概率论与数理统计样卷答案.pdf

第 1 页 参参 考考 答答 案案 概率论与数理统计概率论与数理统计1 注：注：0.050.0250.050.02522220.9750.950.050.025220.050.05(1)0.84,(1.645)0.95,(1.96)0.975,(2.31)0.99(8)1.86,(8)2.31,(16)1.75,(16)2.12,(8)2.18,(8)2.73,(8)15.51,(8)17.53,(4)9.49,(3)tttt=，0.0250.0257.82,(9,7)4.82,(7,9)4.2.FF=一一 填空题（每小格填空题（每小格 3 分，共分，共 39 分。每个分布要求写出参数）：分。每个分布要求写出参数）：1.设事件 A,B,C 相互独立，已知()0.5,()0.6,(|)0.4,P AP ABP C A=则 P(B)=0.2 ，()P ABC=0.84 .2.在区间(0,)(参数0)内独立重复观测 5 次，记为15,(0,)iXXXUL,(1)设2=，则最大观测值小于 1.8 且最小观测值大于 0.4 的概率为 0.16807 ;(2)设 0 未知，5 次观测值为 1.18,0.48,1.59,0.13,1.76，则的矩估计值是 2.056 .3.某超市从开门到第 1 位顾客进入所需时间 X(分钟)的概率密度函数/51,0()50,.xexf x=其他 则超市开门后的 10 分钟内至少有 1 人进入的概率为 21e ;从开门到第 1 位顾客进入平均花 5 分钟.4.设某地区男性成年人的身高 X（厘米）与体重 Y（公斤）服从二元正态分布，22(169.5,10.5),(57.3,16.2),0.6XYXNYN=,从该地区独立随机选 n 名男子，测得身高体重为111111(,)(,),nnnniiiiX YX YXX YYnn=L记。则X服从210.5(169.5,)Nn 分布，(,)Cov X Y=102.06/n ,当11(169.5)(57.3)10.5 16.2nPiiiXYnn=时，0.6 .5.设总体22(,),XN 均未知,19,XXL为来自 X 的简单随机样本，XS和分别是样本均值和样本标准差，(1)若根据样本观测值，7.076,1.2,xs=则2的置信度为0.95 的双侧置信区间为 (0.657 ,5.284)，检验假设01:8,:8HH=的 P_值为 0.05 ；(2)设 X10是从总体中独立抽取的另一次观测，则103(-)10XXS服从 第 2 页 t(8)分布.6.在研究我国人均消费水平问题上，考虑人均国民收入 x（千元）对人均消费金额 Y（千 元）的影响。设22(,),YN abxa b+均未知，111919(,)(,)x yxyL是 1980-1998 年的数据，已知191922112.32,1.09,()73.980,()15.343,iiiixyxxyy=191()()33.291,iiixxyy=采用最小二乘估计，则回归方程 y=0.046+0.45x .二（11 分）有 A,B 两盒，A 盒中有 1 个红球 1 个白球，B 盒中有 4 件正品 2 件次品。先从A 盒中采用放回抽样取 2 球，X 表示从 A 盒中取到的红球数，若 X=1 时，则从 B 盒中采用不放回抽样取 3 件产品；若1X 时，从 B 盒中采用不放回抽样取 2 件产品。Y 表示从 B 盒中取到的次品数。(1)已知 X=1,求 Y 的条件分布律；(2)求 Y 的分布律.（1）033246(0|1)/0.2P YXC CC=;123246(1|1)/0.6P YXC CC=;213246(2|1)/0.2P YXC CC=（2）11113(0)(1)(0|1)(1)(0|1)252510P YP XP YXP XP YX=+=+=131817(1)(1)(1|1)(1)(1|1)252 1530P YP XP YXP XP YX=+=+=11114(2)(1)(2|1)(1)(2|1)2521530P YP XP YXP XP YX=+=+=三.（12 分）设总体 X 服从参数为的泊松分布，1200,XXL为来自 X 的简单随机样本，X是样本均值;（1）若2=，求1(2)P X 的值，以及(2.1)P X 的近似值。（2）若0未知，判断统计量20011(1)200iiiTXX=是否为2的无偏估计量，说明理由.（1）21111(2)1(2)1(0)(1)1 30.594P XP XP XP Xe=近似（2）2002211()(1)(1)()()()()()200iiiE TEX XE X XE XE XD XE XE X=+22=+=所以 T 是2的无偏估计量。第 3 页 四(12 分)设随机变量(X,Y)的密度函数6(),01(,)0,xyyxf x y0.5);（2）X 的边际密度函数()Xfx (3)设 Z=X+Y,求 Z 的密度函数()Zfz（1）()1120.50.50.50.50.5(,)6()(333/4)1/8xyP Yf x y dxdydxxy dyxx=+=（2）206()3,01()(,)0,xXxy dyxxfxf x y dy=其它 (3)2/212/26(2)3/2,01()(,)6(2)3(2)/2,120,zzZzxz dxzzfzf x zx dxxz dxzz=其它 0101yxzxx由得，画出下由得，画出下图图 五（12 分）设两个独立正态总体221122(,),(,)XNYN ,现分别从总体 X 和 Y 中取得容量为 10 和 8 的样本，测得样本均值148.32,141.11xy=，样本标准差16.4s=，25.4s=.(1)以显著水平 0.05 检验假设2222012112:,:HH=;(2)设22212=未知，求12的置信度为 95%的双侧置信区间.(1)取检验统计量2212/FSS=,0H的拒绝域为/2121/212(1,1)(1,1)F FnnF Fnn或 222212/6.4/5.41.04FSS=；第 4 页 0.0250.975(9,7)4.82(9,7)1/4.200.238FF=可见 1/212/212(1,1)(1,1)FnnFFnn，因此接受原假设，即认为方差相同。（2）取枢轴量121212()(2)1/1/wXYGt nnSnn=+;设/212(|(2)1P Gtnn+=即得12的1 的双侧置信区间为/21212(2)1/1/)wXYtnnSnn+22112212(1)(1)/(2)35.79755.983wSnSnSnn=+=/21212(2)1/1/2.12*5.983*1/101/86.017wtnnSnn+=+=/21212(2)1/1/)(7.216.017)(1.193,13.227)wXYtnnSnn+=六（14 分）对总体进行 100 次独立重复观察，得到观察值,1,100ix i=L,其中最小值为1.01，最大值为 520.1，平均值为 16.7，具体数据分布如下：观察值ix的范围 1.61.622441010 xxxxx 频数in 33 17 23 12 15(1)若总体 X 的概率密度函数为2/,(,)0,xxf x=其它，求的极大似然估计值；（2）在显著水平 0.05 下用2拟合检验法检验 H0：总体 X 的概率密度2,1()0,xxf x=其它.(1)设1001001001210011()()/()iiiiLf xxx xx=L 12100ln()100lnln()Lx xx=L ln()/100/0Ld=,()L 关于 增函数，1100min(,)1.01Lxx=L(2)1=,1.621(1.6)0.375,0.125,0.25,0.15,0.1.P Xx dxX=同理得 落在其他四个区间的概率为：第 5 页 观察值ix的范围 1.61.622441010 xxxxx 频数in 33 17 23 12 15 概率ip 0.375 0.125 0.25 0.15 0.1 理论频数inp 37.5 12.5 25 15 10 2521iiinnnp=检验统计量,22201(1)kiiinHnkrnp=的拒绝域 这里 n=100,k=5,r=0 2222222220.05133172312151005.42(1)(4)9.4937.512.5251510kiiinnkrnp=+=接受原假设，即认为总体 X 的概率密度是2,1()0,xxf x=其它。一填空 5（2）101191010101010101022221010102222111999()()()0()()()2(,)1009910(0,)9()03()(0,1)10109(91)(8)2,XXXXXXXXE XXE XE XD XXD XD XCov XXXXNXXXXUNSVU V=+=+=+=QL独立独立服从正态分布服从正态分布记记记记由抽样分布定理 知：独由抽样分布定理 知：独1010223()3()10(8)/810(91)/8=XXUXXtVSS=立立 第 6 页 概率论与数理统计概率论与数理统计2 第 7 页 第 8 页 第 9 页 第 10 页 概率论与数理统计概率论与数理统计3 第 11 页 第 12 页 第 13 页