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椭圆定义的运用
湖北襄城高级中学：刘杰
椭圆是圆锥曲线的一种，是高中数学教学中的重点和难点。椭圆的定义为：平面内与两个定点F1、F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做焦距(一般用2c表示)。运用定义解题是最基本的方法之一，它可以优化解题思路，使解题过程简洁、明快。
一、利用定义求轨迹
例1 已知△ABC的周长为16，边AB的长为6，求点C的轨迹方程。
分析:△ABC的周长为定值，边AB的长为6，则边AC的长与BC的长之和为10，也就是C到A、B的距离之和为定值10。由椭圆的定义可知，点C的轨迹是椭圆。
x
y
O
A
B
C
解:以AB所在直线为x轴，以AB的垂直平分线为y轴建立直角坐标系(如图)
由已知|AB|+|AC|+|BC|=16，|AB|=6，有|AC|+|BC|=10。
即点C的轨迹是椭圆，且2c=6，2a=16-6=10，
∴c=3，a=5，b2=a2-c2=52-32=16，
但当点C在直线AB上，即y=0时，A、B、C不能构成三角形，
所以点C的轨迹为(y≠0)。
点评:对于求到两定点的距离之和为定值(大于两定点的距离)的点的轨迹方程时，可根据椭圆的定义，直接得到点的轨迹方程。但在运用时，不要忽略题目的限定:如有不符合题意的点，应在所得方程后注明限制条件。
二、利用定义求周长
x
y
O
A
B
F1
F2
例2 已知椭圆的方程为，其焦点为F1、F2，过F1做直线交椭圆于A、B两点，则△ABF2的周长为______。
解析:由椭圆的方程可得a2=16，即a=4。由椭圆的定义可知椭圆上的点A到两焦点F1、F2的距离为|AF1|+|AF2|=2a=8，同理点B到两焦点的距离为|BF1|+|BF2|=2a=8，由图可得△ABF2的周长为
|AB|+|AF2|+|BF2|=|AF1|+|BF1|+|AF2|+|BF2|=4a=16。
点评:注意运用椭圆上的点到两焦点的距离之和为定值2a这一条件，准确把握定义。
三、利用定义求方程
例3 已知椭圆的两个焦点分别为F1(-5，0)、F2(5，0)，椭圆上一点P到F1、F2距离之比为3:4，且∠F1PF2为直角，求椭圆的标准方程。
分析:由椭圆的定义可得，点P到F1、F2距离之和为|PF1|+|PF2|=2a，再根据点P到F1、F2距离之比为3:4，及∠F1PF2为直角，可得|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2，进一步可求出2a，得到椭圆的方程。
解：设点P到F1距离为|PF1|=3x(x>0)，则P到F2距离为|PF2|=4x，
∵ ∠F1PF2为直角，|F1F2|=2c=10，∴ |PF1|2+|PF2|2=9x2+16x2=F1F22=100，
即25x2=100，解得x=2。
∴|PF1|=6，|PF2|=8，即2a=14。∴a=7，b2=a2-c2=49-25=24，
∴椭圆的标准方程为。
点评:焦点三角形问题，要结合椭圆定义与三角形边角关系找思路。本题的关键是结合勾股定理。
四、利用定义求面积
例4 设P为椭圆上一点，F1、F2是其焦点。若∠F1PF2=，求△F1PF2的面积．
分析：根据椭圆的定义可得三角形两边PF1与PF2之和，结合余弦定理和三角形面积公式进行求解．
解：设|PF1|=m，|PF2|=n，则．
由椭圆的定义知|PF1|+|PF2|=m+n=20， ①
又由余弦定理得|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cos，即m2+n2-mn=122=144。 ②
由①、②可得mn=，∴ 。
点评：结合余弦定理和三角形面积公式是求解的关键。
椭圆的定义是起点，而我们决不能因为得到了椭圆的性质而放弃定义。其实，定义也是我们解决问题的一种有效武器,透彻的掌握定义及其特征，将有利于对问题的合理解决。