圆锥曲线几何性质精华.doc

圆锥曲线的几何性质
四川省仪陇新政校区 魏登昆
x
y
o
F11
F2
A
B
一、椭圆的几何性质（以+=1（a﹥b﹥0）为例）

1、⊿ABF2的周长为4a(定值)
证明：由椭圆的定义

即

2、焦点⊿PF1F2中：
x
y
o
F1
F22
P

（1）S⊿PF1F2=
（2）（S⊿PF1F2）max= bc
（3）当P在短轴上时，∠F1PF2最大
证明：（1）在中
∵
∴
∴
∴
（2）（S⊿PF1F2）max =
（3
当=0时 有最小值 即∠F1PF2最大
x
y
o
F1
F2
P

M
3、 过点F1作⊿PF1F2的∠P的外角平分线的垂线，垂足为M ，
则M 的轨迹是x2+y2=a2
证明：延长交于，连接
由已知有 为中点
∴ ==
所以M的轨迹方程为

x
y
o
F1
F2
P

4、以椭圆的任意焦半径为直径的圆，都与圆x2+y2=a2内切
证明：取的中点，连接。令圆的直径，半径为
∵ =
∴ 圆与圆内切
∴ 以椭圆的任意焦半径为直径的圆，都与圆x2+y2=a2内切

x
y
o
F1
F2
P

III
R

5、任一焦点⊿PF1F2的内切圆圆心为I，连结PI延长交长轴于R，
则 ∣IR∣：∣IP∣=e
证明：证明：连接由三角形内角角平分线性质有
∵
∴

y
x
o
F1
F2

A
B
6、以任一焦点弦为直径的圆与相应准线相离。
证明：令到准线的距离为
以为直径的圆的圆心为到准线的距离为。
∵

∵
∵
∴
∴以任一焦点弦为直径的圆与相应准线相离
x
y
o
F1
F2
P
P
A·

7、A为椭圆内一定点，P在椭圆上，则：
（∣PA∣+∣PF2∣）max =2a+∣AF1∣
（∣PA∣+∣PF2∣）min =2a-∣AF1∣
证明：连接
∵
∵
∴
∴ （∣PA∣+∣PF2∣）max =2a+∣AF1∣
（∣PA∣+∣PF2∣）min =2a-∣AF1∣

x
y
o

F

A·

8、A 为椭圆内一定点，P是椭圆上的动点，则
（∣PA∣+）min = A到右准线的距离
证明：设到右准线的距离d,由椭圆的第二定义有

∴（∣PA∣+）min = = A到右准线的距离.
9、焦点⊿PF1F2的旁心在直线 x=±a 上。
证明：令☉I与⊿PF1F2三边所在的直线相切于M、N、A
x
y
o
F1
F2
P

NII
A2
I
M
∵
∴
∵
∴
∵
∴
∵
∴
∴ 即为椭圆顶点。
∴ 焦点⊿PF1F2的旁心在直线 x=±a 上

10、P是椭圆上任意一点，PF2的延长线交右准线于E，K是准线
上另一任意点，连结PK交椭圆于Q，则KF2平分∠EF2Q
x
y
o
F1

F2

E

K

Q

P

证明：令P,Q到准线的距离为

由三角形外角平分线性质定理有KF2平分∠EF2Q

x
y
o

F

B
A
11、
证明：令
当的斜率存在时，设直线方程为
∵

∴
∴
=

当的斜率存在时，
∴
x
y
o

F

B
A
P

12、AB是椭圆的任意一弦，P是AB中点，
则（定值）
证明：令 ，
则
∵

∵ ，
∴
∴
x
y
o

N

M
B2
P
B1
13、椭圆的短轴端点为B1、B2，P是椭圆上任一点，连结B1P、B2P分别
交长轴于N、M两点，则有∣OM∣*∣ON∣ =a2
证明：
∴
∵ 由于、、共线
∴
∵ 由于、、N共线
∴
∴
∵
∴
x
y
o

F

N
A2
P
A1
M
14、椭圆的长轴端点为A1、A 2，P是椭圆上任一点，
连结A1P、A2P并延长，交一准线于N、M两点，
则M、N与对应准线的焦点张角为900
证明：令，

∴
∵ 由于、、共线
∴
∵ 由于共线
∴
∴
∵
∴
∵
∴
∴ M、N与对应准线的焦点张角为900

y
x
o
M1
F2

A
B
15、过椭圆准线上任一点作椭圆和切线，切点弦AB过
该准线对应的焦点。
证明：设
则的方程为
即 必过点

16、椭圆的光学性质：过一焦点的光线经椭圆反射后必过另一焦点。
证明：设，则过点的切线：，直线的法线交轴于
直线的法向量为：
y
x
o
F1
F2

P

l
m
∵
∴

同理
∵
同理
∴

∴
即过一焦点的光线经椭圆反射后必过另一焦点。

二、双曲线的几何性质（均以 为例：）
（1）
•F1
•F2
P

（1）焦点三角形面积：

(2)、过作∠F1PF2的内角平行线的重线垂足M的轨迹是

•F1
•F2
P
M
x
y
（2）

F1
F2
P
y
x
(3)
(3)、以焦半径为直径作圆长的焦半径为直径作圆与内切，小的圆与外切。

(4)、以焦点为直径作圆与该焦点对应准线相交

F1
F2
A
y
x
(4)
B

(5)、焦点⊿PF1F2的内切圆心横生标为±a即与实轴的切点一定是实轴端点

F1
F2
P
y
x
(5)
I

（6）焦点弦为直径的圆被相应准线截得圆弧所对的圆心角为定值∠MCN＝2arccos
F1
F2
B
y
x
(6)
C
A
M
N

(7)、A为双曲线内一定点P为双曲线上动点=+＝－2a

F1
F2
P
y
x
(7)
A

F1
F2
P
y
x
(8)
A
B
(8)、如图：A为双曲线内一定点，P是双曲线上的动点，＋等于A到右准线的距离

F1
F2
P
y
x
(9)

（9）、焦点到渐近线的距离等于b

F1
F2
P
y
x
(10)
A
B

(10)、双曲线上的任上点到两渐近线的距离之积等于定值

F1
F2
P
y
x
(11)
A
B
O
（11）、P是弦AB中点K．K＝定值

（12）、P为双线上任一点过P点作两渐近线的平行线与渐近线围成的平行四边形面积等于定值ab
F1
F2
P
y
x
(12)
M
O
N

(13)、过P的切线平分∠F1PF2（光学性质）即经过一焦点的光线被双曲线反射，反射光线的下长线过另一焦点
y
•F1
•F2
P
M
x
（13）
1
2

F1
F2
②
y
x
(14)
①
③
①
②
③

（14）双曲线与渐近线把平面分成5部分
双曲线上的点 渐近线上的点
区域①的点 区域②的点
区域③的点

过渐近线上的点（除中心）只能作一条切线，过中心无切线，没有与两支都相切的切线过区域①的点作切线分别在两支上，过区域③的点作切线切点在同一支上，过区域②的点没切线，双曲线的切线斜率，区域①、②的点可作弦的中点，中心是任意过中心的弦的中点，渐近线上（除中心），双曲线上，区域③的点不可能是弦中点

（15）直线L与双曲线的渐近线交于A、B两点，与双曲线交于C、D两点，则AC=BD
F1
F2
y
x
(15)
A
B
D

C

三、抛物线的几何性质
均以抛物线
X=-P/2
F
y
x
A
P

(1) 如图：A为抛物线内一定点，P是抛物线上的动点，＋等于A到准线的距离

(2) 过抛物线焦点F作弦AB，其中A（x1,y1）,B（x2,y2）则有：
①
X=-P/2
F
y
x
A
B

②
③
④
⑤
⑥以AB为直径的圆与准线相切

（3）过抛物线顶点作任意互相垂直的弦OA、OB，则弦AB必过定点（2p,0）；反之亦成立，即过定点（2p,0）作直线交抛物线于A、B两点，则有OA垂直OB

y
x
A
B

（4）过抛物线焦点F作直线交抛物线于P、Q两点，弦PQ的垂直平分线交抛物线的对称轴于R，则
F
y
x
P
Q

R

（5）过抛物线H上任一点P（X0,Y0）的切线方程为

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