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1、圆锥曲线的几何性质 四川省仪陇新政校区 魏登昆 x y o F11 F2 A B 一、椭圆的几何性质（以+=1（a﹥b﹥0）为例） 1、⊿ABF2的周长为4a(定值) 证明：由椭圆的定义 即 2、焦点⊿PF1F2中： x y o F1 F22 P （1）S⊿PF1F2= （2）（S⊿PF1F2）max= bc （3）当P在短轴上时，∠F1PF2最大 证明：（1）在中 ∵ ∴ ∴ ∴ （2）（S⊿PF1F2）max = （3 当=0时 有最小值 即∠F1P
2、F2最大 x y o F1 F2 P M 3、 过点F1作⊿PF1F2的∠P的外角平分线的垂线，垂足为M ， 则M 的轨迹是x2+y2=a2 证明：延长交于，连接 由已知有 为中点 ∴ == 所以M的轨迹方程为 x y o F1 F2 P 4、以椭圆的任意焦半径为直径的圆，都与圆x2+y2=a2内切 证明：取的中点，连接。令圆的直径，半径为 ∵ = ∴ 圆与圆内切 ∴ 以椭圆的任意焦半径为直径的圆，都与圆x2+y2=a2内切 x y o F1 F2 P III R
3、 5、任一焦点⊿PF1F2的内切圆圆心为I，连结PI延长交长轴于R， 则 ∣IR∣：∣IP∣=e 证明：证明：连接由三角形内角角平分线性质有 ∵ ∴ y x o F1 F2 A B 6、以任一焦点弦为直径的圆与相应准线相离。 证明：令到准线的距离为 以为直径的圆的圆心为到准线的距离为。 ∵ ∵ ∵ ∴ ∴以任一焦点弦为直径的圆与相应准线相离 x y o F1 F2 P P A· 7、A为椭圆内一定点，P在椭圆上，则： （∣PA∣+∣PF2∣）
4、max =2a+∣AF1∣ （∣PA∣+∣PF2∣）min =2a-∣AF1∣ 证明：连接 ∵ ∵ ∴ ∴ （∣PA∣+∣PF2∣）max =2a+∣AF1∣ （∣PA∣+∣PF2∣）min =2a-∣AF1∣ x y o F A· 8、A 为椭圆内一定点，P是椭圆上的动点，则 （∣PA∣+）min = A到右准线的距离 证明：设到右准线的距离d,由椭圆的第二定义有 ∴（∣PA∣+）min = = A到右准线的距离. 9、焦点⊿PF1F2的旁心在直线 x=±a 上。 证明：令☉I与⊿PF1F2三边所
5、在的直线相切于M、N、A x y o F1 F2 P NII A2 I M ∵ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ 即为椭圆顶点。 ∴ 焦点⊿PF1F2的旁心在直线 x=±a 上 10、P是椭圆上任意一点，PF2的延长线交右准线于E，K是准线 上另一任意点，连结PK交椭圆于Q，则KF2平分∠EF2Q x y o F1 F2 E K Q P 证明：令P,Q到准线的距离为 由三角形外角平分线性质定理有KF2平分∠EF2Q
6、 x y o F B A 11、 证明：令 当的斜率存在时，设直线方程为 ∵ ∴ ∴ = 当的斜率存在时， ∴ x y o F B A P 12、AB是椭圆的任意一弦，P是AB中点， 则（定值） 证明：令 ， 则 ∵ ∵ ， ∴ ∴ x y o N M B2 P B1 13、椭圆的短轴端点为B1、B2，P是椭圆上任一点，连结B1P、B2P分别 交长轴于N、M两点，则有∣O
7、M∣*∣ON∣ =a2 证明： ∴ ∵ 由于、、共线 ∴ ∵ 由于、、N共线 ∴ ∴ ∵ ∴ x y o F N A2 P A1 M 14、椭圆的长轴端点为A1、A 2，P是椭圆上任一点， 连结A1P、A2P并延长，交一准线于N、M两点， 则M、N与对应准线的焦点张角为900 证明：令， ∴ ∵ 由于、、共线 ∴ ∵ 由于共线 ∴ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ M、N与对应准线的焦点张角为900 y x o M1 F
8、2 A B 15、过椭圆准线上任一点作椭圆和切线，切点弦AB过 该准线对应的焦点。 证明：设 则的方程为 即 必过点 16、椭圆的光学性质：过一焦点的光线经椭圆反射后必过另一焦点。 证明：设，则过点的切线：，直线的法线交轴于 直线的法向量为： y x o F1 F2 P l m ∵ ∴ 同理 ∵ 同理 ∴ ∴ 即过一焦点的光线经椭圆反射后必过另一焦点。 二、双曲线的几何性质（均以 为例：） （1） •F1 •F2
9、 P （1）焦点三角形面积： (2)、过作∠F1PF2的内角平行线的重线垂足M的轨迹是 •F1 •F2 P M x y （2） F1 F2 P y x (3) (3)、以焦半径为直径作圆长的焦半径为直径作圆与内切，小的圆与外切。 (4)、以焦点为直径作圆与该焦点对应准线相交 F1 F2 A y x (4) B (5)、焦点⊿PF1F2的内切圆心横生标为±a即与实轴的切点一定是实轴端点
10、 F1 F2 P y x (5) I （6）焦点弦为直径的圆被相应准线截得圆弧所对的圆心角为定值∠MCN＝2arccos F1 F2 B y x (6) C A M N (7)、A为双曲线内一定点P为双曲线上动点=+＝－2a F1 F2 P y x (7) A F1 F2 P y x (8) A B (8)、如图：A为双曲线内一定点，P是双曲线上的动点，＋等于
11、A到右准线的距离 F1 F2 P y x (9) （9）、焦点到渐近线的距离等于b F1 F2 P y x (10) A B (10)、双曲线上的任上点到两渐近线的距离之积等于定值 F1 F2 P y x (11) A B O （11）、P是弦AB中点K．K＝定值 （12）、P为双线上任一点过P点作两渐近线的平行线与渐近线围成的平行四边形面积等于定值ab
12、 F1 F2 P y x (12) M O N (13)、过P的切线平分∠F1PF2（光学性质）即经过一焦点的光线被双曲线反射，反射光线的下长线过另一焦点 y •F1 •F2 P M x （13） 1 2 F1 F2 ② y x (14) ① ③ ① ② ③ （14）双曲线与渐近线把平面分成5部分 双曲线上的点 渐近线上的点 区域①的点
13、 区域②的点 区域③的点 过渐近线上的点（除中心）只能作一条切线，过中心无切线，没有与两支都相切的切线过区域①的点作切线分别在两支上，过区域③的点作切线切点在同一支上，过区域②的点没切线，双曲线的切线斜率，区域①、②的点可作弦的中点，中心是任意过中心的弦的中点，渐近线上（除中心），双曲线上，区域③的点不可能是弦中点 （15）直线L与双曲线的渐近线交于A、B两点，与双曲线交于C、D两点，则AC=BD F1 F2 y x (15) A B D C 三、抛物线的几何性质 均
14、以抛物线 X=-P/2 F y x A P (1) 如图：A为抛物线内一定点，P是抛物线上的动点，＋等于A到准线的距离 (2) 过抛物线焦点F作弦AB，其中A（x1,y1）,B（x2,y2）则有： ① X=-P/2 F y x A B ② ③ ④ ⑤ ⑥以AB为直径的圆与准线相切 （3）过抛物线顶点作任意互相垂直的弦OA、OB，则弦AB必过定点（2p,0）；反之亦成立，即过定点（2p,0）作直线交抛物线于A、B两点，则有OA垂直OB y x A B （4）过抛物线焦点F作直线交抛物线于P、Q两点，弦PQ的垂直平分线交抛物线的对称轴于R，则 F y x P Q R （5）过抛物线H上任一点P（X0,Y0）的切线方程为 16
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