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课时作业 19 根本不等式与最大(小)值
|根底稳固|(25分钟，60分)
一、选择题(每题5分，共25分)
1．(教材同类改编)假设函数f(x)＝x＋(x>2)在x＝a处取最小值，那么a等于( )
A．1＋ B．1＋
C．3 D．4
解析：f(x)＝x＋＝x－2＋＋2.
因为x>2，
所以x－2>0.
所以f(x)＝x－2＋＋2≥
2＋2＝4，
当且仅当x－2＝，
即x＝3时“＝〞成立．
又f(x)在x＝a处取最小值．
所以a＝3.应选C.
答案：C
2．(广东深圳三校联考一模)f(x)＝(x∈N*)，那么f(x)在定义域上的最小值为( )
A. B.
C. D．2
解析：f(x)＝＝x＋，
∵x∈N*>0，
∴x＋≥2＝2，当且仅当x＝时取等号．但x∈N*，故x＝5或x＝6时，f(x)取最小值，
当x＝5时，f(x)＝，
当x＝6时，f(x)＝，
故f(x)在定义域上的最小值为.应选B.
答案：B
3．当x>1时，不等式x＋≥a恒成立，那么实数a的取值范围是( )
A．(－∞，2] B．[2，＋∞)
C．[3，＋∞) D．(－∞，3]
解析：由于x>1，
所以x－1>0，>0，
于是x＋＝x－1＋＋1≥2＋1＝3，
当＝x－1即x＝2时等号成立，
即x＋的最小值为3，要使不等式恒成立，应有a≤3，应选D.
答案：D
4．(广东联考)x>0，y>0，lg2x＋lg8y＝lg2，那么＋的最小值是( )
A．2 B．2
C．4 D．2
解析：∵lg2x＋lg8y＝lg2，∴lg(2x·8y)＝lg2，
∴2x＋3y＝2，∴x＋3y＝1.
∵x>0，y>0，∴＋＝(x＋3y)＝2＋＋≥2＋2＝4，当且仅当x＝3y＝时取等号．所以＋的最小值为4.应选C.
答案：C
5．(河南平顶山一模)假设对于任意的x>0，不等式≤a恒成立，那么实数a的取值范围是( )
A．a≥ B．a>
C．a< D．a≤
解析：由x>0，得＝≤＝，当且仅当x＝1时，等号成立．那么a≥，应选A.
答案：A
二、填空题(每题5分，共15分)
6．(山东卷)假设直线＋＝1(a>0，b>0)过点(1,2)，那么2a＋b的最小值为________．
解析：由题设可得＋＝1，∵a>0，b>0，
∴2a＋b＝(2a＋b)＝2＋＋＋2
≥4＋2＝8
.
故2a＋b的最小值为8.
答案：8
7．(安徽淮北二模)正数x，y满足x＋2y－2xy＝0，那么2x＋y的最小值是________．
解析：因为正数x，y满足x＋2y－2xy＝0，
那么有＋＝1，
那么2x＋y＝(2x＋y)＝＋＋≥＋2＝，当且仅当x＝y时取等号．
故2x＋y的最小值是.
答案：
8．(湖北新联考四模)函数f(x)＝假设f(a)＝f(b)(0<a<b)，那么＋取得最小值时，f(a＋b)＝________.
解析：由f(a)＝f(b)及0<a<b可得lgb＝－lga，即lg(ab)＝0，即ab＝1，
那么＋＝＝4a＋b≥2＝4，当且仅当b＝4a时，＋取得最小值，
由可得a＝，b＝2，
∴f(a＋b)＝f＝lg＝1－2lg2.
答案：1－2lg2
三、解答题(每题10分，共20分)
9．(1)x<3，求f(x)＝＋x的最大值；
(2)x，y为正实数，且x＋y＝4，求＋的最小值．
解析：(1)因为x<3，所以x－3<0，
所以f(x)＝＋x＝＋(x－3)＋3
＝－＋3
≤－2＋3＝－1，
当且仅当＝3－x，即x＝1时取等号，
所以f(x)的最大值为－1.
(2)因为x，y为正实数，
所以(x＋y)＝4＋≥4＋2.
当且仅当＝，
即x＝2(－1)，
y＝2(3－)时取“＝〞号．
又x＋y＝4，所以＋≥1＋.
故＋的最小值为1＋.
10．某渔业公司今年初用98万元购进一艘渔船用于捕捞，第一年需要各种费用12万元．从第二年起，包括维修费在内，每年所需费用比上一年增加4万元．该船每年捕捞总收入为50万元．
(1)问捕捞几年后总盈利最大？最大是多少？
(2)问捕捞几年后的平均利润最大？最大是多少？
解析：(1)设捕捞n年后的总盈利为y万元，那么
y＝50n－98－
＝－2n2＋40n－98
＝－2(n－10)2＋102，
所以捕捞10年后总盈利最大，最大是102万元．
(2)年平均利润为＝－2
≤－2＝12，
当且仅当n＝，即n＝7时上式取等号．
所以，捕捞7年后的平均利润最大，最大是12万元．
|能力提升|(20分钟，40分)
11．(河南许昌二模)x，y均为正实数，且＋＝，那么x＋y的最小值为( )
A．24 B．32
C．20 D．28
解析：∵x，y均为正实数，且＋＝，
那么x＋y＝(x＋2＋y＋2)－4＝6(x＋2＋y＋2)－4＝6－4≥6×－4＝20，
当且仅当x＝y＝10时取等号．
∴x＋y的最小值为20.
答案：C
12．(天津卷)假设a，b∈R，ab>0，那么的最小值为________．
解析：此题考查根本不等式的应用．
∵a4＋4b4≥2a2·2b2＝4a2b2(当且仅当a2＝2b2时“＝〞成立)，
∴≥＝4ab＋，
由于ab>0，∴4ab＋≥2＝4，
故当且仅当时，取得最小值，最小值为4.
答案：4
13．x>0，y>0，且3x＋4y＝12，求lgx＋lgy的最大值及相应的x，y的值．
解析：由x>0，y>0，且3x＋4y＝12，得xy＝·(3x)·(4y)≤2＝3.
所以lgx＋lgy＝lg(xy)≤lg3，当且仅当3x＝4y＝6，即x＝2，y＝时，等号成立．故当x＝2，y＝时，lgx＋lgy的最大值是lg3.
14．桑基鱼塘是广东省珠江三角洲一种独具地方特色的农业生产形式，某研究单位打算开发一个桑基鱼塘工程，该工程准备购置一块1 800平方米的矩形地块，中间挖成三个矩形池塘养鱼，挖出的泥土堆在池塘四周形成基围(阴影局部所示)种植桑树，鱼
塘周围的基围宽均为2米，如下图，池塘所占面积为S平方米，其中a∶b＝1∶2.
(1)试用x，y表示S；
(2)假设要使S最大，那么x，y的值各为多少？
解析：(1)由题可得，xy＝1 800，b＝2a，那么y＝a＋b＋6＝3a＋6，
S＝(x－4)a＋(x－6)b＝(3x－16)a＝
(3x－16)＝1 832－6x－y(x>6，y>6，xy＝1 800)．
(2)法一 S＝1 832－6x－y≤1 832－2＝1 832－480＝1 352，
当且仅当6x＝y，xy＝1 800，即x＝40，y＝45时，S取得最大值1 352.
法二 S＝1 832－6x－×＝1 832－≤1 832－2＝1 832－480＝1 352，
当且仅当6x＝，即x＝40时取等号，S取最大值．此时y＝＝45.
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