波本身就是分布很广的扰动而不是点粒子。因此，薛定谔的波动方程能够得到和不确定性原理相同的结果，因为位置的不确定性在波的扰动的定义中就表现出来了。只有海森堡的矩阵力学才需要定义不确定性，因为它是从粒子的观点出发的。薛定谔的波函数显示电子总是处于概率云中，在它像波一样展开的概率分布中。
马克斯·玻恩在1928年发现，薛定谔的波函数的平方（为了得到振幅的平方）是电子位置的概率分布。[33]对于电子的位置可以直接测量而不会得到一个概率分布，是因为电子暂时失去了波的性质。没有了波的性质，薛定谔的关于电子的波的特性的预言也都失效了。对粒子的位置的测量使粒子失去了波的性质，以至于薛定谔的波动方程失效了。电子一经测量再也不能被波函数所描述，它的波长变得很短并且它与测量设备的粒子相互纠缠，这种现象就是所谓的坍缩。
3.5本征态和本征值
3.6泡利不相容原理
泡利不相容原理表明了一个原子里的每一个费米子必然具有不相同的量子状态。它的一个非常重要的推论就是对任何原子，两个电子都不能具有同样的量子态。
沃尔夫冈·泡利给出了泡利不相容原理的简单表述:
"一个原子中没有量子数完全相同的两个电子。"
沃尔夫冈·泡利 的不相容原理是从他称做“量子自由度的双重值”的理论发展而来的。这个理论是为了解释氢原子光谱中成对出现的两根非常接近的谱线。这个现象意味着原子的磁矩比预先设想的要大。
1925年初，乔治·乌伦贝克和塞缪尔·高德斯密特提出电子可能像地球那样绕自身的轴自转的假设，他们把这种特性称之为自旋。自旋能够解释多出来的那部分磁矩，并且让两个电子在不违反不相容原理的条件下占据同一个轨道成为了可能——只需要它们自旋方向相反。这时就需要一个新的量子数来描述原子自旋的动量。
就这样，我们已经确定电子具有四个量子数:
· n, 主量子数；
· l, 角量子数；
· ml, 磁量子数；
· ms, 自旋量子数。
泡利举了一个例子:
“在氦原子中有两个电子占据1 s轨道，根据不相容原理，这两个电子必须有不同的量子数，而n, l, and ml这几个量子数是相同的，而且他们的自旋量子数s的值都等于1/2，因此它们的ms一个是+1/2,而另一个是-1/2.”
3.7狄拉克波动方程
主条目：狄拉克方程
1928年，保罗·狄拉克推广了用于描述自旋电子的泡利方程而使之与狭义相对论相容。于是这个理论便能够处理速度接近光速的微观粒子的运动问题，比如在轨道上运动的电子。使用最简单的电磁相互作用理论，狄拉克算出了由电子自旋而产生的磁矩，他发现实验观测到的值和经典物理所想象的那种自旋所得出的值大了很多。他完全的解决了氢原子光谱的问题，并从他的理论中推导出了索末菲关于氢原子光谱精细结构的公式。
狄拉克方程有时会解出电子具有负能阶，于是他提出了一个新颖的假设：在动力学空间中存在着正电子。这最终导致了多粒子量子场论的诞生。1930年，狄拉克编写了关于量子力学的第一本现代意义上的教科书，书中整合了海森堡的矩阵力学，薛定谔的波动力学和他自己的量子变换理论,同时也使之与狭义相对论相适应。量子力学原理（The Principles of Quantum Mechanics）是公认的经典著作，直到今天也具有相当的参考价值。
直到现在，所有的量子理论主要都是集中在对氢原子光谱的研究上。根据旧量子论，每一种元素的原子的光谱都是独特的。由于电子和原子核不能被直接观测到，科学家们不可能直接去研究它们的行为。即使在今天，我们使用扫描隧道显微镜，也只能得到模糊不清的原子图像。迄今为止，对量子力学的实验验证还只是在对氦和氢原子的辐射光谱研究上，它的数学表述被用来解释和说明辐射光谱。因此，量子力学有时也被认为是一种数理物理学。
3.8量子缠结
主条目：量子缠结

两个量子的叠加与可能的解。
泡利不相容原理指出在同一系统下的两个电子不可能处于同一状态。大自然抛弃了这种可能性，但却允许两个电子可以在上面“叠”有两种状态。回想波函数，穿过双缝并在一瞬间以叠加的其中一种状态呈现在显示屏幕上。没有什么是确定的，除非叠加的波“坍缩”，这时候就会有一个电子以符合概率的方式立即显示在某个地方，这个概率即波形叠加后的振幅的平方。上述情况已十分抽象难解了。关于光子的缠结，在此有一个较为具体的思考方式，有两个光子在同一事件中叠加了两个相对立的状态，如下︰
可以试着在脑海中想像，把叠加的其中一个状态标记为蓝色，再把另一个状态标记为红色，在稍后会显现成紫色的状态。两个光子是在同一个原子事件中产生出来的。这两个光子可能是水晶吸收特定频率的光子并发射出频率为原始值之半的两个光子所激发而成的。因此这两个光子显现出“紫色”。如果有位实验者现在要作测定光子是红或蓝的实验，这个实验会把光子从原本具有“红”、“蓝”两个状态改变成只有其中一个状态。这个爱因斯坦曾经如此想像过的问题是，如果其中一个光子不断在实验室的镜子之间持续弹跳，而另一个光子已经移动到最近的星星的一半路程，当成对的其中一个光子显现出自身是红或是蓝的时候，就意味着那颗远在千里之遥的光子也必须失去“紫色”的状态。故每当检查光子的时候，光子就必定显现成相对于成对光子的另一个状态。
假设有某些物种带有雄性或雌性这两种性别特征的遗传潜力。它们会随着环境的变化转变成雄性或雌性。它们也许会一直保持着不确定的状态直到天气转变成严寒或酷暑。然后它们会显现出一种性别特征，以后天改变的方式、雄激素或雌激素等高阶系统锁定到那个性别状态。自然界中确实有符合上述情节的情况，不过现在要再想像如果有一对双胞胎出生，并且有一股自然之力禁止这对双胞胎显现出同一性别。之后如果双胞胎的其中一个到了南极，并转变成雌性，此时另一个双胞胎将无视当地气候直接转变成雄性。这样的世界相当难以解释。在南极洲的一只动物会影响到它那远在红木市的双胞胎兄弟这种事要怎么样才会发生？美国加州？心电感应？什么？要怎么样才能瞬间作出变化？即使是来自南极洲的无线电讯息都要花费一段时间。
为了证明量子力学是个不完全的理论，爱因斯坦从理论的预测开始着手，为了展现量子力学是一个尚不完备的理论，爱因斯坦从该理论对于那些过去已经相互作用的两个或更多粒子在之后的测量中可以显示出很强的联系这一预言入手。他试图用经典的方法来解释这个看似的相互作用，即通过他们平常的过去，而不是幽灵般的超距作用。这个争论最终在一篇著名的论文中得到了解决，爱因斯坦，波多尔斯基和罗森（1935，Einstein-Podolsky-Rosen，简写为EPR）在这篇文章中提出了现在所谓的EPR悖论。在假设定域实在性的基础上，EPR试图从量子论的角度出发，解释一个粒子同时具有位置和动量两种属性，而对应的哥本哈根解释则认为只有其中之一实际存在且仅仅在被测量的时刻存在。EPR总结说量子论是不完整的，因为它没有考虑到自然世界中明显存在的物理属性（爱因斯坦，波多尔斯基和罗森，1935，已经是在物理杂志上被引用最多的爱因斯坦的文章）。同一年，埃尔温·薛定谔使用“缠结”这个词并且声称：“相对于把它称为量子动力学的特征之一，我更想称它为量子动力学的专有特征”。纠缠是否是一个真实的条件这个问题一直到现在仍然存在争议。贝尔不等式是对爱因斯坦声明最有力的挑战。

3.9量子退相干
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作为一个基本理论，量子力学原则上，应该适用于任何大小的物理系统，也就是说不仅限于微观系统，那么，它应该提供一个过渡到宏观“经典”物理的方法。量子现象的存在提出了一个问题，即怎样从量子力学的观点，解释宏观系统的经典现象。尤其无法直接看出的是，量子力学中的叠加状态，如何应用到宏观世界上来。1954年，爱因斯坦在给马克斯·波恩的信中，就提出了怎样从量子力学的角度，来解释宏观物体的定位的问题，他指出仅仅量子力学现象太“小”无法解释这个问题。
这个问题的另一个例子是由薛定谔提出的薛定谔的猫的思想实验。
直到1970年左右，人们才开始真正领会到，上述的思想实验，实际上并不实际，因为它们忽略了不可避免的与周围环境的相互作用。事实证明，叠加状态非常容易受周围环境的影响。比如说，在双缝实验中，电子或光子与空气分子的碰撞或者发射辐射，就可以影响到对形成衍射非常关键的各个状态 之间的相位的关系。在量子力学中这个现象，被称为量子退相干。它是由系统状态与周围环境影响的相互作用导致的。这个相互作用可以表达为每个系统状态 与环境状态 的纠缠。其结果是只有在考虑整个系统时（即实验系统+环境系统）叠加才有效，而假如孤立地只考虑实验系统的系统状态 的话，那么就只剩下这个系统的“经典”分布了。
量子退相干时间（秒）

自由电子
10微米的尘埃
保龄球
300K，标准气压
10-12
10-18
10-26
300K，高真空
10
10-4
10-12
阳光（地球表面）
109
10-10
10-18
热辐射（300K）
107
10-12
10-20
宇宙微波辐射（2.73K）
109
10-7
10-18
右表列出了不同物体和环境里，量子退相干的速度。显然即使在非常弱的环境影响下，一个宏观物体也已经在极短的时间里退相干了。
在上面的这个叙述中，有一个内在的假设，即退相干后的系统，自然地是我们所熟悉的经典系统。但是，这个假设并不是那么理所当然。比如说，退相干后的宏观系统，一般是我们所熟悉的位置状态明确的状态，而微观系统则往往退相干为位置状态不明确的状态（比如能量特征状态），这是为什么呢？这个问题的答案也来自周围环境对系统的影响。事实上，只有不被退相干过程直接摧毁的状态，才提供一个坚固的、退相干后的可观察量。
量子退相干是今天量子力学解释宏观量子系统的经典性质的主要方式。
对于量子计算机来说，量子退相干也有实际意义。在一台量子计算机中，需要多个量子状态尽可能地长时间保持叠加。退相干时间短是一个非常大的技术问题。

4.应用
在许多现代技术装备中，量子物理学的效应起了重要的作用。从激光、电子显微镜、原子钟到核磁共振的医学图像显示装置，都关键地依靠了量子力学的原理和效应。对半导体的研究导致了二极管和三极管的发明，最后为现代的电子工业铺平了道路。在核武器的发明过程中，量子力学的概念也起了一个关键的作用。
在上述这些发明创造中，量子力学的概念和数学描述，往往很少直接起了一个作用，而是固体物理学、化学、材料科学或者核物理学的概念和规则，起了主要作用，但是，在所有这些学科中，量子力学均是其基础，这些学科的基本理论，全部是建立在量子力学之上的。
以下仅能列举出一些最显著的量子力学的应用，而且，这些列出的例子，肯定也非常不完全。实际上，在现代的技术中，量子力学无处不在。

4.1固体物理学
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为什么金刚石硬、脆和透明，而同样由碳组成的石墨却软而不透明？为什么金属导热、导电，有金属光泽？发光二极管、二极管和三极管的工作原理是什么？铁为什么有铁磁性？超导的原理是什么？
以上这些例子，可以使人想象出固体物理有多么多样性。事实上，凝聚态物理学是物理学中最大的分支，而所有凝聚态物理学中的现象，从微观角度上，都只有通过量子力学，才能正确地被解释。使用经典物理，顶多只能从表面上和现象上，提出一部分的解释。
以下列出了一些量子效应特别强的现象：
· 晶格现象：音子、热传导
· 静电现象：压电效应
· 电导：绝缘体、导体、半导体、电导、能带结构、近藤效应、量子霍尔效应、超导现象
· 磁性：铁磁性
· 低温态：玻色-爱因斯坦凝聚、超流体、费米子凝聚态
· 维效应：量子线、量子点
5.诺贝尔奖看量子力学

量子力学理论体系的发展，从20世纪初开始，经历了半个多世纪，积累了十二
项诺贝尔物理学奖的成果才形成的。

德国物理学家普朗克因发现能量子而对物理学的发展做出杰出贡献，荣获1918
年度诺贝尔物理学奖。他1895年开始研究热辐射问题，1900年普朗克在德国物
理学会年会上宣读了《关于正常光谱的能量分布定律》的论文。

德国物理学家爱因斯坦，因发现了光电效应而获1921年度诺贝尔物理学奖，1905年爱因斯坦发表了论文《关于光的产生和转化的一个启发性观点》

丹麦物理学家玻尔因研究原子结构及原子辐射获1922年度诺贝尔物理学奖。1913年玻尔以《论原子和分子结构》为题，连续发表了3篇论文

德国物理学家弗兰克和赫兹因发现电子和原子碰撞规律，共同荣获1925年诺贝尔物理学奖，1914年(玻尔理论发表的第二年)，弗兰克和赫兹在实验中用电子与原子相互碰撞的方法，首次证明了原子中确有能级分布，即原子内部确实有不连续的定态能级分布状态存在，进而还证明了这些能级和辐射之间的关系

1923年美国物理学家康普顿对电子和光子散射过程实验研究成果(称为康普顿效应)，使爱因斯坦于1916年新提出的理论.

康普顿和英国威耳逊因发现了用蒸汽凝聚观察带电粒子轨迹的方法，2人共同获1927年度诺贝尔物理学奖。

法国物理学家德布罗意发现电子、原子等实物粒子也具有波粒二象性，获1929年度诺贝尔物理学奖。德布罗意在1923年接连发表数篇论文，阐述了它关于波动和粒子统一的观点，1924年11月他把以前发表的论文要点汇集成一篇题为《量子理论的研究》论文，交给巴黎大学理工学院，申请博士学位.

美国物理学家戴维孙和英国物理学家汤姆逊二人因在实验上发现晶体对电子的衍射而共获1937年度诺贝尔物理学奖，

以上各成就对微观物质的波粒二象性的量子力学理论建立了系统的成果，于是量子力学理论体系的完整的数学描述的研究也随之发展起来。．

德国物理学家海森伯，因创立量子力学并发现氢的同素异形体获1932年度诺贝尔物理学奖。。海森伯就这样利用矩阵代数，建立起了量子力学的理论体系——矩阵力学。1925年他将其研究结果写成《论运动学和力学关系的量子解释》的论文发表，标志着量子力学的正式创立。

奥地利物理学家薜定谔和英国物理学家狄喇克因创立原子理论的新形式，两人共同分享了1933年度诺贝尔物理学奖。