三角恒等变形及应用.doc

三角恒等变形及应用
一．要点精讲
1．两角和与差的三角函数
；；
。
2．二倍角公式
； ；
。
3．三角函数式的化简
常用方法：①直接应用公式进行降次、消项；②切割化弦，异名化同名，异角化同角；③ 三角公式的逆用等。（2）化简要求：①能求出值的应求出值；②使三角函数种数尽量少；③使项数尽量少；④尽量使分母不含三角函数；⑤尽量使被开方数不含三角函数。
（1）降幂公式
；；。
（2）辅助角公式
，。
4．三角函数的求值类型有三类
（1）给角求值：一般所给出的角都是非特殊角，要观察所给角与特殊角间的关系，利用三角变换消去非特殊角，转化为求特殊角的三角函数值问题；
（2）给值求值：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题的关键在于“变角”，如等，把所求角用含已知角的式子表示，求解时要注意角的范围的讨论；
（3）给值求角：实质上转化为“给值求值”问题，由所得的所求角的函数值结合所求角的范围及函数的单调性求得角。
5．三角等式的证明
（1）三角恒等式的证题思路是根据等式两端的特征，通过三角恒等变换，应用化繁为简、左右同一等方法，使等式两端化“异”为“同”；
（2）三角条件等式的证题思路是通过观察，发现已知条件和待证等式间的关系，采用代入法、消参法或分析法进行证明。
二．典例解析
题型1：两角和与差的三角函数
例1．已知，求cos。

例2．已知
求。

题型2：二倍角公式
例3．化简下列各式：
（1）， （2）。

例4．若。

题型3：辅助角公式
例5．已知正实数a,b满足。

例6．（2000全国理，17）已知函数y＝cos2x＋sinxcosx＋1，x∈R.（1）当函数y取得最大值时，求自变量x的集合；（2）该函数的图象可由y＝sinx（x∈R）的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到?

（2000全国文，17）已知函数y＝sinx＋cosx，x∈R.（1）当函数y取得最大值时，求自变量x的集合；（2）该函数的图象可由y＝sinx（x∈R）的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到?
题型4：三角函数式化简
例7．（06北京理，15）已知函数.
（Ⅰ）求的定义域； （Ⅱ）设的第四象限的角，且，求的值。

题型5：三角函数求值
例8．（06重庆理，17）设函数f(x)=cos2x +sinx cosx+a(其中＞0,aR),且f(x)的图象在y轴右侧的第一个高点的横坐标为。（Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）如果f(x)在区间上的最小值为，求a的值。

例9．（06上海理，17）求函数＝2＋的值域和最小正周期。

题型6：三角函数综合问题
例10．已知向量 （I）若求（II）求的最大值。

例11．（2001天津理，22）设0<θ<，曲线x2sinθ+y2cosθ=1和x2cosθ－y2sinθ=1有4个不同的交点。（1）求θ的取值范围；（2）证明这4个交点共圆，并求圆半径的取值范围。

三．思维总结
从近年高考的考查方向来看，这部分常常以选择题和填空题的形式出现，有时也以大题的形式出现，分值约占5%因此能否掌握好本重点内容，在一定的程度上制约着在高考中成功与否。
1．两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式在学习时应注意以下几点：（1）不仅对公式的正用逆用要熟悉，而且对公式的变形应用也要熟悉；
（2）善于拆角、拼角
如，等；
（3）注意倍角的相对性
（4）要时时注意角的范围
（5）化简要求
熟悉常用的方法与技巧，如切化弦，异名化同名，异角化同角等。
2．证明三角等式的思路和方法。
（1）思路：利用三角公式进行化名，化角，改变运算结构，使等式两边化为同一形式。
（2）证明三角不等式的方法：比较法、配方法、反证法、分析法，利用函数的单调性，利用正、余弦函数的有界性，利用单位圆三角函数线及判别法等。
3．解答三角高考题的策略。
（1）发现差异：观察角、函数运算间的差异，即进行所谓的“差异分析”。
（2）寻找联系：运用相关公式，找出差异之间的内在联系。
（3）合理转化：选择恰当的公式，促使差异的转化。
4．加强三角函数应用意识的训练
1999年高考理科第20题实质是一个三角问题，由于考生对三角函数的概念认识肤浅，不能将以角为自变量的函数迅速与三角函数之间建立联系，造成思维障碍，思路受阻.实际上，三角函数是以角为自变量的函数，也是以实数为自变量的函数，它产生于生产实践，是客观实际的抽象，同时又广泛地应用于客观实际，故应培养实践第一的观点.总之，三角部分的考查保持了内容稳定，难度稳定，题量稳定，题型稳定，考查的重点是三角函数的概念、性质和图象，三角函数的求值问题以及三角变换的方法。
5．变为主线、抓好训练
变是本章的主题，在三角变换考查中，角的变换，三角函数名的变换，三角函数次数的变换，三角函数式表达形式的变换等比比皆是，在训练中，强化变意识是关键，但题目不可太难，较特殊技巧的题目不做，立足课本，掌握课本中常见问题的解法，把课本中习题进行归类，并进行分析比较，寻找解题规律。
针对高考中题目看，还要强化变角训练，经常注意收集角间关系的观察分析方法.另外如何把一个含有不同名或不同角的三角函数式化为只含有一个三角函数关系式的训练也要加强，这也是高考的重点.同时应掌握三角函数与二次函数相结合的题目。