建立一元二次方程解决几何问题.docx

新课标（RJ） 数学 九年级上册 全品新教案21.3 实际问题与一元二次方程 第3课时几何图形问题情景导入置疑导入归纳导入复习导入类比导入悬念激趣情景导入提起代数，人们自然就和方程联系起来，事实上，过去代数的中心问题就是对方程的研究.我国古代对代数的研究，特别是对方程解法的研究，取得了重要成果.我国古代数学家研究过二次方程的解法，当时的解法虽然与现代的解法不同，但已与现代的解法相似.下面是我国南宋数学家杨辉提出的一个问题：“直田积（矩形面积）八百六十四步（平方步）.只云阔（宽）不及长一十二步（宽比长少一十二步），问阔及长各几步”.答：“阔二十四步，长三十六步”.这里，我们不谈杨辉的解法，你能用已学过的知识解决这个问题吗？说明与建议 说明：在古代文献中有很多的方程应用型问题，题的内容来自生活，新颖有趣，有很高的数学价值和欣赏价值，通过本问题的引入，激起学生的学习兴趣.建议：引导学生积极思考问题，建立方程的思想.悬念激趣如图2133，小明把一张边长为10 cm的正方形硬纸板的四周各剪去一个同样大小的正方形，再折合成一个无盖的长方体盒子.图2133（1）如果要求长方体的底面面积为81 cm2，那么剪去的正方形边长为多少？（2）如果按下表列出的长方体底面面积的数据要求，那么剪去的正方形的边长会发生什么样的变化？折合成的长方体的体积又会发生什么样的变化？说明与建议 说明：通过生活中的实际问题的引入，让学生感觉到数学与生活的联系，激起学生的学习兴趣.建议：让学生体会数学来源于生活，又应用于生活，要求同学们能用一些所学的数学知识解决生活中的实际问题，感受到数学的应用价值，并体会到方程是刻画现实世界的一个有效的工具. 教材母题第22页习题21.3第9题如图2134，要设计一幅宽20 cm，长30 cm的图案，其中有两横两竖的彩条，横、竖彩条的宽度比为32.如果要使彩条所占面积是图案面积的四分之一，应如何设计彩条的宽度（结果保留小数点后一位）？图2134【模型建立】此类问题一般要利用“图形经过移动，它的面积不会改变”的道理，把纵、横的彩条移动到一起，利用面积的和差解决问题.有关面积问题的常见图形有如下几种：图2135【变式变形】1.庆阳中考如图2136，某小区计划在一块长为32 m，宽为20 m的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为570 m2.若设道路的宽为x m，则下面所列方程正确的是（ A ）A.（322x）（20x）570 B.32x220x3220570C.（32x）（20x）3220570 D.32x220x2x2570 图2136 图21372.大连中考如图2137，有一张矩形纸片，长为10 cm，宽为6 cm，将它的四个角各剪去一个同样大小的小正方形，然后折叠成一个无盖的长方体纸盒.若纸盒的底面（图中阴影部分）面积是32 cm2，求剪去的小正方形的边长.设剪去的小正方形的边长是x cm，根据题意可列方程为（ B ）A.10646x32 B.（102x）（62x）32C.（10x）（6x）32 D.1064x2323.如图2138，某小区有一块长为36 m，宽为24 m的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为600 m2，两块绿地之间及周边有宽度相等的人行通道，则人行通道的宽度为2 m. 图2138 图21394.如图2139，已知一边靠墙，另三边用木篱笆围成一个面积为130 m2的矩形花坛，木篱笆长为33 m，墙长为15 m，则矩形花坛的长和宽各为多少米才能使木篱笆正好合适？答案：花坛长为13 m，宽为10 m命题角度1 列一元二次方程解决等积变形问题在列一元二次方程解决等积变形问题时，要抓住以下三个等量关系：图形周长改变，面积没变；容器形状改变，但容积没变；原料体积成品体积.从而找出题中的等量关系，列出方程.例襄阳中考 用一条长40 cm的绳子围成一个面积为64 cm2的矩形.设矩形的长为x cm，则可列方程为（ B ）A.x（20x）64B.x（20x）64C.x（40x）64 D.x（40x）64命题角度2 列一元二次方程解决与几何图形面积相关的问题方程是我们利用数学知识解决实际问题时常用的一种数学模型，而构建方程解决问题的关键是找到相等的数量关系，而几何图形常用的数量关系往往和线段的长度、角的度数和图形的面积等因素不可分割.例如本课素材二教材母题挖掘.命题角度3 列一元二次方程解决存在性问题列一元二次方程解决存在性问题的一般步骤：先假设结论存在或成立，然后根据题意列出方程.若方程有解，则说明假设成立；若方程无解，则说明假设不成立.例用长为32米的篱笆围成一个矩形养鸡场，设围成的矩形养鸡场的一边长为x米，面积为y平方米.（1）求y关于x的函数解析式.（2）当x为何值时，围成的矩形养鸡场的面积为60平方米？（3）能否围成面积为70平方米的矩形养鸡场？如果能，请求出其边长；如果不能，请说明理由.答案：（1）yx（16x）（2）x10或x6（3）不能理由略命题角度4 列一元二次方程解决运动型问题运动型问题一般根据“路程速度时间”求出图形中相应边的长度，再列方程解决问题，这类题目一般和函数、几何图形综合考查，综合性较强.例1 如图21310所示，东西方向上有相距10千米的A，C两地，甲以16千米/时的速度从A地出发向正东方向前进，乙以12千米/时的速度从C地出发向正南方向前进，则最快经过多少小时后，甲、乙两人相距6千米？答案：小时图21310例2某校为培养青少年科技创新能力，举办了动漫制作活动，小明设计了点做圆周运动的一个雏形.如图21311所示，甲、乙两点分别从直径的两端点A，B以顺时针、逆时针的方向同时沿圆周运动.甲运动的路程l（cm）与时间t（s）满足关系：lt2t（t0），乙以4 cm/s的速度匀速运动，半圆的长度为21 cm.（1）甲运动4 s后的路程是多少？（2）甲、乙从开始运动到第一次相遇时，它们运动了多长时间？（3）甲、乙从开始运动到第二次相遇时，它们运动了多长时间？图21311答案：（1）14 cm（2）3 s（3）7 s P21习题21.3复习巩固1解下列方程：(1)x210x210；(2)x2x10；(3)3x26x40；(4)3x(x1)3x3；(5)4x24x1x26x9；(6)7x2x50.解：(1)移项，得x210x21.配方，得x210x522152，即(x5)24.开平方，得x52，x13，x27.(2)a1，b1，c1，b24ac(1)241(1)50，x，即x1，x2.(3)a3，b6，c4，b24ac6243(4)840，x，x1，x2.(4)整理，得3x(x1)3(x1)0，3(x1)(x1)0，则有x10或x10，x11，x21.(5) 整理，得(2x1)2(x3)20，(x4)(3x2)0，则有x40或3x20，x14，x2.(6)a7，b，c5，b24ac()247(5)1460，x，x1，x2.2两个相邻偶数的积是168.求这两个偶数解：设这两个偶数分别为x，x2，由题意，得x(x2)168.整理，得x22x1680.解得x112，x214.当x12时，x214；当x14时，x212.经检验都是符合题意的答：这两个偶数分别是12，14或14，12.3一个直角三角形的两条直角边的和是14 cm，面积是24 cm2.求两条直角边的长解：设一条直角边长为x cm，另一条直角边长为(14x) cm.由题意，得24.解这个方程，得x16，x28.当x6时，14x8；当x8时，14x6.所以两条直角边的长分别为6 cm和8 cm.综合运用4某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，每个支干长出多少小分支？解： 设每个支干长出x个小分支，由题意，得1xx291，整理，得(x9)(x10)0，x90或x100，解得x19，x210(不合题意，舍去)答：每个支干长出9个小分支5一个菱形两条对角线长的和是10 cm，面积是12 cm2.求菱形的周长解：设菱形的一条对角线为x cm，则另一条对角线为(10x) cm，由题意，得12.解这个方程，得x14，x26.当x4时，10x6；当x6时，10x4，经检验都符合题意菱形的边长为.菱形的周长为4 cm.6参加足球联赛的每两队之间都进行两场比赛，共要比赛90场，共有多少个队参加比赛？解：设共有x个队参加比赛，每个队要赛(x1)场，由题意，得x(x1)90.解得x110，x29(舍去)答：共有10个队参加比赛7青山村种的水稻2010年平均每公顷产7200 kg，2012年平均每公顷产8450 kg.求水稻每公顷产量的年平均增长率解：设水稻每公顷产量的年平均增长率为x，由题意，得7200(1x)28450，(1x)2，1x1.083.x10.0838.3%，x22.083(不合题意，舍去)答：水稻每公顷产量的年平均增长率约为8.3%.8要为一幅长29 cm，宽22 cm的照片配一个镜框，要求镜框的四条边宽度相等，且镜框所占面积为照片面积的四分之一，镜框边的宽度应是多少厘米(结果保留小数点后一位)?解： 设镜框边的宽度为x cm，由题意，得(292x)(222x)2922，整理，得8x2204x3190，解得x，x11.5，x227.0 (不合题意，舍去)答：镜框边的宽度约为1.5 cm.拓广探索9如图，要设计一幅宽20 cm，长30 cm的图案，其中有两横两竖的彩条，横、竖彩条的宽度比为32.如果要使彩条所占面积是图案面积的四分之一，应如何设计彩条的宽度(结果保留小数点后一位)?解： 因为横、竖彩条的宽度比为32，可设横彩条的宽度为3x cm，竖彩条的宽度为2x cm，由题意，得(206x)(304x)2030.整理，得12x2130x750.解得x，x10.6，x210.2 (不合题意，舍去)当x0.6时，3x1.8，2x1.2 .答：横彩条的宽度为1.8 cm，竖彩条的宽度为1.2 cm.10如图，线段AB的长为1.(1)线段AB上的点C满足关系式AC2BCAB，求线段AC的长度；(2)线段AC上的点D满足关系式AD2CDAC，求线段AD的长度；(3)线段AD上的点E满足关系式AE2DEAD，求线段AE的长度上面各小题的结果反映了什么规律？解：(1)设AC的长为x，则BC的长为1x，由题意，得x2(1x)1，解得x10.618.x2(舍去)，即AC的长度为0.618.(2)AD2CDAC(ACAD)AC，AD2ACADAC20，解得ADAC0.6182.(3)AE2DEAD(ADAE)AD，AE2ADAEAD20，解得AEAD0.6183.规律：C是线段AB的黄金分割点，D是线段AC的黄金分割点，E是线段AD的黄金分割点素材五图书增值练习能力培优21.3 实际问题与一元二次方程专题一 利用一元二次方程解决面积问题1.在高度为2.8m的一面墙上，准备开凿一个矩形窗户现用9.5m长的铝合金条制成如图所示的窗框问：窗户的宽和高各是多少时，其透光面积为3m2（铝合金条的宽度忽略不计）2.如图：要设计一幅宽20cm，长30cm的矩形图案，其中有两横两竖的彩条，横、竖彩条的宽度比为2：3，如果要使所有彩条所占面积为原矩形图案面积的三分之一，应如何设计每个彩条的宽度？ 3. 数学的学习贵在举一反三，触类旁通.仔细观察图形，认真思考，解决下面的问题：（1）在长为m，宽为m的一块草坪上修了一条1m宽的笔直小路（如图（1），则余下草坪的面积可表示为 ；（2）现为了增加美感，设计师把这条小路改为宽恒为1m的弯曲小路（如图（2），则此时余下草坪的面积为 ；（3）聪明的鲁鲁结合上面的问题编写了一道应用题，你能解决吗？相信自己哦！（如图（3），在长为50m，宽为30m的一块草坪上修了一条宽为xm的笔直小路和一条长恒为xm的弯曲小路（如图3），此时余下草坪的面积为1421求小路的宽x.专题二 利用一元二次方程解决变化率问题4.据报道，我省农作物秸杆的资源巨大，但合理利用量十分有限，2012年的利用率只有30%，大部分秸杆被直接焚烧了，假定我省每年产出的农作物秸杆总量不变，且合理利用量的增长率相同，要使2014年的利用率提高到60%，求每年的增长率（取 1.41）5.某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的电脑会不会超过700台？6.【2012广元】某中心城市有一楼盘，开发商准备以每平方米7000元的价格出售，由于国家出台了有关调控房地产的政策，开发商经过两次下调销售价后，决定以每平方米5670元的价格销售（1）求平均每次下调的百分率；（2）房产销售经理向开放商建议：先公布下调5%，再下调15%，这样更有吸引力请问房产销售经理的方案对购房者是否更优惠？为什么？专题三 利用一元二次方程解决市场经济问题7.【2012济宁】一学校为了绿化校园环境，向某园林公司购买了一批树苗，园林公司规定：如果购买树苗不超过60棵，每棵售价为120元；如果购买树苗超过60棵，每增加1棵，所出售的这批树苗每棵售价均降低0.5元，但每棵树苗最低售价不得少于100元该校最终向园林公司支付树苗款8800元请问该校共购买了多少棵树苗？8.【2012南京】某汽车销售公司6月份销售某厂家的汽车，在一定范围内，每部汽车的售价与销售量有如下关系：若当月仅售出1部汽车，则该部汽车的进价为27万元,每多售出1部，所有售出的汽车的进价均降低0.1万元/部；月底厂家根据销售量一次性返利给销售公司，销售10部以内（含10部），每部返利0.5万元；销售量在10部以上，每部返利1万元.(1)若该公司当月售出3部汽车，则每部汽车的进价为 万元.(2)如果汽车的售价为28万元/部，该公司计划当月盈利12万元，那么需要售出多少部汽车？（盈利=销售利润+返利）专题四 利用一元二次方程解决生活中的其他问题9. (1)经过凸边形(3)其中一个顶点的对角线有 条.(2)一个凸多边形共有14条对角线,它是几边形？ (3)是否存在有21条对角线的凸多边形？如果存在,它是几边形？如果不存在,说明理由.10.如图，每个正方形是由边长为1的小正方形组成（1）观察图形，请填写下列表格： 正方形边长1357n（奇数）红色小正方形个数正方形边长2468n（偶数）红色小正方形个数（2）在边长为n（n1）的正方形中，设红色小正方形的个数为P1，白色小正方形的个数为P2，问是否存在偶数n，使P2=5P1？若存在，请写出n的值；若不存在，请说明理由知识要点：列方程解决实际问题的常见类型：面积问题、增长率问题、经济问题、疾病传播问题、生活中的其他问题.温馨提示：1.若设每次的平均增长(或降低)率为x，增长(或降低)前的数量为a，则第一次增长(或降低)后的数量为a(1x)，第二次增长(或降低)后的数量为a(1x)22.面积(体积)问题属于几何图形的应用题，解决问题的关键是将不规则图形分割或组合、平移成规则图形，找出未知量与已知量的内在联系，根据面积(体积)公式列出一元二次方程3.列方程解决实际问题时，方程的解必须使实际问题有意义，因此要注意检验结果的合理性.方法技巧：1. 变化率问题中常用a（1x）n=b，其中a是起始量，b是终止量，n是变出次数，x是变化率.变化率问题用直接开平方法求解简单.2.解决面积问题常常用到平移的方法，利用平移前后图形面积不变建立等量关系.参考答案1.【解】设高为x米，则宽为米.由题意，得.解得 (舍去,高度为2.8m的一面墙上).当x=1.5时，宽.答：高为1.5米,宽为2米.2.【解】设横、竖彩条的宽度分别为2xcm、3xcm，由题意，得（206x）（304x）=（1）2030.整理，得6x265x500.解得x1，x210（不合题意，舍去）.2x，3x.答：每个横、竖彩条的宽度分别为cm，cm3.【解】(1)（或）；(2) （或）；(3)将笔直的小路平移到草坪的左边，则余下部分的长为(50-x)m,将弯曲的小路的两侧重合，则余下部分的宽为（30-x）m,由题意得：(50-x)（30-x）=1421. 解得 x1=1， x2=79（舍去）.答：小路的宽为1m.4.【解】设我省每年产出的农作物秸杆总量为a，合理利用量的增长率是x，由题意，得30%a（1+x）2=60%a.x10.41，x2-2.41（不合题意舍去）x0.41答：每年的增长率约为41% 5.【解】设每轮感染中平均每一台电脑会感染x台电脑，依题意，得1x(1x)x81.整理得(1x)281.x18，x2 10（舍去）.(1x)3(18)3729700答：每轮感染中平均每一台电脑会感染8台电脑，3轮感染后被感染的电脑会超过700台6.【解】（1）设平均每次下调，则有.1p%0，1p%=0.9. p%=0.1=10%.答：平均每次下调10%；（2）先下调5%，再下调15%，这样最后单价为7000元(15%)(115%）=5652.5元. 销售经理的方案对购房者更优惠一些7.【解】因为60棵树苗售价为120元607200元8800元，所以该校购买树苗超过60棵设该校共购买了x棵树苗，由题意，得 .解得当时，不合题意，舍去；当时，.答：该校共购买了80棵树苗 8.【解】(1)26.8 （2）设需要销售出x部汽车可盈利12万元.当销售10部以内（含10部）时，依题可得2827+0.1（x1）x+0.5x=12.解得.当销售6部汽车时，当月可盈利12万元.当销售10部以上时，依题可得2827+0.1（x1）x+x=12.解得，均不合题意，应舍去.答：当销售6部汽车时，当月可盈利12万元.9.【解】（1）n3(2)设这个凸多边形是边形,由题意,得.解得 (不合题意,舍去).答:这个凸多边形是七边形.(3)不存在.理由:假设存在边形有21条对角线. 由题意得.解得.因为多边形的边数为正整数，但不是正整数，故不合题意.所以不存在有21条对角线的凸多边形.10.【解】（1）1 5 9 13 2n1；4 8 12 16 2n（2）由（1）可知n为偶数时P1=2nP2=n22n.根据题意得n22n=52n，n212n=0，解得n=12，n=0（舍去） 存在偶数n=12使得P2=5P1素材六数学素养提升列一元二次方程解决阅读理解问题阅读理解问题是给出一些材料，让学生在阅读的基础上理解材料中所提供的定义、公式、思想方法及解题技巧等知识，用于解决后面的问题.因此，在用一元二次方程解决阅读理解问题时要注意：认真阅读材料，留心知识情景、数据、关键词句；全面分析，理解材料的基本原理；对相关信息进行归纳，加工提炼，进而构建方程模型来解答. 例.（2014凉山州）实验与探究：三角形点阵中前n行的点数计算下图是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点第n行有n个点容易发现，10是三角点阵中前4行的点数的和.你能发现300是前多少行的点数的和吗？如果用实验的方法，由上而下地逐行相加其点数，虽然你能发现1+2+3+23+24=300，得知300是前24行的点数的和，但是这样寻找答案需要花费较多时间，能否更简捷地得出结果呢？我们先探究三角点阵中前 n 行的点数和与 n 的数量关系.前 n 行的点数和是1+2+3+（n+2）+（n-1）+n。可以发现，21+2+3+（n+2）+（n-1）+n=1+2+3+（n+2）+（n-1）+n+n+（n-1）+（n+2）+3+2+1把两个中括号中的第一项相加，第二项相加第 n 项相加，上式等号的后边变形为这 n 个小 括号都等于 n+ 1 ，整个式子等于 n(n + 1) ，于是得到1+2+3+（n+2）+（n-1）+n=这就是说，三角点阵中前 n 行的点数的和是 n(n + 1)下面用一元二次方程解决上述问题： 设三角点阵中前 n 行的点数和为 300，则有 n(n + 1)=300整理这个方程，得解方程得：根据问题中未知数的意义确定 n = 24 ，即三角点阵中前 24 项的和是 300. 请你根据上述材料回答下列问题： （1）三角点阵中前 n 行的点数和能是 600 吗？如果能，求出 n ；如果不能，试用一元二次方程 说明道理； （2）如果把图中的三角点阵中各行的点数依次换为 2、4、6、 2 n ，你能探究出前 n 行 的点数之和满足什么规律吗？这个三角点阵中前 n 行的点数之和能是 600 吗？如果能，求出 n ；如 果不能，试用一元二次方程说明道理。版权归全品公司所有，违者必究