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第二章 有理数一、本章知识结构图 二、主要知识精要 1数轴是理解有理数概念与运算的重要工具，数与表示数的图形(如数轴)相结合的思想是学习数学的重要思想 2对于有理数的基本概念，要能从不同角度去理解、认识 例如，相反数的概念，可以从本身的定义、在数轴上的位置、在加法中的运用等多方面去认识 3在学了负数以后，要注意克服小学与第一章中出现的字母只表示正数或0的局限性如进一步认识的可以是正数、负数或0 4在运算中，要注意正负号、运算顺序等，以提高准确性，还要注意灵活运用运算律，会用计算器进行数的简单计算，以提高运算速度三、思想方法总结 1观察方法 在有理数这一章中的一些主要概念和性质，例如，数轴、相反数、绝对值、有理数大小比较、有理数的运算法则和运算律的研究都离不开观察 2分类思想 当被研究的问题包含多种可能情况，不能一概而论时，必须按可能出现的所有情况来分别讨论，得出各种情况下相应的结论这种处理问题的思维方法称为分类思想 本章在研究相反数、绝对值、有理数加法法则、乘法法则、乘方运算的符号法则等，都是按有理数分成正数、负数、0三类分别研究的 分类必须遵循以下两条规则：每一次分类要按照同一标准进行；(2)不重复、不遗漏例如，如果把有理数分为正数和负数两类，漏掉了零，就错了 3数形结合思想 “数无形，少直观，形无数，难人微”，利用数形结合，可以使所要研究的问题化难为易，化繁为简用数轴上的点来表示有理数，就是最简单的数形结合思想的体现结合数轴表示有理数，对于理解有理数的绝对值、相反数等概念以及有理数大小的比较等，更有直观性在这一章中，我们学习了数轴、任意一个有理数都在数轴上对应一个点，数轴是一条直线，是我们能直观看见的图形这就使代数中的数与几何中的图形结合在一起了即可以借助直观的几何图形解决抽象的代数问题这种方法叫数形结合法，它是今后学习中的一种重要方法在其它科目的学习中，也要结合直观的图形去解决抽象的问题，结合日常生活中的现象去学习书本中的知识，这样能帮助我们分析问题、解决问题，使较难的问题简单化四、典型例题讲解例如 1 比较的大小方法一：且又方法二：因为a与与互为相反数，又可在数轴上表示来，根据在数轴上，右边的数总大于左边的数可比较的大小(如图) 点评：方法二是借助于数轴来比较有理数的大小，方法非常简单，明了例2 已知2是绝对值最小的有理数是最大的负整数，求代数式的值分析：因为绝对值最小的有理数为0，最大的负整数是所以把代入所求的代数式中，可求出代数式的值解：是绝对值最小的有理数，又是最大的负整数， 注意：代入时，底数要加括号例3 计算： 分析：按运算顺序，先算乘方，再算乘除，最后算加减：本题要先算出分子与分母的值，对于分母应先做绝对值符号里面的运算解：注意：底数有括号与没有括号的区别，中的指数3只属于2，不属于“-”号；中的指数l00属于要特别注意运算中的符号例4 当时，一定等于吗？为整数，的倒数是吗?上述问题如果不对，请说明理由分析：由，得把分别代入中，求得两个值，与比较为整数，可以是0，0没有倒数解：上述说法都不正确1因为时，如果时，正确但当时，则上述说法错误2为整数，的倒数是也不正确因为当时，不存在注意：由得两个的值这里的不能丢掉零没有倒数例5 数以在数轴上的位置如图，试把，的相反数，的倒数和的倒数的绝对值从小到大用“”连接起来分析：首先在数轴上找到口的相反数，的倒数和的倒数的绝对值的位置，然后利用数轴比较它们的大小解：因为以的相反数是的倒数是的倒数的绝对值是由图可知，所以所以注意：分清相反数、倒数、绝对值的意义3