基本不等式与最大(小)值.doc

《基本不等式与最大（小）值》教学设计
周至县第四中学 邵雪妮
【教学目标】
知识与技能：理解两条结论，会用基本不等式求函数最大（小）值，熟练掌握基本不等式解题的关键，并能够解决一些简单的实际问题；
过程与方法：培养学生从具体问题出发，体会用不等式解题的技巧；
情感态度价值观：激发学生观察、分析、探究的学习激情，培养学生分类讨论、类比的思想，以及学习数学的严谨态度.
【教学重点】
基本不等式在命题中的具体应用.
【教学难点】
基本不等式变形应用，分清用基本不等式解题的前提条件.
【教学方法】
探究、讲练结合.
【教学过程】
（一）创设情境，导入新课
上节我们学习了基本不等式，基本不等式的运用非常广泛，如求函数最值（值域）、证明不等式、比较大小、求取值范围、解决实际问题等.今天我们就学习其中的一个应用——利用基本不等式求最值.
（二） 提出问题，动手实践
问题一：你可以把一段16cm长的细铁丝弯成形状不同的矩形，怎样弯面积最大？
问题二：用细铁丝弯成一个面积为16m2的矩形，怎样弯周长最小？
给出图表找出结论，从中发现什么？得出什么结论?给出数学解释
.
(1)设矩形的长为cm,宽为cm,则．这时，由基本不等式得：即，当且仅当时，等号成立．由此可知，边长为４ｃｍ的那个正方形的面积最大．
(2)设矩形的长为cm,宽为cm,则．这时，由基本不等式得：，即，当且仅当时，等号成立．由此可知，边长为４ｃｍ的那个正方形的周长最小．
(三) 探究方法，自主学习 （学生自主完成，老师提问）
1.已知都是正实数，则有
（1） 若（和为定值），则当时，积取最大值；
（2） 若（积为定值），则当时，和取得最小值.
2.应用基本不等式求最值的条件：
一正（与为正实数）二定（和为定，积为定）三相等（若等号成立，与必须相等）
（四）结论初用，牛刀小试 （学生独立完成，老师提问）
已知 则最大值为--------
若则--------
若则的最小值是---------
（五）课堂探究，深化理解 （学生分组讨论，小组代表回答）
下面几道题的解答可能有错，如果错了，那么错在哪里？
１．已知函数 ，求函数的最小值和此时x的取值．
解： 当且仅当即时函数取到最小值
解析 ：错误，不一定为正数．运用均值不等式的过程中，忽略了“正数”这个条件
２．已知函数　 ，求函数的最小值
解：当且仅当即时函数的最小值是6
解析：错误，没有定值 ． 用均值不等式求最值，必须满足“定值”这个条件
3. 求函数 其中的最小值
解：=4 函数的最小值为4
解析：错误 ，等号成立的条件为 ，这显然不可能 ．用均值不等式求最值,必须注意 “相等” 的条件.如果取等的条件不成立,则不能取到该最值.
（六）例题分析，规范解题
例1 设为正实数，且，求的最大值.
分析：因为，所以问题成为：已知，求的最大值?
解 ： 因为，所以由基本不等式，得由于所以即，当且仅当时，等号成立.因此有
解得
所以当时，有最大值10.
这样.
所以，当时，有最大值1.
例2 已知，证明：．
证明(法一)：（１）当时，由基本不等式，得，当且仅当，即时，等号成立
（２）当时，，．
由（１）可知，当且仅当时等号成立。
所以，
即
综上可知，
(法二)利用函数图像

观察函数图像，利用对号函数的性质可知
（七）当堂检测 加深理解 （独立完成，个别同学在黑板演题）
(1)若x<0，求f(x)＝＋3x的最大值．
(2)已知0＜x＜，求y＝x(1－2x)的最大值．
(3)已知x＞1，求的最小值．
解析：　(1)∵x<0，∴－x>0.
则－f(x)＝－＋(－3x)≥2＝12
即f(x)≤－12.
(2)∵0＜x＜，∴0＜2x＜1,0＜1－2x＜1，
∴y＝x(1－2x)＝·2x·(1－2x)≤·2
＝，
即当x＝时，＝
(3)＝x＋1＋
＝x－1＋＋2≥2＋2＝4，
当且仅当＝x－1，
即(x－1)2＝1时，等式成立，∵x＞1，
∴当x＝2时，＝4
（八） 回顾小结 提高认识 （以提问的形式）
1. 本节课主要学习了基本不等式的初步应用。
2.注意公式的正用、逆用、变形使用。
3.牢记公式特征“一正”、“二定”、“三相等”，它在求最值的题型中绽放绚丽的光彩。
4.当有些题目中，没有出现“二定”,我们可以对式子变形（拆项或凑项），使式子出现定值。
（九）拓展训练 探索新知 （引导下节内容）
某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为4800 m深为3m如果池底每1m2的造价为150元，池壁每1m2的造价为120元，问怎样设计水池才能使总造价最低，最低总造价是多少元？
解析：设水池底面一边的长度为x m，水池的总造价为元．根据题意，得

当且仅当，即＝40时，有最小值297 600.
答：当水池的底面是边长为40 m的正方形时，水池的总造价最低，最低总造价是297 600元．
（十）作业训练，巩固提高
必做题：
1、2、3题
2、3题
思考题：求，的最值.
教师寄语：读书之法，在循序而渐进，熟读而精思。----朱熹