基本不等式与最大(小)值.doc

基本不等式与最大（小）值教学设计周至县第四中学 邵雪妮【教学目标】知识与技能：理解两条结论，会用基本不等式求函数最大（小）值，熟练掌握基本不等式解题的关键，并能够解决一些简单的实际问题；过程与方法：培养学生从具体问题出发，体会用不等式解题的技巧；情感态度价值观：激发学生观察、分析、探究的学习激情，培养学生分类讨论、类比的思想，以及学习数学的严谨态度.【教学重点】基本不等式在命题中的具体应用.【教学难点】基本不等式变形应用，分清用基本不等式解题的前提条件.【教学方法】探究、讲练结合.【教学过程】（一）创设情境，导入新课 上节我们学习了基本不等式，基本不等式的运用非常广泛，如求函数最值（值域）、证明不等式、比较大小、求取值范围、解决实际问题等.今天我们就学习其中的一个应用利用基本不等式求最值.（二） 提出问题，动手实践问题一：你可以把一段16cm长的细铁丝弯成形状不同的矩形，怎样弯面积最大？问题二：用细铁丝弯成一个面积为16m2的矩形，怎样弯周长最小？给出图表找出结论，从中发现什么？得出什么结论?给出数学解释. (1)设矩形的长为cm,宽为cm,则这时，由基本不等式得：即，当且仅当时，等号成立由此可知，边长为的那个正方形的面积最大(2)设矩形的长为cm,宽为cm,则这时，由基本不等式得：，即，当且仅当时，等号成立由此可知，边长为的那个正方形的周长最小(三) 探究方法，自主学习 （学生自主完成，老师提问）1.已知都是正实数，则有（1） 若（和为定值），则当时，积取最大值；（2） 若（积为定值），则当时，和取得最小值.2.应用基本不等式求最值的条件：一正（与为正实数）二定（和为定，积为定）三相等（若等号成立，与必须相等）（四）结论初用，牛刀小试 （学生独立完成，老师提问）已知 则最大值为- 若则-若则的最小值是-（五）课堂探究，深化理解 （学生分组讨论，小组代表回答）下面几道题的解答可能有错，如果错了，那么错在哪里？已知函数 ，求函数的最小值和此时x的取值解： 当且仅当即时函数取到最小值解析 ：错误，不一定为正数运用均值不等式的过程中，忽略了“正数”这个条件已知函数 ，求函数的最小值解：当且仅当即时函数的最小值是6解析：错误，没有定值 用均值不等式求最值，必须满足“定值”这个条件3. 求函数 其中的最小值解：=4 函数的最小值为4解析：错误 ，等号成立的条件为 ，这显然不可能 用均值不等式求最值,必须注意 “相等” 的条件.如果取等的条件不成立,则不能取到该最值.（六）例题分析，规范解题例1 设为正实数，且，求的最大值.分析：因为，所以问题成为：已知，求的最大值?解 ： 因为，所以由基本不等式，得由于所以即，当且仅当时，等号成立.因此有解得所以当时，有最大值10.这样.所以，当时，有最大值1.例2 已知，证明：证明(法一)：（）当时，由基本不等式，得，当且仅当，即时，等号成立（）当时，由（）可知，当且仅当时等号成立。所以，即综上可知，(法二)利用函数图像观察函数图像，利用对号函数的性质可知（七）当堂检测 加深理解 （独立完成，个别同学在黑板演题）(1)若x0，求f(x)3x的最大值(2)已知0x，求yx(12x)的最大值(3)已知x1，求的最小值解析：(1)x0.则f(x)(3x)212即f(x)12.(2)0x，02x1,012x1，yx(12x)2x(12x)2，即当x时，(3)x1x12224，当且仅当x1，即(x1)21时，等式成立，x1，当x2时，4（八） 回顾小结 提高认识 （以提问的形式）1. 本节课主要学习了基本不等式的初步应用。2.注意公式的正用、逆用、变形使用。3.牢记公式特征“一正”、“二定”、“三相等”，它在求最值的题型中绽放绚丽的光彩。4.当有些题目中，没有出现“二定”,我们可以对式子变形（拆项或凑项），使式子出现定值。（九）拓展训练 探索新知 （引导下节内容）某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为4800 m深为3m如果池底每1m2的造价为150元，池壁每1m2的造价为120元，问怎样设计水池才能使总造价最低，最低总造价是多少元？解析：设水池底面一边的长度为x m，水池的总造价为元根据题意，得当且仅当，即40时，有最小值297 600.答：当水池的底面是边长为40 m的正方形时，水池的总造价最低，最低总造价是297 600元 （十）作业训练，巩固提高 必做题： 1、2、3题2、3题 思考题：求，的最值.教师寄语：读书之法，在循序而渐进，熟读而精思。-朱熹